大学物理第四章振动ppt课件

1、第第4章章 振动振动4.1 简谐振动及其描画简谐振动及其描画4.2 简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程4.3 简谐振动的能量简谐振动的能量4.4 简谐振动的合成简谐振动的合成4.5 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振作业：练习册作业：练习册选择题：选择题：1-10填空题：填空题：1-10计算题：计算题：1-6 由于振动是声学、地震学、建筑力学等必需由于振动是声学、地震学、建筑力学等必需的根底知识，自然界中还有许多景象，如交变电的根底知识，自然界中还有许多景象，如交变电流、交变的电磁场等，都属于广义的振动景象。流、交变的电磁场等，都属于广义的振动景象。这些运动的本质虽然并非机械运

2、动，但运动规律这些运动的本质虽然并非机械运动，但运动规律的数学描画却与机械振动类似。因此，机械振动的数学描画却与机械振动类似。因此，机械振动的研讨也为光学、电学、交流电工学、无线电技的研讨也为光学、电学、交流电工学、无线电技术等打下了一定的根底。术等打下了一定的根底。 任何一种复杂的机械振动都可以看成多个直任何一种复杂的机械振动都可以看成多个直线振动的叠加。线振动的叠加。学习机械振动的意义学习机械振动的意义阅读资料阅读资料: :频谱分析频谱分析利用付里叶分解可将恣意振动分解成假设干简谐振动利用付里叶分解可将恣意振动分解成假设干简谐振动(S.H.V.) simple harmonic vibra

3、tion 的叠加的叠加 (合成的逆运算。合成的逆运算。 对周期性振动：对周期性振动： T T 周期周期) cos(2)(10kkktkAatxT2=k = 1 基频基频 k = 2 二次谐频二次谐频2 k = 3 三次谐频三次谐频3决议音调决议音调决议音色决议音色高次谐频高次谐频物理上：普通振动是多个简谐振动的合成物理上：普通振动是多个简谐振动的合成数学上：数学上： 付氏级数付氏级数 付氏积分付氏积分也可以说简谐振动也可以说简谐振动S.H.V.是振动的根本模型是振动的根本模型或说或说 振动的实际建立在简谐振动振动的实际建立在简谐振动S.H.V.的根底上。的根底上。) cos(2)(10kkkt

4、kAatx4.1 简谐振动及其描画简谐振动及其描画 简谐振动：物体运动时，分开平衡位置的位移简谐振动：物体运动时，分开平衡位置的位移( (或或角位移角位移) )按余弦按余弦( (或正弦或正弦) )规律随时间变化。规律随时间变化。)cos(0tAx速度速度)sin(dd0tAtxv加速度加速度)cos(dd0222tAtxa2. 简谐振动的特征量振幅、周期、频率和相位简谐振动的特征量振幅、周期、频率和相位振幅振幅 A周期周期T T 和频率和频率相位相位(1) (1) ( t + t +0 )0 )是是 t t 时辰的相位，时辰的相位， (2) (2) 0 0 是是t =0 t =0 时辰的相位时

5、辰的相位 初相。初相。相位概念可用于比较两个谐振动之间在振动步伐上的差别相位概念可用于比较两个谐振动之间在振动步伐上的差别, ,设有两个同频率的谐振动，表达式分别为：设有两个同频率的谐振动，表达式分别为：相位差相位差 10201020)()(tt)cos(1011tAx)cos(2022tAx）（T1x = A cos( t + 0)优点：优点：初位相直观明确。初位相直观明确。比较两个比较两个简谐振动的位相差直观明确。简谐振动的位相差直观明确。3. 3. 简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法1212)()(tt t = 0 0oxAx t+ 0t = tA2A2 1A1x0ox2A1A3A

6、) 12(k(A1、A3) 两个振动为反相两个振动为反相.(A1、A2) 两个振动为同相；两个振动为同相；k2例例: :一物体沿一物体沿x x轴作简谐振动，振幅轴作简谐振动，振幅A=0.12mA=0.12m，周期，周期T=2sT=2s。当。当t=0t=0时时, ,物体物体的位移的位移x=0.06m,x=0.06m,且向且向x x轴正向运动。求轴正向运动。求: :(1)(1)简谐振动表达式简谐振动表达式; ;(2) t =T/4(2) t =T/4时物体的位置、速度和加速度时物体的位置、速度和加速度; ;(3)(3)物体从物体从x = -0.06mx = -0.06m向向x x轴负方向运动，第一

7、次回到平衡位置所需时间。轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需时间。解解: (1): (1)取平衡位置为坐标原点取平衡位置为坐标原点, ,谐振动表达式写为：谐振动表达式写为：)cos(0tAx其中其中A=0.12m, T=2s, T2初始条件：初始条件：t = 0, x0=0.06m,可得可得, 0sin00Av06. 0cos12. 003030) 3cos(12. 0tx(2)(2)由由(1)(1)求得的简谐振动表达式得求得的简谐振动表达式得: :) 3sin(12. 0ddttxv) 3cos(12. 0dd2ttav在在t =T/4=0.5st =T/4=0.5s时，代入所列的表达式可求

8、时，代入所列的表达式可求! !例例: :一物体沿一物体沿x x轴作简谐振动，振幅轴作简谐振动，振幅A=0.12mA=0.12m，周期，周期T=2sT=2s。当。当t=0t=0时时, ,物体物体的位移的位移x=0.06m,x=0.06m,且向且向x x轴正向运动。求轴正向运动。求: :(1)(1)简谐振动表达式简谐振动表达式; ;(2) t =T/4(2) t =T/4时物体的位置、速度和加速度时物体的位置、速度和加速度; ;(3)(3)物体从物体从x = -0.06mx = -0.06m向向x x轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需时间。轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需时间。解解:(3):

9、(3)当当x = -0.06mx = -0.06m且向且向x x轴负方向运动时，该时辰设为轴负方向运动时，该时辰设为t1,t1,x1320 x设物体在设物体在t2t2时辰第一次回到平衡位置时辰第一次回到平衡位置(x=0)(x=0)，相位是，相位是3 3/2/223从从t1t1时辰到时辰到t2t2时辰所对应的相差为：时辰所对应的相差为：653223 振幅矢量的角速度振幅矢量的角速度， t = 另外，另外， T =2T =2s83. 0652Tt4.2 简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程受力特点受力特点: : 线性恢复力线性恢复力 F = - kx F = - kx 以程度弹簧振子为例以程度

10、弹簧振子为例22ddtxmF 由）（mkxtx, 0dd222 固有频率决议于系统内在性质固有频率决议于系统内在性质位移位移 x x 之通解可写为：之通解可写为：)cos(0tAx 固有固有( (圆圆) )频率频率常量常量A A和和0 0由初始条件确定由初始条件确定根据初始条件：根据初始条件：t = 0 t = 0 时，时，x = x0 , v = v0 x = x0 , v = v0) (cos0tAx) (sin 0tAv00cosAx 0t00sin Av22020vxA000 tanxv(1)(1)单摆单摆 mmg几种常见的简谐振动几种常见的简谐振动sinmgM重力的切向分力：重力的切

11、向分力：.! 5! 3sin53sintmamgsin)(ta22ddsintmmg 很小很小, ,小于小于50 50 时，时，0dd22gtg2令gT2所以：单摆作小角度摆动，也是谐振动角所以：单摆作小角度摆动，也是谐振动角谐振动。重力的分力准弹性力。谐振动。重力的分力准弹性力。0dd222t通解为：通解为：)cos(0tm(2) (2) 复摆复摆一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆。一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆。 刚体的质心为刚体的质心为C, C, 对过对过O O点的转轴的点的转轴的转动惯量为转动惯量为I, OI, O、C C 两点间的间隔为两点间的间隔为h h。令令据转动定律据转动定律M

12、=IM=I，得，得假设假设 角度较小时角度较小时sindd22mghtImghtI22ddImgh20dd222tmghIT22gmCOh简谐振动的能量简谐振动的能量( (以程度弹簧振子为例以程度弹簧振子为例) )(1) (1) 动能动能4.3 简谐振动的能量简谐振动的能量)(sin212102222tAmmEkv0,21min2maxkkEkAE241d1kAtETETttkk)(sin21022tkA)(cos21210222tkAkxEP(2) (2) 势能势能情况同动能。情况同动能。pppEEE,minmax系统总的机械能：系统总的机械能：221kAEEEpk简谐振动系统机械能守恒简谐

13、振动系统机械能守恒) (sin 0tAvmk谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线: :221kAE PEkEE0ttAxcos0tx241kAEEpk简谐振动的动力学解法简谐振动的动力学解法1. 由分析受力出发由分析受力出发( (由牛顿定律列方程由牛顿定律列方程) )2. 由分析能量出发由分析能量出发( (将能量守恒式对将能量守恒式对t t 求导求导) )例：弹簧竖直放置时物体的振动。例：弹簧竖直放置时物体的振动。m0l0 xxxo弹簧原长弹簧原长挂挂m m后伸长后伸长某时辰某时辰m m位置位置f伸伸 长长受弹力受弹力平衡位置平衡位置k解：求平衡

14、位置解：求平衡位置mgkx 0kmgx 0以平衡位置以平衡位置O O为原点为原点kxkxkxmgxxkmgF00)(因此因此, , 此振动为简谐振动。此振动为简谐振动。221kxm0l0 xxxo以平衡位置以平衡位置O O为原点为原点弹簧原长弹簧原长挂挂m m后伸长后伸长某时辰某时辰m m位置位置f伸伸 长长受弹力受弹力平衡位置平衡位置kxkxkxmgxxkmgF00)(k重力和弹性力都是保重力和弹性力都是保守力，合力守力，合力F F 作功将作功将转化为势能。转化为势能。221)(kxkx功包括重力势能和弹性势能包括重力势能和弹性势能系统的势能系统的势能假设振动系统除去本身假设振动系统除去本身

15、恢复力之外还有其它恒恢复力之外还有其它恒力作用。振动系统仍作力作用。振动系统仍作简谐振动。以振动系统简谐振动。以振动系统在恒力作用下的平衡位在恒力作用下的平衡位置为原点，那么可按常置为原点，那么可按常规立刻写出简谐振动的规立刻写出简谐振动的微分方程或振动表达式。微分方程或振动表达式。在本例中在本例中0dd22xmktx)cos(tAxm0l0 xxxo弹簧原长弹簧原长挂挂m m后伸长后伸长某时辰某时辰m m位置位置f伸伸 长长受弹力受弹力平衡位置平衡位置k例例: 一质量为一质量为m的物体从倾角为的物体从倾角为 的光滑斜面顶点处由静止滑下，的光滑斜面顶点处由静止滑下，滑行滑行 远后与质量为远后与

16、质量为M 的物体发生完全非弹性碰撞。的物体发生完全非弹性碰撞。M与顽强与顽强系数为系数为k的弹簧相连，碰前的弹簧相连，碰前M 静止于斜面。求：运动方程。静止于斜面。求：运动方程。 mMk解解1：取：取m与与M 碰撞连在一同后的平衡位碰撞连在一同后的平衡位置为坐标原点。置为坐标原点。设此时弹簧在设此时弹簧在m m与与M M的紧缩下的紧缩下退了退了x0 x0。x0原长原长Mmx0坐标系如图坐标系如图0 x0sin)(xkgMm)(sin)(/dd)(022xxkgMmtxMmkxtxMm22dd)(以振动系统在恒力作用下的平衡位置以振动系统在恒力作用下的平衡位置为原点，那么可按常规立刻写出简谐为原

17、点，那么可按常规立刻写出简谐振动的微分方程或振动表达式。振动的微分方程或振动表达式。例：一质量为例：一质量为m m的物体从倾角为的物体从倾角为 的光滑斜面顶点处由静止滑的光滑斜面顶点处由静止滑下，滑行下，滑行 后远后与质量为后远后与质量为M M的物体发生完全非弹性碰撞。的物体发生完全非弹性碰撞。M M与与顽强系数为顽强系数为k k的弹簧相连，碰前的弹簧相连，碰前M M静止于斜面。求：运动方程。静止于斜面。求：运动方程。kxtxMm22dd)(Mmk以碰撞时作为记以碰撞时作为记时起点时起点动量守恒动量守恒sin20gMmmv初位置初位置sin0gkmx002020/xtgxAvv)cos(tAx

18、A和和0由初始条件确定由初始条件确定CkxMm2221)(21v0dd)(kxtMmv0dd)(22kxtxMm解解2 : 取平衡位置取平衡位置x = 0为系统势能的零点。为系统势能的零点。系统机械能守恒，有系统机械能守恒，有简谐振动的动力学解法简谐振动的动力学解法2. 由分析能量出发由分析能量出发( (将能量守恒式对将能量守恒式对t t 求导求导) )Mmk势能讨论势能讨论取平衡位置取平衡位置x = 0为系统为系统势能的零点。势能的零点。) 1 (21)(212122020kAMmkxv机械能守恒机械能守恒 初始初始最大位移最大位移另，设弹簧自然长度未形变时弹性势能为零，重力势另，设弹簧自然

19、长度未形变时弹性势能为零，重力势能的零点取在能的零点取在 x = 0 x = 0 处。处。sin)()(21)(21020200gxMmMmxxkv)2(sin)()(2120gAMmAxk(2) (1)0sin)(xkgMm势能讨论势能讨论取平衡位置取平衡位置x = 0为系统为系统势能的零点。势能的零点。) 1 (21)(212122020kAMmkxv机械能守恒机械能守恒20202)(212121vMmkxkA20202vkMmxAMmk22020vxA由初始条件决议由初始条件决议A A也是机械能守恒定律的必然结果。也是机械能守恒定律的必然结果。任何一个实践的弹簧都是有质量的，假设思索弹簧

20、的质量，任何一个实践的弹簧都是有质量的，假设思索弹簧的质量，弹簧振子的振动周期将变大还是变小？弹簧振子的振动周期将变大还是变小？ 讨论讨论变大变大变小变小参考解答：由于弹簧振子的周期决议于系统的惯性和弹性，惯性越大参考解答：由于弹簧振子的周期决议于系统的惯性和弹性，惯性越大那么周期越大。因此可以定性地说，在思索了弹簧的质量之后，弹簧那么周期越大。因此可以定性地说，在思索了弹簧的质量之后，弹簧振子的周期一定会变大。振子的周期一定会变大。假设振子的质量为假设振子的质量为M M，弹簧的质量为，弹簧的质量为m m，弹簧的劲度系数为，弹簧的劲度系数为k k，可以计，可以计算出，在思索了弹簧的质量之后，弹

21、簧振子的振动周期为算出，在思索了弹簧的质量之后，弹簧振子的振动周期为kmMT3/2解：平衡时解：平衡时0 0 点为坐标原点。物体运动到点为坐标原点。物体运动到x x 处时，速度为处时，速度为v .v .设此时弹簧的长度为设此时弹簧的长度为L,ddvLltxLl速度为：速度为：弹簧、物体的动能分别为：弹簧、物体的动能分别为：202161)d(21vvmLllLmELk2221vMEk前提前提: : 弹簧各等长小段变形一样，位移是线性规律弹簧各等长小段变形一样，位移是线性规律弹簧元弹簧元dldl的质量的质量lLmmdd位移为位移为xLlxxM0vdll例：劲度系数为例：劲度系数为k k、质量为、质

22、量为m m 的均匀弹簧，一端固定，另一端系一质量为的均匀弹簧，一端固定，另一端系一质量为M M 的物体，在光滑程度面内作直线运动。求解其运动。的物体，在光滑程度面内作直线运动。求解其运动。( m M )( m M )系统弹性势能为系统弹性势能为22kxEP系统机械能守恒，有系统机械能守恒，有常数常数222216121kxmMvv常数常数2221)3(21kxmMv将上式对时间求导，整理后可得将上式对时间求导，整理后可得0dd)3(kxtmMv03dd22xmMktx2 因此，弹簧因此，弹簧质量小于物体质质量小于物体质量，且系统作微量，且系统作微运动时，弹簧振运动时，弹簧振子的运动可视为子的运动

23、可视为是简谐运动。是简谐运动。kmMT) 3(224.4 简谐振动的合成简谐振动的合成1.1.同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成分振动分振动 ：x1=A1cos(t+10)x2=A2cos(t+20)合振动合振动 : :x = x 1 + x 2 = A cos(t+0 ) 合振动是简谐振动合振动是简谐振动, , 其频率仍为其频率仍为)cos(21020212221AAAAA2021012021010coscossinsintgAAAA两个同方向同频率简谐振两个同方向同频率简谐振动的合成仍是简谐振动。动的合成仍是简谐振动。合振动的频率与分振动的合振动的频率与分振动

24、的频率一样。频率一样。 两种特殊情况两种特殊情况 (1) (1)假设两分振动同相假设两分振动同相 2020 10 =10 =2k2k ( k = 0,1,2, )( k = 0,1,2, )(2)(2)假设两分振动反相假设两分振动反相 2020 10 =10 =(2k+1)(2k+1) ( k = 0,1,2, )( k = 0,1,2, )如如 A1=A2 , 那么那么 A=0那么那么A=A1+A2 , 两分振动相互加强两分振动相互加强那么那么A=|A1-A2|, 两分振动相互减弱两分振动相互减弱)cos(21020212221AAAAA两个振动的位相差，对合成振动起着重要的作用，这种两个振

25、动的位相差，对合成振动起着重要的作用，这种景象在波的干涉与衍射中具有特殊的意义景象在波的干涉与衍射中具有特殊的意义 N个同方向、同频率的简谐个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅相等，初振动，它们的振幅相等，初相分别为相分别为0, , 2, ., 依次依次差一个恒量差一个恒量 ，振动表达式，振动表达式可写成可写成 采用旋转矢量法可使问题得到简化，从而避开烦琐采用旋转矢量法可使问题得到简化，从而避开烦琐的三角函数运算。的三角函数运算。 根据矢量合成法那么，根据矢量合成法那么，N N个简谐振动对应的旋转矢量个简谐振动对应的旋转矢量的合成如以下图所示：的合成如以下图所示：taxcos1)cos(2t

26、ax )2cos(3tax) 1(cosNtaxN2. 2. 多个同方向同频率简谐振动的合成多个同方向同频率简谐振动的合成合振动的频率与分振动的频率一样。合振动的频率与分振动的频率一样。 合振动的振幅和初相是分析的关键合振动的振幅和初相是分析的关键! !NOCM taxcos1)cos(2tax )2cos(3tax) 1(cosNtaxNOx1a2a3a4a5aCAM 因各个振动的振幅一样且相差依次恒为因各个振动的振幅一样且相差依次恒为a,a,上图中上图中各个矢量各个矢量 的起点和终点都在以的起点和终点都在以C C为圆心的圆周上，根据简单的几何关系，可得为圆心的圆周上，根据简单的几何关系，可

27、得）、.(4321aaaa.21它们的夹角显然等于，交于的垂直平分线，两者相和作CaaNOCM 在三角形在三角形DOCMDOCM中中,OM ,OM 的长度就是合振的长度就是合振动的振幅动的振幅A,A,角度角度MOXMOX就是合振动的就是合振动的初相初相，据此得，据此得2sin2NAOC思索到思索到2sin2OCa 2sin2sinNaA COMCOXMOX21)(21)(21NNOX1a2a3a4a5aCAM21cos2sin2sinNtNax3.3.同方向不同频率的两个简谐振动的合成同方向不同频率的两个简谐振动的合成 拍拍两个简谐振动的频率两个简谐振动的频率1和和2很接近，且很接近，且12)

28、cos(),cos(02220111tAxtAx两个简谐振动合成得：两个简谐振动合成得：)2cos()2cos(20121221ttAxxx合振动可视为合振动可视为角频率为角频率为随时间变化很慢可随时间变化很慢可看作合振动的振幅看作合振动的振幅随时间变化较快可随时间变化较快可看作作谐振动的部分看作作谐振动的部分,212)2cos(212tA振幅为振幅为的简谐振动。的简谐振动。由于振幅总是正值，而余弦函数的绝对值以由于振幅总是正值，而余弦函数的绝对值以 为周期，因此为周期，因此振幅变化的周期振幅变化的周期 可由可由决定，212振幅变化的频率即拍频振幅变化的频率即拍频121221同不断线上，不同频

29、率简谐振动合成同不断线上，不同频率简谐振动合成 拍拍旋转矢量旋转矢量几何法分析几何法分析) cos(2222tAx) cos(1111tAx重合：重合：21AAA21AAA反向：反向：12ox1A12A2A,拍频拍频: : 单位时间内强弱变化的次数单位时间内强弱变化的次数 =| =|2-2-1| 1| 561单位时间内单位时间内A2比比A1多转多转2 - 1圈，也就是合圈，也就是合振动时加强时减弱频率为振动时加强时减弱频率为2 - 1的拍景象。的拍景象。两个同频率的相互垂直的分运动位移表达式两个同频率的相互垂直的分运动位移表达式消时间参数，得消时间参数，得)cos(101tAx)(sin)co

30、s(210202102021222212AyAxAyAx)cos(202tAy 合运动普通是在合运动普通是在2A1 ( x 2A1 ( x 向向) )、2A2 ( y 2A2 ( y 向向) )范围内的一个椭圆。范围内的一个椭圆。 椭圆的性质椭圆的性质( (方位、长短轴、左右旋方位、长短轴、左右旋 ) )在在 A1 A1 、A2A2确定之后确定之后, ,主要决议于主要决议于 = =20 - 20 - 1010。4. 4. 相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成几种特殊情况几种特殊情况102002434523474方向垂直的不同频率的简谐振动的合成方向垂直的不同频率的简谐振动的合成两分

31、振动频率相差很小两分振动频率相差很小可看作两频率相等而可看作两频率相等而Df Df 随随t t 缓慢变化，合运动轨迹将按上缓慢变化，合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化页图依次缓慢变化 轨迹称为李萨如图形轨迹称为李萨如图形两振动的频率成整数比两振动的频率成整数比t )(120,42:3:1020yx无阻尼自在振动无阻尼自在振动 物体在弹性力或准弹性力作用下产生的简谐运动称无物体在弹性力或准弹性力作用下产生的简谐运动称无阻尼自在振动。阻尼自在振动。阻尼振动阻尼振动 物体在弹性力或准弹性力和阻力作用下产生的运物体在弹性力或准弹性力和阻力作用下产生的运动称阻尼振动。动称阻尼振动。4.5 阻尼振动阻尼振动

32、 受迫振动受迫振动 共振共振阻尼振动的种类：阻尼振动的种类： 在阻尼振动中，振动系统所具有的能量将在振动过程在阻尼振动中，振动系统所具有的能量将在振动过程中逐渐减少。能量损失的缘由通常有两种：中逐渐减少。能量损失的缘由通常有两种： 一种是由于介质对振一种是由于介质对振动物体的摩擦阻力，使振动物体的摩擦阻力，使振动系统的能量逐渐变为热动系统的能量逐渐变为热运动的能量而呵斥能量损运动的能量而呵斥能量损失。这称摩擦阻尼。失。这称摩擦阻尼。 另一种是由于振动物体引起另一种是由于振动物体引起临近质点振动，使振动系统的能临近质点振动，使振动系统的能量逐渐向周围辐射出去，转变为量逐渐向周围辐射出去，转变为动

33、摇的能量，而呵斥系统能量损动摇的能量，而呵斥系统能量损失。这称辐射阻尼。失。这称辐射阻尼。阻尼振动阻尼振动txfrddv弹性力和上述阻力作用下的微分方程：弹性力和上述阻力作用下的微分方程：在流体在流体( (液体、气体液体、气体) )中运动的物体，当物体速度较小时，中运动的物体，当物体速度较小时，阻力阻力 速度，速度， ：阻力系数。：阻力系数。txkxtxmdddd22m2;20mk令：令：称称0 0为振动系统的固有角频率，称为振动系统的固有角频率，称 为阻尼因子为阻尼因子0dd2dd2022xtxtx(1) (1) 2 2 02 02 阻尼较小时，此方程的解：阻尼较小时，此方程的解： 220)

34、cos()(0tAetxt这种情况称为欠阻尼这种情况称为欠阻尼0dd2dd2022xtxtx由初始条件决议由初始条件决议A A和初相位和初相位0,0,设设000dd,)0(,0vttxxxt即有：即有： 00000cossincosAAAxv,)(220020 xxAv0000 xxtgv欠阻尼下欠阻尼下1.1.振幅特点振幅特点振幅：振幅：A(t) = Ae-A(t) = Ae- t t)cos()(0tAetxt振幅随振幅随t t 衰减。衰减。 2.2.周期特点周期特点严厉讲，阻尼振动不是严厉讲，阻尼振动不是周期性振动周期性振动( (更不是简谐更不是简谐振动振动) )，由于位移，由于位移x(

35、t)x(t)不不是是t t 的周期函数。的周期函数。但阻尼振动有某种反但阻尼振动有某种反复性。复性。202 )2(阻尼较大时，方程的解：阻尼较大时，方程的解：tteetxCC)(2)(1202202)(其中其中C1,C2C1,C2是积分常数，由初始条件来决是积分常数，由初始条件来决议，这种情况称为过阻尼。议，这种情况称为过阻尼。无振动发生无振动发生tetCCtx)()(21(3) (3) 假设假设 2= 2= 02 02 方程的解：方程的解：无振动发生无振动发生C1,C2是积分常数，由初始条件来决议，是积分常数，由初始条件来决议，这种情况称为临界阻尼。这种情况称为临界阻尼。 2 = 02(临界

36、阻尼临界阻尼) 情形下情形下:阻尼振动微分方程的解将是非阻尼振动微分方程的解将是非振动性的运动。运动物体连一振动性的运动。运动物体连一次振动也不能完成，能量即已次振动也不能完成，能量即已耗光，物体渐渐移向平衡位置耗光，物体渐渐移向平衡位置。和过阻尼情形相比，临界阻。和过阻尼情形相比，临界阻尼情形下，物体回到平衡位置尼情形下，物体回到平衡位置并停在那里，所需时间最短。并停在那里，所需时间最短。 运用：电表阻尼、天平阻尼运用：电表阻尼、天平阻尼 物体在周期性外力的继续作用下发生的振动称为物体在周期性外力的继续作用下发生的振动称为受迫振动。受迫振动。物体所受驱动力：物体所受驱动力：tFFcos0运动方程：运动方程：tFtxkxtxmcosdddd022设设mk20m2tmFxtxtxcosdd2dd02022受迫振动受迫振动 共振共振 1.