第2章 点、直线与平面的投影

1、12HVX水平投影面水平投影面正立投影面正立投影面oW侧立投影面侧立投影面aaaYZaxayazAVWHoXYHYWZaaaaxaz3oXYHYWZaaaaxazHVXoWaaaYZaxayazA4aaXZYHYWxzyy(y,z)(x,z)(x,y)oA(x, y, z)a3.点的坐标及立体图5VHW例：画出点例：画出点A(15,5,10)(15,5,10)的投影及空间位置的投影及空间位置XoZYHYWaaaaaaA3.点的坐标及立体图456XZYHYW例例：根据点的两面投影求第三投影根据点的两面投影求第三投影a辅助线辅助线bbbfff45ggaag4.特殊位置的点7( ) a称点称点A、C

2、为对为对W面的重影点面的重影点aabbbcccB在在A的右下前方的右下前方C在在A的正左方的正左方XZYHYWo5.两点的相对位置及重影点8dddbbbaaaXOZYHYW(b)(d)例例: :重影点及其投影的可见性重影点及其投影的可见性9例例:已知点已知点A在点在点B之前之前5mm，之上，之上9mm，之右，之右8mm，求点求点A的投影。的投影。a a a98510两点的相对位置两点的相对位置两点中两点中x值大的点值大的点 在左在左两点中两点中y 值大的点值大的点 在前在前 两点中两点中z 值大的点值大的点 在上在上a a ab b bBA11c( )( )a aabbbXYHYWod ddc

3、cXYWoZZYH cd(c)dCD a(b)abABVH12直线的投影由两端点同名投影的连线确定直线的投影由两端点同名投影的连线确定2.2 直线的投影直线的投影aabbab13直线对一个投影面的投影特性直线对一个投影面的投影特性平行平行垂直垂直倾斜倾斜ABABAB aba bab P14(1) 投影面的平行直线投影面的平行直线aababb Xa b ab baOzYHYWAB投投影影特特性性=ABH =ABV =ABW15名称名称立体图立体图投影图投影图投影特性投影特性水平线水平线（H H）正平线正平线（V V）侧平线侧平线（W W）(1)(1)a a b b OX,OX,a a b b O

4、YOYW W；(2)(2)ab=ABab=AB；(3)(3)反映夹角反映夹角 、 大小大小(1)abOX,(1)abOX,a a b b OZOZ；(2)(2)a a b b =AB=AB；(3)(3)反映夹角反映夹角 、 大小大小(1)(1)abOYabOYH H, ,a a b b OZOZ；(2)(2)a a b b =AB=AB；(3)(3)反映夹角反映夹角 、 大小大小投影面平行线投影面平行线16b a(b)a abZb Xa ba(b)OYHYWa（2）投影面）投影面的垂直直线的垂直直线AB投影特性投影特性17名称名称立体图立体图投影图投影图投影特性投影特性铅垂线铅垂线（ H H

5、）正垂线正垂线（ V V ）侧垂线侧垂线（ W W ）(1)(1)H H投影为一点，投影为一点，有积聚性；有积聚性；(2)(2)a a b bOX,OX, a a b bOYOYW W ；(3)(3)a a b b = =a a b b =AB =AB(1)(1)V V投影为一点，投影为一点，有积聚性；有积聚性；(2)(2)abab OX,OX, a a b bOZOZ ；(3)(3)abab= =a a b b =AB=AB(1)(1)W W投影为一点，投影为一点，有积聚性；有积聚性；(2)(2)abab OYOYH H, , a a b bOZOZ ；( (3)3)abab= =a a b

6、 b =AB =AB投影面垂直线投影面垂直线18直线相对于投直线相对于投影面的位置可影面的位置可归结为几类？归结为几类？(3) 一般位置直线一般位置直线 ZXabaOYYabb投影特性：投影特性：ZYX19水平线：水平线： H H面面正平线：正平线： V V面面侧平线：侧平线： W W面面铅垂线：铅垂线： H H面面正垂线：正垂线： V V面面侧垂线：侧垂线： W W面面20例题2例例: :根据直线的两投影判断其空间位置根据直线的两投影判断其空间位置. .XOggXOaabbXOcddhhOa正平线正平线侧平线侧平线水平线水平线一般位置直线一般位置直线侧垂线侧垂线铅垂线铅垂线ca“ cZZOa

7、bbabdb“ c“ d“ 212525XOZYHYWaaa30bbb例题例题1例：过点例：过点A A向向右上方作一正平线右上方作一正平线AB,AB,使使其实长为其实长为2525，与，与H H面的倾角面的倾角=30。22 ababcc判定判定abbakk23eeddcababXc例例:判断点判断点C 、D 、E是否在直线是否在直线AB上上.国标规定采用国标规定采用第一分角投影第一分角投影 24ba ba XOcc20fe f e XOkk25例例: : 已知点C在线段AB上，求点C 的正面投影。ccabcc26 2.2一般位置直线一般位置直线求实长和倾角求实长和倾角 ABXOVHb b a a

8、bZ ABabZ AB ABb bXab b a 直角三角形法直角三角形法=利用已知边作利用已知边作直角三角形直角三角形27XOVHb b a abYb bXab b a ABOABa b Y=AB=直角三角形法直角三角形法求一般位置直线的实长和倾角求一般位置直线的实长和倾角利用已知边作利用已知边作直角三角形直角三角形28XABab ZABabABYab 29Zab 例例2 已知直线已知直线AB的实长，完成其正面投影。的实长，完成其正面投影。 bbaxaZabZabbAB a b YABabZAB30例：例： 求直线的实长和求直线的实长和 角。角。a ab XbABa b AB a b YAB

9、 YY方法一方法一方法二方法二31例已知线段例已知线段ABAB25mm25mm及其投影及其投影abab和和aa， 试求该线段的试求该线段的V V 投影投影abab。 25YYY25Ya b a b a b 32 xba a cab60b c b c 033平行平行 相交相交 交叉交叉 垂直垂直投影特性投影特性abcdabcd34例例: :已知已知ABAB、CDCD两直线平行两直线平行, ,完成完成CDCD的投影的投影. .baadbbccXbaabdcdc35投影特性投影特性babcdcdkka36例:直线AB与CD相交,完成CD的投影. b Xa abkc d dck37例：过点例：过点A

10、A作直线作直线ABAB， 与直线与直线CDCD相交。相交。aacdcd例：过点例：过点A A作水平线作水平线ABAB， 与直线与直线CDCD相交。相交。aacdcd无数解唯一解bbbb38例例: : 判断两直线的相对位置11dc 1139两直线交叉两直线交叉 凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。b Xa abc d dc11 (2 )240例一：例一：acdbabcdabdc例二：例二：cdababcdabcd41( )( )abcdcabd交叉两直线重影点的可见性判断交叉两直线重影点的可见性判断a b bac d dcABCVHoX433 42

11、11 2X1 2 (3 )4 121(2)4343D42讨论其中一条直线为投讨论其中一条直线为投影面平行线的情况影面平行线的情况EFABCabcP43abcdabcdab cd已知已知AB/HAB/H、ABAB CDCD，求，求cdcd4445平面的迹线表示法PVPHQ VPwQ HQ WYHYWXZZXYHYWQ VVHPVPHPQ VQ HH46P47/V正平面正平面水平面水平面/H/W侧平面侧平面48abcab cc ab49名称名称立体图立体图投影图投影图投影特性投影特性水平面水平面（H H）正平面正平面（V V）侧平面侧平面（W W）1)1)H H 投影反映投影反映 实形；实形；2)

12、2)V V、W W 投影分投影分别为平行别为平行OXOX、OYOYW W轴的直线段，有轴的直线段，有积聚性积聚性1)1)V V 投影反映实投影反映实形；形；2)2)H H、W W 投影分投影分别为平行别为平行OXOX、OZ OZ 轴的直线段，有轴的直线段，有积聚性积聚性1)1)W W 投影反映实投影反映实形；形；2)2)V V、H H 投投 影分影分别为平行别为平行OZOZ、OYOYH H 轴的直线段，有轴的直线段，有积聚性积聚性50 V正垂面正垂面铅垂面铅垂面 H W侧垂面侧垂面51 abccbaacb52名称名称立体图立体图投影图投影图投影特性投影特性铅垂面铅垂面（ H H）正垂面正垂面（

13、 V V）侧垂面侧垂面（ W W）1)1)H H投影为斜直投影为斜直线，有积聚性，线，有积聚性，且反映且反映 、 大小；大小；2)2)V V、W W投影不是投影不是实形，但有相仿实形，但有相仿性性1)1)V V投影为斜直投影为斜直线，有积聚性，线，有积聚性，且反映且反映 、 大小；大小；2)2)H H、W W投影不是投影不是实形，但有相仿实形，但有相仿性性1)1)W W投影为斜直投影为斜直线，有积聚性，线，有积聚性，且反映且反映 、 大大小；小；2)2)H H、V V投影不是投影不是实形，但有相仿实形，但有相仿性性53， aabbccbac54铅垂面：铅垂面：H H正垂面：正垂面：V V侧垂面

14、：侧垂面：W W水平面：水平面：H H正平面：正平面：V V侧平面：侧平面：W W55例:根据平面的两投影判定平面的位置正平面正平面铅垂面铅垂面正垂面正垂面水平面水平面侧垂面侧垂面侧平面侧平面bcacbaabcabcacbacbXXXXZYWbabc OXYHabca bccabcacabcbaX56例：例：指出立体表面的空间位置指出立体表面的空间位置, 找出相应投影找出相应投影.vwH57点在平面上的几何条件：点在平面上的几何条件：点在平面内的一条已知直线上。点在平面内的一条已知直线上。kbxO acabck11bxcO acab1212efef直线在平面上的几何条件：直线在平面上的几何条件

15、： 直线通过平面内的二个已知点；直线通过平面内的二个已知点； 直线通过平面内的一个已知点，直线通过平面内的一个已知点， 且平行与平面的一条直线。且平行与平面的一条直线。 58accabkbaccabkb59例例: :已知点已知点E E在在 ABCABC上，求点上，求点E E的正面投影。的正面投影。eeabccbaX60例例: :已知点已知点E E 在在 ABCABC平面上，且点平面上，且点E E距离距离H H面面1515， 距离距离V V 面面1010，试求点，试求点E E的投影。的投影。mnmnrsrs1015ee61abcbacdd62例例: :在在 ABCABC上，过点上，过点C C作正

16、平线，过点作正平线，过点A A作水平线。作水平线。mnnm63cdabcdab64平行平行、相交相交、垂直垂直2.5.1 平行问题平行问题 直线与平面平行直线与平面平行平面与平面平行平面与平面平行 直线与平面平行直线与平面平行若一直线平行于平面上若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与的某一直线，则该直线与此平面平行。此平面平行。2.5 几何元素间的相对位置几何元素间的相对位置ABCEFabcefDd 若直线投影与平面有积若直线投影与平面有积聚性的投影平行，则直线聚性的投影平行，则直线与平面平行。与平面平行。a b e d f abdef65n a c b m abcmn例例1：过：过M点作

17、直线点作直线MN平行于平面平行于平面ABC。有无数解有无数解有多少解？有多少解？66正平线正平线例：过例：过M点作直线点作直线MN平行于平行于V面和平面面和平面ABC。 c b a m abcmn唯一解唯一解n 67 两平面平行两平面平行若两平面上分别有若两平面上分别有两两对相交直线对相交直线对应平行，对应平行，则这两平面平行。则这两平面平行。 若两平面若两平面有积聚性有积聚性的投影的投影相互平行，则相互平行，则两平面平行。两平面平行。f h abcdefha b c d e c f b d e a abcdefABCA1B1C1PQ68 例：过点例：过点K作一平面与平行两直线决定的作一平面与

18、平行两直线决定的平面平行。平面平行。kkbcaabcnmnmdd69直线与平面相交直线与平面相交平面与平面相交平面与平面相交 直线与平面相交直线与平面相交交点是直线与平面的共有点。交点是直线与平面的共有点。要讨论的问题：要讨论的问题： 求求直线与平面的直线与平面的交点。交点。 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可判别可 见性。见性。2.5.2 相交问题相交问题70abcmnc n b a m 平面为特殊位置平面为特殊位置例：求直线例：求直线MN与平面与平面ABC的交点的交点K并判别可见性。并判别可见性。空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABC为铅垂面，为铅垂面

19、，其水平投影积聚成直线，其水平投影积聚成直线，与与mn的交点即为的交点即为K点的水点的水平投影。平投影。 求交点求交点 判别可见性判别可见性由水平投影可知，由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投段在平面前，故正面投影影k n 可见。可见。还可通过重影点判别可见性。还可通过重影点判别可见性。k 1 (2 )作作 图图k2171km(n)bm n c b a ac 直线为特殊位置直线为特殊位置空间及投影分析空间及投影分析 直线直线MN为铅垂线，其水为铅垂线，其水平投影积聚成一点，故交点平投影积聚成一点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。的水平投影也积聚在该点上。 求交点求交点 判别可见性判别可见

20、性平面上的平面上的点点 在前，直线上的在前，直线上的点在后。故点在后。故k 2 为不可见。为不可见。1 (2 )k 21作图作图用面上取点法用面上取点法72 两平面相交两平面相交 两平面相交其交线为直线，两平面相交其交线为直线，交线是两平交线是两平面的共有线，面的共有线，同时同时交线上的点都是两平面的交线上的点都是两平面的共有点。共有点。要讨论的问题：要讨论的问题： 求求两平面的两平面的交线交线方法：方法： 确定两平面的确定两平面的两个共有点。两个共有点。 确定确定一个共有点及交线的方向。一个共有点及交线的方向。 判别两平面之间的相互遮挡关系，判别两平面之间的相互遮挡关系， 即：即： 判别可见

21、性。判别可见性。73可通过正面投影可通过正面投影直观地进行判别。直观地进行判别。abcdefc f db e a m (n )空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABC与与DEF都都为为正垂面正垂面，它们的正面投，它们的正面投影都积聚成直线。影都积聚成直线。交线必交线必为一条正垂线为一条正垂线，只要求得只要求得交线上的一个点便可作出交线上的一个点便可作出交线的投影。交线的投影。 求交线求交线 判别可见性判别可见性作作 图图 从正面投影上可看出，从正面投影上可看出，在交线左侧，平面在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。在上，其水平投影可见。nm能否不用重能否不用重影点判别？影点判别？能能

22、!如何判别？如何判别？例：求两平面的交线例：求两平面的交线MN并判别可见性。并判别可见性。74b c f h a e abcefh1(2)空间及投影分析空间及投影分析 平面平面EFH是一水平面，它的是一水平面，它的正面投影有积聚性。正面投影有积聚性。a b 与与e f 的交点的交点m 、 b c 与与f h 的交点的交点n 即为两个共有点的正面投影，即为两个共有点的正面投影，故故m n 即即MN的正面投影的正面投影。 求交线求交线 判别可见性判别可见性点点在在FH上，点上，点在在BC上，上，点点在上，点在上，点在下，故在下，故fh可见，可见，n2不可见。不可见。作作 图图mn 2 nm 1 75c d e f a b abcdef投影分析投影分析 N点的水平投影点的水平投影n位于位于def的外面，说的外面，说明点明点N位于位于DEF所确所确定的平面内，但不位定的平面内，但不位于于DEF这个图形内。这个图形内。 所以所以ABC和和DEF的交线应为的交线应为MK。nn m kmk 互交互交763.求一般位置直线和一般位置平面的交点求一般位置直线和一般位置平面的交点方法：辅助平面法方法：辅助平面法求解过程：求解过程：NMFECABRK1.1.作辅助平面作辅助平面R R2.2.求出交线求出交线MNMN3.3.求交线与求交线与EFEF的交点，的交点，即为所求交点即为所求交点K K77