数学提高题(1)单点运动问题

1、数学提咼题(1)单点运动问题1如图 1，矩形 ABCD 中，AB=4, AD=3，把矩形沿直线 AC 折叠，使点 B 落在点 E 处, AE 交CD 于点 F，连接 DE .(1)求证： DECEDA ; (2)求 DF 的值；(3)如图 2,若 P 为线段 EC 上一动点，过点 P 作厶 AEC 的内接矩形，使其定点 Q 落在线 段 AE 上，定点 M、N 落在线段 AC 上，当线段 PE 的长为何值时，矩形 PQMN 的面积最大？ 并求出其最大值.【解答】：(1)证明：由矩形的性质可知 AD = CE, DC=EA，/ ACD= / CAE,在厶 ADE 与厶 CED 中AD=CE DE=

2、ED DECEDA (sss；tDC=EA(2) 解：如图 1 ,/ ACD= / CAE, AF =CF ,设 DF=x，贝UAF=CF=4 - x,在 RTAADF 中, AD2+DF2=AF2,即 32+X2= (4 - x)2,解得；x=即 DF=. s(3) 解：如图 2，由矩形 PQMN 的性质得 PQ/ CA化严又 CE=3,AC=：.=5设 PE=X(0vxv3),ADCCEA,即PQPQ= =:.:.过 E 作 EG 丄 AC 于 G,贝 U PN/ EG,-=H1CE EG又在 RtAAEC 中，EG?AC=AE?CE,解得 EG=：5.3-x PN=鷹5即 PN(3 -

3、x)5设矩形 PQMN 的面积为 S 则一 1 2-I 一 ；S=PQ?PN=-x+4x= -“一|+3(Ovxv3)332所以当 x=即 PE=时，矩形 PQMN 的面积最大，最大面积为 3.2 2【思路】：(1)由矩形的性质可知 ADCCEA，得出 AD=CE, DC = EA,/ ACD = / CAE，从而求得 DECEDA;(2) 根据勾股定理即可求得.(3) )有矩形 PQMN 的性质得 PQ/ CA,所以二-二，从而求得 PQ,由 PN / EG,得出=门CE CACE EG求得 PN,然后根据矩形的面积公式求得解析式，即可求得.2如图 1,已知点 A (2, 0), B (0,

4、 4), / AOB 的平分线交 AB 于 C, 一动点 P 从 0 点出 发，以每秒2 个单位长度的速度，沿 y 轴向点 B 作匀速运动，过点 P 且平行于 AB 的直线交 x 轴于 Q，作 P、Q关于直线 OC 的对称点 M、N .设 P 运动的时间为 t (0vtv2)秒.(1 )求 C 点的坐标，并直接写出点 M、N 的坐标(用含 t 的代数式表示)；(2)设厶 MNC 与厶 OAB 重叠部分的面积为 S.1试求 S 关于 t 的函数关系式；2在图 2 的直角坐标系中，画出 S 关于 t 的函数图象，并回答：S 是否有最大值？若有，写 出 S 的最大值；若没有，请说明理由.【解答】 解

5、：(1)如答图 1,过点 C 作 CF 丄 x 轴于点 F , CE 丄 y 轴于点 E,由题意，易知四边形 OECF 为正方形，设正方形边长为/ CE / x 轴，即-，：工，解得 x=.OB 0A 423 C 点坐标为(,)；3 3/ PQ / AB,.,即 DOB 0A 42 OP=2OQ. P (0, 2t), Q (t, 0).对称轴 OC 为第一象限的角平分线，对称点坐标为：M ( 2t, 0), N (0,t).(2)当 0vtW1时，如答图 2 - 1 所示，点Si02M 在线段 OA 上，重叠部分面积为SACMN.=(?2tX+-?tX )- ?2t 帖-t2+2t;23 232当 1vtv2 时，如答图 2 -2 所示，点 M 在 OA 的延长线上，设 MN 与 AB交于点 D，则重叠部分面积为SACDN 设直线 MN 的解析式为y=kx+b,将 M （ 2t, 0）、N（0，t）代入得、汀 T Tx+tx+t;同理求得直线 AB 的解析式为：y= - 2x+4 .联立 y= - x+t 与 y= - 2x+4，求得点 D 的横坐标为 23【思路】 ：（2 所求函数关系式为分段函数，需要分类讨论答图2 - 1，答图 2 - 22tk+b=O,lb=tSACMN= S四边形CMO