2020年高考文科数学大题三角函数与解三角形提分分类解析

1、2020年高考文科数学大题三角函数与解三角形提分分类解析题型一三角函数的图象和性质【例】设 f(x)=2y3sin(ex)sin x(sin x cos x)2.求f(x)的单调递增区间；(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移.个单位3长度，得到函数y=g(x)的图象，求g直)勺值.【解】(1)由 f(x) = 243sin(危 x)sin x (sin x cos x)2=2 艰sin2x (1 2sin xcos x)=。3(1 cos 2x) + sin 2x 1=sin 2x 43cos 2x+ 木113(i兀兀兀由 2k兀一2

2、w次一3<k7t+ 2(kC Z), 得k兀12a4兀+ 裁k £ Z )所以f(x)的单调递增区间是ku-会k it+ 12r l(kCZ) K兀比，k兀+ 52rj kC Z I(2)由知 f(x) = 2sin2倍(纵坐标不变),把y = f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 得到y=2sinx 431的图象,再把得到的图象向左平移 三个单位长度， 3得到y=2sin x+V3-1的图象，即 g(x) = 2sin x+ 51.y=Asin(cox+ 时 + k 的所以 g * h 2sin 6+ 431 = M3.【思维升华】三角函数的图象与性质是高考考查的重点，

3、通常先将三角函数化为形式，然后将t=cox+。视为一个整体，结合 y=sin t的图象求解.【训练】已知函数 f(x)=5sin xcos x- 5/3cos2x+ 523(其中 xC R),求： (1)函数f(x)的最小正周期；(2)函数f(x)的单调区间；(3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心.【解】(1)因为 f(x) = 5sin 2x芋(1 + cos 2x) + 523 =5 gsin 2x堂cos 2x f= 所以函数的最小正周期t=22理兀.,兀兀兀 一(2)由 2kL -& 女一§w 火兀+ 2(kC Z),ztr .兀5兀得k兀12a4兀+ 12(k &

4、#163; Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为, 兀, 5 兀1 一 kL , k兀+ I2jk Z).兀一 兀. 3兀由 2kTt+ 2W 次一3<kTt+ -2(k Z),得 k 兀+ 52双4兀+ 1i12r( ke z ),511所以函数f(x)的单调递减区间为k什52, kTt+ ly (kez).由 2x3= k 兀+2(ke z),得 x= k2?+ 行ke z),所以函数f(x)的对称轴方程为x=枳412(ke z).由 2x 3 = k兀 ke z),得 x= k2?+ Ike z),所以函数f(x)的对称中心为 仔十6, 0)ke z).题型二解三角形【例】9BC

5、的内角 A, B, C的对边分别为 a, b, c,已知sin A + J3cos A=0, a=247, b=2.求角A和边长c；(2)设D为BC边上一点，且 AD± AC,求评BD的面积.【解】(1)sin A+43cos A=0, " tan A= 3f3,p - “2 兀又 0<A<ti, ，A=,3由余弦定理可得 a2= b2+ c2 2bccos A,即 28=4 + c2 2X2cX 2 ,即 c2 + 2c 24 = 0,解得 c= 一 6(舍去)或 c= 4,故 c= 4.(2) c2= a2+ b2 2abcos C,16=28 + 4-2X

6、27X2Xcos C,CD =AC 2cos C 271 .一AC sin / BAC = 2X4>2所以由正弦定理得sin C=csin Aa-1 SAABC= 2AB,1 SaABD= 2szABC = "J3.【思维升华】 根据三角形中的已知条件，选择正弦定理或余弦定理求解；在解决有关角的范围问题时, 要注意挖掘题目中隐含的条件，对结果进行正确的取舍.3【训练】在 AABC中，/ A= 60 , c= 7a.求sin C的值；（2）若a = 7,求那BC的面积.3【解】（1）在祥BC中，因为/ A= 60 , c=；a,3 一(2)因为 a=7,所以 c= 7 >7

7、= 3.由余弦定理 a2= b2+ c2-2bccos A,得72 = b2 + 32-2bX3>2, 解得b=8或b= 5（舍去）.11所以 aABC 的面积 S= 2bcsin A = 2X8M =6'>3.题型三三角函数和解三角形的综合应用【例】如图，某机械厂欲从AB = 2米，AD = 2V2米的矩形铁皮中裁剪出一个四边形ABEF加工成某仪器的零件，裁剪要求如下：点E, F分别在边BC, AD上，且EB=EF, AF<BE.设/ BEF = 0,四边形 ABEF的面积为f（ 9）（单位：平方米）.（1）求f（。）关于。的函数关系式，求出定义域;(2)当BE,

8、AF的长为何值时，裁剪出的四边形ABEF的面积最小，并求出最小值.【解】(1)过点F作FMXBE,垂足为M.在 RtAFME 中,MF =2, / EMF =2 / FEM =依所以EF=磊,ME =tan 0故 AF = BM=EF EM =sin 0tan O'1所以 f( 9 = 2(AF + BE)淤B1-2Xin 0 tan 0 sin一sin 0 tan O'22tan 21 tan22.r 兀由题意可知，AF<BE,所以依2,且当点E重合于点 C时，EF=EB = 2*, FM = 2, 9=j 所以函数f(0) = - 的定义域为sin 0 tan 0(2

9、)由(1)可知,f( 0)= ?"' 'sin 0 tan 04 sin1+c 川 J2sin 2cos 2tan2Ge2/ 24,力故当tan 2 =乎，即2= 232,四边形ABEF的面积最小,此时 BE = -2-=峥,AF = -2- 2-=乎，f( 6) = -4-,2-n= 2J3.sin 03sin 0 tan 03、 sin 0 tan 0"答 当BE, AF的长度分别为43米，竽米时，裁剪出的四边形ABEF的面积最小，最小值为2/3平方米.【思维升华】三角函数和解三角形的综合问题要利用正弦定理、余弦定理进行转化，结合三角函数的性质，要注意角

10、的范围对变形过程的影响.【训练】在3BC中，角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c,且asin B bcos C = ccos B.判断ABC的形状；(2)若 f(x)= ；cos 2x |cos x+L 求 f(A)的取值范围. 232【解】 因为asin Bbcos C= ccos B,由正弦定理可得 sin Asin B sin Bcos C= sin Ccos B.即 sin Asin B = sin Ccos B+ cos Csin B,所以 sin(C+ B)= sin Asin B.因为在 GABC 中，A+B+ C= it,所以 sin A=sin Asin B,一,

11、、， 兀又 sin Aw。,所以 sin B=1, B= 2, 所以AABC为直角三角形.(2)因为 f(x)=1cos 2x-2cos x + 1232= cos2x 2cos x=3cos x1 21一今 一3厂9,所以 f(A)= cos A -1岂139'因为AABC是直角三角形, TT 一所以 0<A<2,且 0<cos A<1 , 所以当cos A=t时，f(A)有最小值1.39所以f(A)的取值范围是-11、 J- 9' 3,专题突破训练1.已知函数 f(x)=Asin(Wx+(f)；A>0, co>0 , |(H<2,

12、x C R和部分图象如图.(1)求函数f(x)的解析式.(2)求函数f(x)在区间0,52r J的最值,并求出相应的x值.【解】(1)由题干图象可知|A|=2,又 A>0,故 A=2.周期丁=4*得5-3 - 122 兀_又 丁=一=兀，co=2.，f(x) = 2sin(2x+ 昉,由题干图象知2兀兀_ 兀_刀+4=3+ 2k Tt, kCZ, =-+2k7； kCZ,326 又IM<2,。=-6:故 f(x)=2sinx 6J(2) /x 0,2x/sin 2x-2, 1 I, 2sin?x-1, 2.当 2x-即 x =6 2，,f(x)取得最大值,f(x)max= f2.当

13、 2x6c = 6?，即 x=0 时，f(x)取得最小值，f(x)min = f(0) = 1.2.设函数 f(x) = 2tan j cos24Zcos2"/ 1.求f(x)的定义域及最小正周期.(2)求f(x)在& 0上的最值.【解】(1)f(x)=2sin 4cos x cos|+6j.x fx ,. x 3x 1 , x 7.住任、= sin 2cos1+6 厂sin 2 2cos 2+2$门 2=V3si<2-6；由4号+ kTtkC Z), 得f(x)的定义域为x|xw2# 4k兀kez),故f(x)的最小正周期为丁 =亍=4兀.2.当 2-*2兀 兀&qu

14、ot;3"， 2，即xC,f(x)单调递减,一兀,当x%2 6兀兀2' 6即xC2, o 时，f(x)单调递增, f(x)min = f 又f(0)=兴f(兀并一I，,3 f(x)max= f(0)=- V3.已知函数 f(x) = sin sx+sin cox6 2cos2-2(, xC R (其中 w>0).(1)求函数f(x)的值域; 兀，、一、一一一 一一、，一、八一、一(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=- 1的两个相邻交点间的距离为2,求函数y=f(x)的单倜递增区间.3131【斛】(1) f(x) = 2sin w x+ 2cos w x+ sin x

15、 2cos w x (cos w x+ 1)1 = 2sin co x 6 厂 1.2 Ain1”c2、2 sin cox 2cos coxj得3<2si兀)x- 6 1W1，所以函数f(x)的值域为 3,1.(2)由题设条件及三角函数的图象和性质可知, .2 冗一I一y=f(x)的周期为 兀，所以二7=5即3=2.所以 f(x) = 2sin 2x- 61,再由2kL2&次於k兀),解得k7171所以函数y= f(x)的单调递增区间为k兀6, k计 Z).4.在 AABC 中，a2+c2=b2+Wac (1)求B的大小;(2)求y2cos A + cos C的最大值.【解】 由

16、 a2+c2= b2+#ac,得 a2+c2b2= #ac.由余弦定理，得cos B=a2 + c2 b2 2ac 212.2ac又 0<B<ti,所以 B = "4，一、一一_兀 3 兀(2) A + C =兀一 B =兀一 4 一 4， 所以 C = 3- A,0<A<3p“LJ冷兀所以 /cos A + cos C = /2cos A + cosA=®cos A +coscos A+ sin -sin A2.2 . .2 . . 2, .一=V2cos A - 2cos A+ 2 sin A=亍sin A + 亍cos A= sinA+,42c

17、os A+ cos C取得最大值1.因为0<a<¥，所以4<a+n故当A+4=2,即a=5 .已知a, b, c分别为 AABC三个内角 A, B, C的对边，且 acos C + V3asin C- b-c=0.求A;(2)若AD为BC边上的中线，cos B = 7，AD = Hp9,求那BC的面积.【解】(1)acos C+43asin Cb c=0, 由正弦定理得 sin Acos C+ >/3sin Asin C= sin B+ sin C,即 sin Acos C + V3sin Asin C=sin(A + C)+ sin C,亦即 sin Aco

18、s C+ 5sin Asin C= sin Acos C+ cos Asin C + sin C, 则 V3sin Asin C cos Asin C = sin C.1又 sin CwO,所以 43sin A cos A=1,所以 sin(A30)=鼻.在AABC 中，0°<A<180°,则一30°<A30°<150° , 所以 A-30O=30°,得 A=60°.14.3(2)在AABC 中，因为 cos B=7，所以 sin B = .所以 sin C=sin(A+B)=¥+；¥ = 543 由正弦定理,得a=£M 设 a = 7x, c= 5x(x>0),则在 AABD 中，AD2= AB2+BD22AB BDcos B,rJ29 -一 111即 7 = 25x + 4X49x 2X5x今次*, 解得x= 1(负值舍去),所以a=7, c=5,1故 S3bc= /acsin B= 10m.6 .已知函数f(x)=cos 2cox+ V3sin 2cox+ t(co>0),若f(x)的图象上相邻两条对称轴的距离为4c，图象过点(。，。)(1)求