同济六版高等数学下)知识点整理

1、第八章1、向量在轴上的投影:性质：（a）u=acos：（即Prj u a = a cos（P）,其中邛为向量a与u轴的夹角;(a + b)u =(a)u +(b)u (即 Prj u(a + b) =Prj u a+ Prj ub)；(痴)u =M5)u (即 Prj u (九5) =KPrj u a)2、两个向量的向量积：设a =axi +ay j +azk ,b = bxi +byj +bzk ,则aybyaz bzi +(-1)1 2axbxaz bzj +(-1)1 3axaybxby= (aybz -azby)i abx -axbz) j (axby - aybx)k注：a b =

2、b a3、二次曲面 22(1)椭圆锥面：与+ 4 = z2（6）双曲抛物面（马鞍面）：W = z；a b;a b22222（2）椭圆抛物面：与+当=z；（旋转抛物面： jr =z （把把xOz面上的抛物线与=2绕 a baaz轴旋转）22222222（3）椭球面：x2十*十=1；（旋转椭球面：十4=1 （把xOz面上的椭圆斗+4 = 1a b ca ca c绕z轴旋转）222（4）单叶双曲面： 冬+4-4=1； a b c22曲线'-1=1绕z轴旋转）a c222（5）双叶双曲面：今-彳=1； a b c222（旋转单叶双曲面：-号=1 （把xOz面上的双a c222（旋转双叶双曲面：

3、 今- = 1 （把xOy面上的双a c22曲线0=1绕x轴旋转） a c2222椭圆柱面：与十4=1；双曲柱面：3-4=1；抛物柱面：x2=ay 2222a ba b4、平面方程(1)平面的点法式方程：A(x-xJ+B(y-y0)+C(z-4) =0 ,其中M 0(Xo,yo,Z0)是平面上一点,n = (A, B,C)为平面的一个法向量(2) 平面的一般方程：Ax+ By+Cz + D =0,其中n = (A,B,C)为平面的一个法向量注：由平面的一般方程可得平面的一个法向量 n=(A, B,C)若D=0,则平面过原点;右 A = 0, ,'D =0,则平面过x轴D #0,则平面平

4、行于x轴右 A = B = 0,=0,则平面表示xOy面:0,则平面平行于xOy面(3)平面的截距式方程:-+-=1,其中a,b,c分别叫做平面在x,y,z轴上的截距. a b c5、两平面的夹角:cos 二AA2 + B1B2 +C1C2,A2 B12 Ci2 A B22 C22特殊：两平面互相垂直u A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0八一,、.一，,、 ，、.|AA+By° + Cz0+D6、点 P (x0, y0, z0)到平面 Ax + By+Cz + D =0 的距离公式：d= /,A2 B2 C27、空间直线方程(1)空间直线的一般方程:Ax+B1y + C1z

5、 + D1 =0、A2x + B2y+ C2z + D2 =0(2)空间直线的对称式(点向式)方程： 七至= 30=9°,其中s=(m,n, p)为直线的一 m n p个方向向量，M (x0 ,y°,z°)为直线上一点x = x0 mt(3)空间直线的参数方程：(y = y0+nt z = pt8、两直线的夹角：cos邛 =|m1m2 +nn2 + P1P2222222.m n1 P1 .L m2 n2 P2特殊： 两直线互相垂直 = mm2+nn2 + P1P2 =09、直线与平面的夹角：sin* 1Am + Bn 4cpi 222222A B C m n pA

6、BC特殊： 直线与平面垂直 Um n p直线与平面平行或在平面内：Am Bn Cp = 010、平面束的方程：设直线L由方程组1Ax+ B1y+C1z + D1 0所确定其中abc与A2,B2,C2不成比例，则平面 A2x+B2y+C2z + D2=0A1x+B1y+C1z+D1 +九(A2x+B2y+C2z+D2)=0为通过直线L的所有平面(不包含平面A2x + B2y +C2z +D2 =0)第九章1、内点一定是聚点；边界点不一定是聚点2、二重极限存在是指P(x,y)以任何方式趋于Po(xo，yo)时，f(x,y)都无限接近于A,因此当P(x, y)以不同方式趋于B(xo，y。)时，f(x

7、,y)趋于不同的值，那么这个函数的极限不存在3、偏导数：求 f时，只要把其他量(y, z,)看作常量而对x求导数； ；x求f时，只要把其他量(x, z,)看作常量而对y求导数； ：:y注意：(1)偏导数都存在并不一定连续；(2)名为整体，不可拆分；：:x(3)分界点，不连续点处求偏导数要用定义求4、若函数z=f(x, y)在点(x, y)可微分，则该函数在点(x,y)的偏导数 三、三必定存在，且函数 ；x 二 yz = f (x, y)在点(x, y)的全微分为 dz = dx + dy ；:x；:y5、若函数z = f (x, y)的偏导数必、乌在点(x,y)连续，则函数在该点可微分 :x:

8、y6、f (x,y)连续，偏导数不一定存在，偏导数存在，f(x,y)不一定连续；f (x, y)连续，不一定可微，但可微，f(x, y)一定连续；可微，偏导数一定存在，偏导数存在，f(x, y)不一定可微；可微，偏导数不一定都连续；偏导数都连续，f(x,y) 一定可微7、多元复合函数的求导法则：(1) 一元函数与多元函数符合的情形： 若函数u =平及v =中(t)都在点t可导，函数z = f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数z=fW(t)W(t)在点t可导，且有dz = 以电+学型 dt . u dt :v dt(2)多元函数与多元函数复合的情形：若函数u =9(x,y)

9、及v=(x, y)都在点(x,y)具有对x及对y的偏导数，函数z= f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数z= f W(x, y)了(x, y)在点z二 z二u二 z二 v二 z:z二 u(x, y)的两个偏导数都存在，且 一 =+; =+ex二u二x二v二x二ycu二y(3)其他情形：若函数u =9(x,y)在点(x,y)具有对x及对y的偏导数，函数v=(y)在点y可导,函数z = f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数z= fW(x,y),中(y)在点(x,y)的两个偏导数都存在，且 ;三=三土 三芝；xfu ；xjy ；:u Fy A y8、隐函数求

10、导公式：(1)函数 F(x, y)： dy = _ dx Fy(2)函数 F(x, y, z)：.:zFyFzFz则在点M处的切线方程为:x - xoFy FzGyGz my - yoFz FxGzGx Mz - zoFx FyGxGy法平面方程为:Fy FGyG(x - xo)MFz FGzG(y y。)MFxFyGxFy(z-zo) =o9、空间曲线的切线与法平面：设空间曲线 r的参数方程为x = (t),，y =中(t), t wo(,PM(xo，yo，zo)为曲线上一点z =®(t),假定上式的三个函数都在 9,P上可导，且三个导数不同时为零则向量T = f'(t0)

11、 =H'(t0)W'(t0),(t0)为曲线在点M处的一个切向量，曲线在点M处的切线方程为：1 =厂=三二电，法平面方程为：P'(t0)(x-x0)+'(t0)(y-yo)+«'(t0)(Z-Z0) = 0：'(3'(to)-«)如果空间曲线的方程以Jy =w(x),的形式给出, (x),io、曲面的切平面与法线：设曲面方程为 F(x,y,z)=o, M (xo, yo,zo)为曲面上一点，则曲面在点M处的切平面方程为：Fx(xo, yo,z0)(x-xo) + Fy(x°,yo,zo)(y-yo)+Fz(x

12、°,yo,zo)(z-4)=o , 法线 方程为:x - xoy yoz - zoFx(x0, yo,z°)Fy(xo,y°,zo)Fz(x°, y°,z°)11、方向导数：若函数f(x,y)在点P0(xo，y。)可微，那么函数在该点沿任一方向l的方向导数存在,且干一 =fx(x0, y0 )coscc + fy(x0, yo)cos P ,其中 cosa ,cos 口 是方向 l 的方向余弓幺 .112、梯度：fx(x0,yo)+ fy(xo，yo)称为函数 f(x, y)在点 Po(xo, yo)的梯度，记作gradf (x0,y

13、。)或Vf (xo,yo),即 gradf (xo, y。)- f (x°, yO) = fx(x°, y°)ify(xO, y°) j13、设函数z = f (x, y)在点(xo, yo)具有偏导数，且在点(x°, y°)处有极值，则fx(x0,y0)= 0，fy (x0 , y0 ) = 014、设函数z = f (x,y)在点(xo, yo)的某邻域里连续且有一阶及二阶偏导数，又fx(x0,yo) 0, fy(x0,y0) -0 ,令fxx(xo,yo)=A,fxy(xo,yo) = B,fyy(xo,yo)=C，则 f(x，

14、y)在点(x0,yo)处是否取得极值的条件如下：(1) AC-B2 >。时具有极值，且当Ac。时有极大值，当Aa。时有极小值；(2) AC -B2 <o时没有极值；(3) AC -B2=o时可能有极值，也有可能没有极值15、具有二阶连续偏导数的函数z = f (x,y)的极值求法：第一步：解方程组fx(x,y)=o,fy(x,y)=o,求得一切实数解，即可求得一切驻点；第二步：对每一个驻点(x°,yo),求出二阶偏导数的值 A,B和C;第三步：定出AC-B2的符号，按14的结论判定f(x°,yo)是不是极值，是极大值还是极小值注：上述步骤是求 具有二阶连续偏导数

15、的函数得情况下，那么在考虑函数极值时，除了考虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那么对这些点也要考虑16、拉格朗日乘数法：要找函数z= f(x,y)在附加条件中(x,y)=o下的可能极值点，可以先作拉格朗日函数L(x, y) = f (x, y)十心(x, y),其中人为参数.求其对x及y的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程中(x, y) =o联立起来：工fx(x, y) , (x, y) =oYy(x, y)+my(x,y) =o,由这方程组解出x, y及九，这样得到的(x, y)就是函数f(x, y)在附加条9(x, y) =o件3(x, y) =0下的可能极值点第十章1、二重积分的性

16、质性质1:设“、P为常数，则： f(x,y) g(x, y)d；-： f (x,y)d； i i g(x, y)d。. DDD性质2:如果闭区域D被有限曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在各个部分闭区域上的二重积分之和.(二重积分对于积分区域具有可加性)性质3:如果在D上，f(x,y)=1,仃为D的面积，则性质 4:如果在 D 上，f (x,y) W 邛(x, y),则有：JJ(f (x,y)d仃 严(x,y)do. DD特殊地,由于 一 f (x, y) W f (x, y)引 f (x, y),则 JJf(x, y)do 4jj|f(x, y)da|. DD性质5:设M,m分

17、别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，仃是D的面积，则有me- _ f (x, y)d；：- _ M。.D性质6 (二重积分的中值定理)：设函数f(x,y)在闭区域D连续，。是D的面积，则在D上至少存在一点(之列)，使得JJf (x, y)d。= f «,")灯.D2、二重积分直角坐标的计算法：(1)若积分区域D可用不等式%(x)<y <2(x) , a <x<b (X型)来表示，其中中i(x)、中2(x)、b2( x)在区间a,b上连续.则口 f (x, y)d。= j dx$(x) f (x, y)dy. D1(2)若积分区域D可用不等式

18、(x) <x<*2(x), a<y <b (Y型)来表示，其中句(x)、*2(x),、,d 2(x)在区间c,d 上连续.则 f f f (x, y)d。= dy 卜 f (x, y)dx. c 1(x)D注：确定次序原则：(1)函数原则：内层积分可以积出；(2)区域原则；(3)少分块原则.3、二重积分极坐标的计算法：(极坐标系中的面积元素：Pd%8) 若积分区域D可用不等式，(x) "EQ(x) , awewP来表示，其中Q(x)、中2(x)在区间巴盯上连 续.则：一一一一：.一八、JJ f (x, y)da = ff f (cos, Psin 日)Rd%6

19、 =1d日幻 f (Pcos。, PsinO)PdP (详见 P145,146)DD4、确定上下限原则:(1)每层下限小于上限；(2)内层一般是与外层积分变量的有关的函数，也可以是常数;(3)外层一定为常数.5、利用被积函数的奇偶性及积分区域的对称性简化：(1)若积分区域D关于x = 0对称，则：0,当f (x,y) = f (x, y)口 f (x,y)dxdy = «,D2 1 f (x,y)dxdy,当 f (x, y) = f (x, y)其中 D1 = '(x, y) (x, y) D,x . 0 :(2)若积分区域D关于y = 0对称，则:0,当f (x,y) =

20、 f (x, y)f (x,y)dxdy = «,D2 1 f (x,y)dxdy,当 f (x,y) = f (x,y)、Di其中 D2 = '(x, y) (x, y) D,y _0 :'6、直角坐标三重积分的计算：(1 )先一后二：若夏=«x,y,z)4(x,y) WzWz2(x,y),(x, y)w Dxy,闭区域Dxy = '(x, y) yi(x) -y 一 yz(x),a -x _b/,贝汁：by2Z2(x,y)f (x, y, z)dv = J dx dy f f (x, y, z)dz (详见 P158,159).(yiz2(x,y

21、)(2)先二后一(截面法)：S1 :将。向某轴投影，如z轴，zYgc;S2 :对zkci。,用平行于xoy面的平面截建，截出部分记为Dz；S3 :计算/J f (z)dxdy ;DzC2S4 :计算F (x, y)dzci若空间区域C =<x,y,z) (x,y) w Dz,G z c2 )，其中Dz是竖坐标为z的平面截闭区域。所得到的一个平面闭区域，则：注：适用于被积函数只有一个变量或为常数7、柱面坐标三重积分的计算：0Mp<y；0 <0 <2Ji ; -8<z<yP=常数，即以z轴为轴的圆柱面;e=常数，即过z轴的半平面；z二常数，即与xoy面平行的平面

22、 柱面坐标系中的体积元素：dv =：石R -dzf (x, y, z)dxdydz = JJJF(P,e,z) AdPd8dz,其中 F(P,e,z) = f (PcosH, Psin仇 z)QQ再化为三次积分计算T22z2(:ffj f(x, y,z)dxdydz= f d0L PdPf ”凸F(P,仇z)dz,其中乙的，z2(P,e)为沿z轴穿线穿过的两,二F/z("9个平面方程(个人理解)8、球面坐标三重积分的计算：0<r <+*, 0W邛 <n , 0<6 <2jt球面坐标系中的体积元素：dv =r2sin牝rd中d6口 f (x,y,z)dxd

23、ydz = JJF(r,Q8)r2sin中drd中d8 ,QQ其中F(r,Ql) = f (rsin平cosH,rsin平sin&rcos中)，再化为三次积分计算n .2.小白 .2用f (x, y, z)dxdydz = d & d?(包F(rWr sin中dr ,其中r1(中，火中月)为沿z轴身线交过的两个平面方程(个人理解)典例：求由曲面x2 +y2 +z2 w2a与z之qx2+y2所围成立体体积(利用三种坐标系求解)解：x2 + y2 +z2 w 2a表示球心在原点，半径为 J2a的球体，z之jx2 + y2表示xoy上半面圆锥体 直角坐标：2 二.a 一 、 2a2?

24、柱面坐标：V = dv = d? ：-d ''' i, dz -00:.1JT- 一一2 一-2a c球面坐标：v= dv = d - 4 d ： r sin dr ,00 oH章1、对弧长的曲线积分的计算法：设f (x,y)在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为|x=<P(t) , (a <t <P),其中中(t),版t)在 y = (t)a,月上具有一阶连续导数，且中'2(t)十G'2(t) 第0 ,则曲线积分f (x,y)ds存在，且f(x,y)ds= LfN(t),欠t)«'2(t) +52(t)dt 3 &

25、lt;P)x = ：(t)同理：空间曲线r : 4 y =%)z =切(t)2、对坐标的曲线积分的计算方法：x=q"t)设P(x,y)、Q(x,y)在有向曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为Jt) ,当参数t单调地由 y;口变到P时，点M(x, y)从L的起点A沿L运动到终点B ,中(t),巾(t)在以口及P为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且 邛'2(t) M'2(t) #0 ,则曲线积分(P(x,y)dx + Q(x, y)dy存在，且P(x, y)dx+Q(x,y)dy= PN(t)/(t) +Q邛(t)*卅(t)dt (下限 a 对应于 L 的起点，上限 P

26、 对应于L的终点)x = ：(t)同理：空间曲线r : <y =®(t) z= (t)3、平面曲线L上两类曲线积分的联系：(Pdx +Qdy = (Pcosa +QcosP)ds ,其中 «(x, y,z), 口(x, y,z)为有向曲线弧 L 在点(x, y)处的切向量方向角 cosa =，J (t), cosa = f (t).'2(t)'2(t), '2(t)'2(t)同理：空间曲线上两类曲线积分的联系：4、格林公式：设闭区域D由分段光滑曲线L围城，函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则有党-*S = A +Qdy，其中L是D的取正向的边界曲线D的面积A的两倍，因止匕,注：取P = -y, Q=x,则2Hdxdy=Q xdy- ydx左端表示闭区 D2 Q xdy - ydx5、