不同增长的函数模型

1、函数模型及其应用函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型几类不同增长的函数模型祁东二中祁东二中 谭雪峰谭雪峰 最意想不到的灾害最意想不到的灾害澳大利亚澳大利亚兔灾兔灾该选择哪种该选择哪种函数模型描函数模型描述这一现象述这一现象呢？呢？ 我们知道，我们知道，函数是描述客观世界函数是描述客观世界 变化规律的基本数学模型，不同的变化规律的基本数学模型，不同的 变化规律需要用不同的函数模型来变化规律需要用不同的函数模型来 描述。描述。材料：澳大利亚兔子数材料：澳大利亚兔子数“爆炸爆炸” 这是历史上影响最大的生物入侵灾难之一。兔子这是历史上影响最大的生物入侵灾难之一。兔子并不是澳大利亚土生的，在

2、并不是澳大利亚土生的，在18591859年以前，那里还没年以前，那里还没有兔子。但在那一年，有一个农民从英格兰带来了有兔子。但在那一年，有一个农民从英格兰带来了一群野兔，共有一群野兔，共有2424只。他完全没有料到，他的这一只。他完全没有料到，他的这一举动将要引起一场农业灾难。在澳大利亚，兔子几举动将要引起一场农业灾难。在澳大利亚，兔子几乎没有什么天敌，兔群每年向北、向西扩大乎没有什么天敌，兔群每年向北、向西扩大100100公公里，到里，到19501950年，就蔓延到整个澳洲大陆，据估计，年，就蔓延到整个澳洲大陆，据估计，约有约有7.57.5亿只野兔，等于这里人口的亿只野兔，等于这里人口的75

3、75倍，倍，1010只野只野兔就可以吃掉一只绵羊的饲料，它们吃庄稼，毁坏兔就可以吃掉一只绵羊的饲料，它们吃庄稼，毁坏新播下的种子，啃嫩树皮，并且打地洞损坏田地和新播下的种子，啃嫩树皮，并且打地洞损坏田地和河堤。筑篱笆也不能阻止它们侵入农民的田地。在河堤。筑篱笆也不能阻止它们侵入农民的田地。在几十年时间里，澳大利亚的农业遭受了惨重的几十年时间里，澳大利亚的农业遭受了惨重的损失损失。 例例1 、 假设你有一笔资金用于投资，现假设你有一笔资金用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：案的回报如下：方案一、每天回报方案一、每天回报40元；元；方案二、

4、第一天回报方案二、第一天回报10元，以后每天比元，以后每天比前一天多回报前一天多回报10元；元；方案三、第一天回报方案三、第一天回报0.4元，以后每天的元，以后每天的回报比前一天翻一番回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？请问，你会选择哪种投资方案？下面我们先来看两个具体问题。下面我们先来看两个具体问题。 2.如何建立日回报金额与天数的函数模型？如何建立日回报金额与天数的函数模型？1.依据什么标准来选取投资方案？依据什么标准来选取投资方案？分析：分析：日回报金额，还是累计回报金额？日回报金额，还是累计回报金额？例例1 、 假设你有一笔资金用于投资，现在有三种假设你有一笔资金用于投资，

5、现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一、每天回报方案一、每天回报40元；元；方案二、第一天回报方案二、第一天回报10元，以后每天比前一天多元，以后每天比前一天多回报回报10元；元；方案三、第一天回报方案三、第一天回报0.4元，以后每天的回报比元，以后每天的回报比前一天翻一番前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？请问，你会选择哪种投资方案？4040401010+10=10210+10+10=10310+10+10+10=10410+10+10+10+10=1050.4 0.420.422=0.4220.4222=0.4230.4222

6、2=0.424方案一方案一方案二方案二方案三方案三12345则方案一可以用函数则方案一可以用函数_描述；描述；方案二可以用函数方案二可以用函数_描述；描述；方案三可以用方案三可以用 _描述。描述。设第设第x x天的日回报金额是天的日回报金额是y y元元40()yxN10 ()yx xN10.4 2()xyxN4040求累计回报函数求累计回报函数方案一、方案一、Z=40+40+40+40=40X方案二、方案二、Z=10+20+30+10X=？方案三、方案三、Z=0.4+0.8+1.6+0.4X2x-1=?方案一可以用函数方案一可以用函数 进行描述；进行描述；方案二可以用函数方案二可以用函数 进行

7、描述；进行描述；方案三可以用函数方案三可以用函数 进行描述进行描述.40()yxN1*0.4 2()xyxN2、这三个函数模型的增减性如何？、这三个函数模型的增减性如何？ 如何分析？如何分析？1、要对三个方案作出选择，可通过研、要对三个方案作出选择，可通过研究日回报函数的特征及试算来得到解答。究日回报函数的特征及试算来得到解答。 方法：就要对它们的方法：就要对它们的增长情况增长情况进行分析进行分析*10 ()yx xN手段：表格与图象手段：表格与图象x/天天方案一方案一方案二方案二方案三方案三y/元元增长量增长量/元元y/元元增长量增长量/元元y/元元增长量增长量/元元140100.42400

8、20100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.23040030010214748364.8107374182.4“指数爆炸指数爆炸”式增长式增长!从表格中获取信从表格中获取信息，体会三种函息，体会三种函数的增长差异数的增长差异.xy4 40 0y y20406080100120140426810121 1x x2 20 0. .4 4y y1 10 0 x xy y 三个函数的图象三个函数的图象3579111看到

9、，底为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多。从中你对“指数爆炸”的含义有什么新的理解？结论结论从日回报量从日回报量 来看：来看： 第第1 13 3天，方案一最多；天，方案一最多；第第4 4天天, ,方案一、二一样多；方案一、二一样多； 第第5 58 8天，方案二最多：天，方案二最多： 从第从第9 9天开始，方案三最多天开始，方案三最多( (即即y y) )x/天天方案一方案一方案二方案二方案三方案三y/元元增长量增长量/元元y/元元增长量增长量/元元y/元元增长量增长量/元元140100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.654005

10、0106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.23040030010214748364.8107374182.4思考思考根据以上的分析，是否应作这样根据以上的分析，是否应作这样的选择：的选择：投资投资1 13 3天选择方案一；天选择方案一；投资投资4 4天选择方案一或方案二；天选择方案一或方案二；5 58 8天选择方案二；天选择方案二；8 8天以上选择天以上选择方案三？方案三？ 因此，投资因此，投资8天天以下以下(不含不含8天天)，应选择第一种投应选择第一种投资方案；投资资方案；投资810天，应选

11、择天，应选择第二种投资方案；第二种投资方案；投资投资11天天(含含11 天天)以上，刚应以上，刚应选择第三种投资选择第三种投资方案方案.表-2表-2 累计回报效益累计回报效益回报(元)回报(元) 回报(元)回报(元) 回报(元)回报(元)1 1404010100.40.42 2808030301.21.23 312012060602.82.84 41601601001006 65 520020015015012.412.46 624024021021025.225.27 728028028028050.850.88 83203203603601021029 9360360450450204.4

12、204.41010400400550550409.2409.21111440440660660818.8818.8x（天）x（天）方案二方案二方案三方案三方案一方案一 由表由表-1-1和图和图-1-1可知，方案一可知，方案一的函数是的函数是常数函数常数函数，方案二的函，方案二的函数是数是一次函数一次函数、方案三的函数是、方案三的函数是指数型函数指数型函数，方案二、三的函数，方案二、三的函数都是增函数，但是方案三的函数都是增函数，但是方案三的函数与方案二的函数的与方案二的函数的增长情况很不增长情况很不同同. .可以看到，不同的函数增长模可以看到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异。型，增长

13、变化存在很大差异。 例例 2、 某公司为了实现某公司为了实现1000万元利润的目标，万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售在销售利润达到利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，万元时，按销售利润进行奖励，且奖且奖金金 y (单位：万元单位：万元)随销售利润随销售利润 （单位：万元）的（单位：万元）的增加而增加，但增加而增加，但奖金总数不超过奖金总数不超过5万元万元，同时，同时奖金奖金总数不超过利润的总数不超过利润的25%,现有三个奖励模型：现有三个奖励模型：其中哪个模型能符合公司的要求？）其中哪个模型能符合公司的要求？）,002. 1 1

14、log 25. 07xyxyxy，xFD销售利润达到销售利润达到1010万元时，按万元时，按销售利润进行奖励，且人员销销售利润进行奖励，且人员销售利润一般不会超过公司总的售利润一般不会超过公司总的利润利润10001000万元，所以销售利万元，所以销售利润润x x可用不等式表示为可用不等式表示为_. _. 101000 x依据这个模型进行依据这个模型进行奖励时，奖金总数不奖励时，奖金总数不超过超过5 5万元，所以奖金万元，所以奖金y y可用不等式表示为可用不等式表示为_._.05y依据这个模型进依据这个模型进行奖励时，奖金不行奖励时，奖金不超过利润的超过利润的25%25%，所以奖金所以奖金y y

15、可用不可用不等式表示等式表示_._.00025yx思考：思考：函数的定义域？函数的定义域？要满足哪些条件？要满足哪些条件？ 不妨先作出函数图象，通过观察函不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论再通过具数的图象，得到初步的结论再通过具体计算，确认结果体计算，确认结果.解题思路：解题思路：101000 x 05y 00025yx 我们不妨先作出三个函数图象：我们不妨先作出三个函数图象：400600800 1000 1200200 1 2 3 45678xyoy=5y=0.25x1log7xyxy002. 1 通过观察图象，哪个模型符合公司的奖励方案？通过观察图象，哪个模型符合公司的

16、奖励方案？2004006008001000 xy25. 0 xy002. 15y1log7xy234567810 xy3 3、对于模型、对于模型 , ,它在区间它在区间10,100010,1000上上递增递增, ,观察图象并结合计算可知观察图象并结合计算可知, ,当当x=1000 x=1000时时, ,y=logy=log7 71000+14.555,1000+14.55806x806时时,y5,y5,因此该模型不符合要求因此该模型不符合要求; ;1.002xy1 1、对于模型、对于模型 , ,它在区间它在区间10,100010,1000上递增上递增, ,当当x20 x20时时, ,y5y5,

17、 ,因此该模型不符合要求因此该模型不符合要求; ;0.25yx解当解当 时时, ,要使要使 成成立立, ,10,1000 x0.25yx7log1 0.25xx 只需成立，7log1 0.25xx 即0的图象是否在的图象是否在 轴下方轴下方? ?710,1000( )log1 0.25xf xxx 即当时，x 按模型按模型 奖励时，奖金是否不超奖励时，奖金是否不超 过利润的过利润的25%25%呢？呢？7log1xy= 是否有是否有 恒成立恒成立? ?7( ) log1 0.2510,1000f xxxx 令，当时，( )0f x 作作 在区间在区间 的图象如下：的图象如下：(0,)7( ) l

18、og1 0.25f xxx yx1 2 3 4 5 6 7 801-17( ) log1 0.25f xxx 根据图象观察根据图象观察, , 的图象的图象在区间在区间10,100010,1000内的确在内的确在x x轴的下方轴的下方. .7( ) log1 0.25f xxx 这说明这说明, ,按模型按模型 奖励奖励, ,奖金不会超过奖金不会超过利润的利润的25%.25%.7log1yx综上所述，模型综上所述，模型 确实能符合公司要求。确实能符合公司要求。7log1yxGC一次函数一次函数 ， 对数型函数对数型函数 :指数函数指数函数 ，7log1yx0.25yx1.002xy 结论结论（1

19、1）在）在 都是增函数都是增函数. .0,（2 2）增长速度不同，而且不在同一个）增长速度不同，而且不在同一个“档次档次”上上. .课堂小结课堂小结 1.增长的一次函数、指数函数、对数函数增长的一次函数、指数函数、对数函数2.主要数学思想方法：主要数学思想方法：数形结合数形结合增长速度不同，而且不在同一个增长速度不同，而且不在同一个“档次档次”上上. .解决实际问题的步骤：解决实际问题的步骤：实际问题实际问题读懂问题读懂问题抽象概括抽象概括数学问题数学问题演算演算推理推理数学问题的解数学问题的解还原说明还原说明实际问题的解实际问题的解 1、四个变量 随变量 变化的数据如下表：43,21,yyy

20、yx1.0051.01511.04611.14071.42952.310751551301058055305337331758.294.478545053130200511305051305302520151050 x1y2y3y4y51037. 67102 . 181028. 2.2y关于x呈指数型函数变化的变量是 2、某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么每轮病毒发作时，这台计算机都可能感染没被感染的20台计算机。现在10台计算机在第1轮病毒发作时被感染，问在第5轮病毒发作时可能有多少台计算机被感染？解：设第解：设第1轮病毒发作时有轮病毒发作时有a1台电

21、脑被感染台电脑被感染，第第2轮，第轮，第3轮轮依次有依次有a2,a3, 台电脑台电脑被感染，依题意有被感染，依题意有a5=10204=1600000答答:在第在第5轮病毒发作时会有轮病毒发作时会有160万台被感染万台被感染.作业习题习题3.2 A组组1、2 B组组 1解：解： 借助计算机作出函数借助计算机作出函数 的图象的图象(图图3.2-2).5, 0.25 , yyx1.002xy 7log1, yx 观察图象发现，在区间观察图象发现，在区间10 ,1000上，模型上，模型 的图象都有一部分在直线的图象都有一部分在直线 的上方，只有的上方，只有模型模型 的图象始终在的图象始终在 的下方，这说明的下方，这说明只有按模型只有按模型 进行奖励时才符合公司的要求，进行奖励时才符合公司的要求，下面通过计算确认上述判断下面通过计算确认上述判断. ,25. 0 xy5y1log7xy5y1log7xyxy002. 1首选计算哪个模型的奖金总数不超过首选计算哪个模型的奖金总数不超过5万万.对于模型对于模型 ，对于模型对于模型 ， xy25. 0