全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及解析(完整精准版)

1、谢谢观赏2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及解析(完整精准版)一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每题给出四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项的字母填在答题纸指定位置上。(1)下列曲线中有渐近线的是(D)21(A)y=x+sinx.(B)y=x+sinx.(C)y=x+sin.x21y=xsin.x.1f(x)xsin-11【斛析】a=lim=limx=lim(1sin)=1x-xxxx:xx1b=limf(x)-ax:limxsin-x二limsin-1y=x是y=x+sin的斜渐近线x【答案】C(2)设函数f(x网有2阶导数，g(x)=f(0。x)十f

2、x,则在区间0,1上()(A)当 f (x 之0 时，f (x)*g(x).(B)当 fl(x)之 0 时，f(x)«g(x)(C)当 f(x)2 0 时，f (x)之 g(x).(D)当 f20 时，f(x)4g(x)谢谢观赏【解析】当f"(x)之0时，f(x)是凹函数而g(x用连接(0,f(0)与(1,f(1)的直线段，如右图故fx-gx【答案】D11-y设f(x,y)是连续函数，则dy1rf(x,y)=0-=i1-y1x101-x1 -x00(B)I dx f f (x, y)dy +dxjjf (x, y)dy.001一 1 "K(A)dxf(x,y)dy

3、+Ldxf(x,y)dy.(C)jdecosf(rcose1,rsini)dr-.d二f(rcosr,rsini)dr.20(D)2dlc0s二sin1f(r二1cosi,rsin?)rdrf(rcosi,rsin?)rdr.2【解析】积分区域如图0可w1.用极坐标表木,即:D1：0_r_1D2：0,r-cos二sin二acosx -bsin x)2dx2,I-(x-a1cosx-bisinx)dx=巾小(x-a,bR,-二a1cosxb1sinx=(A)2nsinx.(B)2cosx.(C)2二sinx.(D)cosx.【解析】令Z(a,b)=，(x2.一acosx-bsinx)dxZa=2

4、_-(x-acosx-bsinx)(-cosx)dx=0Zb=2_-(x-acosx-bsinx)(-sinx)dx=0由(1)得2a 0 cos xdx = 0a = 0, a 二 0由(2)得0xsin xdxb 二一二二 20 sin2 xdxb1 =2(5)行列式(A) (ad-bc) 2(B) - (ad-bc)2。(C) a2d2-b2c2.(D) b2 c2-a2 d2【解析】按第4行展开c(-1)4 +d(-1)44=-c b(-1)31 2+ d a (-1)2+ c=(ad-bc)bc-ad(ad-bc)2=(ad-bc)(bc-ad)=-(ad-bc)【答案】B(6)设四

5、，口2,口3均为3维向量，则对任意常数k,l,向量组汽1+ko(3,豆2+1汽3线性无关是向量组0(1,«2,口3线性无关的()(A)必要非充分条件.(B)充分非必要条件.(C)充分必要条件.(D)既非充分也非必要条件10、【解析】由(a1+ka3,CC2+1U3)=(0(102,0(3)01知，小lr10当口1,0(2,0(3线性无关时，因为O001所以0(1+ko(3,o(2+1(X3线性无关反之不成立如当0(3=0,口1与0(2线性无关时，a1,(/2,«3线性相关【答案】A(7)设随机事件A与B相互独立，且P(B)=0.5,P(A-B)=0.3,则P(B-A)=()

6、(A)0.1(B)0.2(C)0.3(D)0.4【解析】P(A-B)=P(A)-P(AB).A与B相互独立.P(AB)=P(A)P(B).P(A-B)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)1-P(B)=0.3P(A)(1-0.5)=0.3.P(A)=0.6P(AB)=P(A)P(B)=0.6X05=0.3.P(B-A)=P(B)-P(BA)=0.5-0.3=0.2【答案】B(8)设连续性随机变量X1与X2相互独立，且方差均存在，X1与X2的概率密度分别为f1(x)1与f2(x),随机变量Y1的概率密度为fY1(y)=-f1(y)+f2(y),随机变量丫2=EX1 EX22111.叼对匕力EY

7、=EY2EY12=.J2 炉y) T2(y)dy=2EX12 轲;DYEX2 - EX22 - - EX1 - EX222222121212121=5 EX2 2EX22 - 4(EX1)2 -z(EX2)2 - EXEX21112 12 1=DX1 DX2EX；EX 2EX1 EX244442=4DX111221112 _-DX 2- EX；EX： -2E(X1X2)= - DX1 -DX 2 - E(X1- X2)244 -444 -DY12 = D (X1 X2)IL211DX 1DX244DY1 DY 2【答案】D二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置

8、上。(9)曲面z=x2(1siny)+y2(1sinx)在点(1, 0, 1)处的切平面方程为 .【解析】在点(1, 0, 1)处,Zx22x(1-siny) -y cosx(1,0,1)V 2 (1,0,1)2-xcosy+2y(1sinx)(1,0,1)(1,0,1)一切平面方程为zx(x-1)Zy(y-0)(-1)(z-1)=0即2x-y-z-1-0(10)设f(x)是周期为4的可导奇函数，且f'(x)=2(x1),x0,2,则f(7)=【解析】f(x)是周期为4的可导函数f(7)=f(3)=f(1)=f(1)且f(0)=0又f'(x)=2(x1)f(x)=x22x+c将

9、f(0)=0代入得C=0f(x)=x2-2xx0,2谢谢观赏f(1)=1从而f(7)=f(1)=1(11)微分方程xyt+y(lnxlny)=0满足条件y(1)=e3的解为y=【解析】xy1： + y(ln x -ln y) =0x即xy +yln=0两边同除x得 y二0令u y-贝U y =xu四二u dxdu八+x 代入上式信dxduu，x uIn =0整理得dx udu一 =1 dx两端积分得u(ln ur1) xduu(ln u -1)1-d - dx ln Cxd (In u1)In u -11dx lnC x谢谢观赏lnu-1=cxcx1u=ecx1y=xe将y(1)=e3代入上式

10、得C=22x1ytxe(12)设L是柱面x2+y2=1与平面y+z=0的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲面积分zdxydz=x=cost【解析】令y=sintt:0,2叫z=-sintZdxydz=°Lsint(sint)sint(-cost)dt2 二1 - cos2tdt0(-sint)dsin t(13)设二次型 f(x1,x2,x3)2 二x1门0a,【解析】A=0-12<a20因为左+Z.2+九3=0，九1+>一+九3=|A|,负惯性指数为1，设九1<0,从而九2九3之0.|A|<0若|A|<0,则打m0,K2A。/A。.此时符

11、合题意而A=a242a-4<0.即-2<a<2.若A=0,则兀<0,九2>0,九3=0，此时a=±210 2-A0 2-1 22 0Z-10KE A = 0 九+1-2-22-2 =阳九 +3）（九一3）/-1=-3,A，2=3,3.3=0二a=2符合题意九-1九 E - A = 0202九十1 -2 =>”九十3）（九一3）-2人,10-2'当a=-2时a=0_12220,土1二一3,九2=3,入3=0符合题意综上，a的取值范围是-2<a<22x(14)设总体X的概率密度为f(x,日)=，392,日<x<28,其中

12、8是未知数，X1,X2,又工&,其他n为来自总体X的简单样本，若立x2是H的无偏估计，则c=i1【解析】E（X2）=潦x2-器dig散3dx=1-27x4追''30239204392”1615于=5口22EQXi2)=C，E(Xi2)=Cn-25n三、解答题：1523小题，共94分，请将解答写在答题纸指定位置上解答应写出文字说明、证明过程成消算步骤.(15)(本题满分10分)1求极限x2；1t2(et-1)-tdt【解】limx_：i二21xln(1)x1x_1t2(et-1)-tdt=lim-x：21xln(1)x=limxJ二-tdtx1ln(1-)x1xt2(et

13、-1)-tdt12xmX(e-1)-x9-=limx(ex-1-)(16)(本题满分设函数3y2t2lim=02t10分)y=f(x)由方程y3+22xy+xy+6=0确定，求,322由y+xy+xy+6=0得dx+y2+2xydy+2xy+x2dy=0,解得dxf(x)的极值。dy_dx22xy+ydyx22xy3y2dx=0得y=2x，代入原式得*'x=1o、)=一2d2ydx2x22xy3y2)-(2xyy2)(2x2y2x-dy6ydx(x22xy3y2)2将=1-d2y4一、一一代入得d4=2>0,故x=1为最小点，最小值为y=2。二一2dx9(17)(本题满分10分)

14、设函数f(u)二阶连续可导，z=f(excosy)满足.2-2二z：z.2.2x二yx二(4zecoy)e2x若f(0)=0,f'(0)=0,求f(u)的表达式。【解】.：zx=ecosy.x-z*.=esiny:yN2:excosyfe2xcos2yf.x二272=-ecosy，f'+esiny，f):Vczx2-27二z+2x二ef”,令 u = ex cos y ,.2,:z由x：2ZV2Y.r+2=(4z+ecosy)e仔yf"(u)=4f(u)+u,或f“(u)_4f(u)=u,1解得f(u)=C1eNu+C2e2u-u,4C+C2=01211由f(0)=0

15、,f'(0)=0得11，解得C1=_，C2=-2C1+2C2,=01616工41小可2u1(ee)u164(18)(本题满分10分)设工为曲面z=x2+y2(z<1)的上侧，计算曲面积分I=口(x1)3dydz+(y-1)3dzdx+(z1)dxdy。£【解】令工0：z=1(x2+y2E1),取下侧，其中工与工。围成的几何体为C,由高斯公式得3322i(x-1)dydz(y-1)dzdx(z-1)dxdy-3(x-1)3(y-1)1dv:、0=-3(x2y2)-6x-6y7dv=-3(x2y2)7dvQQ1o112zo-dz1i3(xy)7dv-dzd(3r7r)drx

16、2“y2n132717-20(4z+az)dz=-2冗(4+4)=-4n，H(x-1)3dydz+(y-1)3dzdx+(z-1)dxdy=JJ(z-1)dxdy=0,故I=0(x-1)3dydz+(y-1)3dzdx+(z-1)dxdy=-4n。(19)(本题满分10分)设数列an、bn满足0<an<,0<bn,QOcosan-an=cosbn,且级数bnbn收敛。n4证明：liman=0on>qQ(II)证明：£一包收敛。n4bn【证明】(I)方法一oO由£bn收敛得limbn=0。nWn，二令liman=a,等式cosan-an=cosbn两边

17、取极限得cosaa=1。n:.令邛(x)=1cosx+x,中(0)=0,因为中（x）=sinx+1之0,所以中（x）单调增加，由中（x）=0得x=0,故liman=a=0。n:.方法二由cosan-an=cosbn得an=cosan-cosbn>0,从而0<an<bn,因为工bn收敛，所以£an收敛，故liman=0。nmnmn，二（II）由an=cosan-cosbn得anbncosan -cosbn _bnan - bnan - bn2sin()sin()22bn,22bn - an2bnb2-a2b_b2-a2因为0Eb_LwbL且zbn收敛，所以Zb_3收敛

18、,2bn2n丑n420二a由比较审敛法得、a收敛。n3bn（20）（本题满分11分）H23设A=01-120-4、1, E为三阶单位矩阵。一3(I)求方程组AX=0的一个基础解系。(II)求满足AB=E的所有矩阵B。1-2(I)A=01234、p-2311t0110-3,©4-3-4)p1T01J<0-231-101-41一3-205、/100-210-2t010一力013,10011-2 3AB = 01-1(20X2X5X8X11则方程组AX=0的一个基础解系为巴=(1,2,3,1)T。XiX2X3X4X5X6X7xX9,X10X11X12(II)令BX3X6X9X12JX

19、3 一 2x6 ' 3x9 4x12x12x4+3X74x10X4-X7+X10X1+2x4-3x10x2-2x53x8-4x11X5-X8X11x22x5-3x11X6-X9+X12，X3+2x6-3x12J由AB=E得X1-2x43x7-4x10=1%-X7+X10=0X1+2x4-3x10=0X2-2X53X8-4X11=0X5-X8X11=1x22x5-3x11=0X3-2X63X9-4X12=0X6-X9X12=0X32X6-3xi2=11-23由01-1q2041、1-210T01-30Jl043-41-110-31-1；-23-41、1-2054、100121-110T0

20、10-2-1T010-2-101-3-b<001-3-b901-3-11得0Xi-1''2-k1、X4X7=ki-1-12k1-1X10)k1-2-40、-2-40、-1-1-30J-30.J-2-4-1-2-3-3%、6、6-k2X52-32k2-3=k2+二X82343k2-4kX11)<0'<k2<00101-2301-4-1-2-4-1I1-31)-3-2-1-1-2<0-310-3X3-1-1-kX62k31X93k31<X122-k16-k2-1-k32k1-12k2-32k31-13k2-43k31（其中k1，k2,k3

21、为任意常数）。k1k2k3（21）（本题满分11分）证明n阶矩阵111'1'001、111002amaa与11a相似。11100n;111%001令A=111002aama,B=aa-a11,20n由|九EA|=0得A的特征值为%='''=Xn=0,Kn=n,由|九EB|=0得B的特征值为，力="""=0,Knno因为AT=A,所以A可对角化；对B,因为r(0E-B)=r(B)=1,所以B可对角化，因为A,B特征值相同且都可对角化，所以AB。1(22)(本题满分11分)设随机变量X的概率分布为PX=1=PX=2=万在给定X=i的条件下，随机变量Y服从均匀分布U(0,i)(i=1,2)。(I)求Y得分布函数FY(y)。(II)求EY。【解】2)FY(y)=PYEy=PX=1PYEy|X=1+PX=2PYEy|X=11=2PY£y|X=1+2PY£y|X=2,y<0时，FY(y)=0；当0Wy<1时，FY(y)=-2+12=3y；21224当1Ey<2时，FyB)。1"1；22242当y主2时，Fy