第二章 初等模型与常用建模方法(四、市场经济中的蛛网模型)

1、第二章 初等模型与常用建模方法2.8 市场经济中的蛛网模型2.7 线性代数法建模教学目标与重难点 教学目标：1.对市场经济中的供应量与价格之间相关的规律问题能用极限的思想建模；2.会运用线性代数法法对染色体遗传问题、投入产出等相关问题进行数学建模。 重点： 1.数学建模的方法和步骤的进一步运用； 2.运用极限思想和线性代数法进行建模 难点：运用极限思想进行建模28 市场经济中的蛛网模型1. 问题与背景 随着市场经济的逐步确立与不断完善，人们已越来越意识到按市场经济规律办事的重要性。例如，在市场经济中存在这样的循环现象，一个时期某种商品供过于求，则会导致价格下跌，而价格下跌又会引发该商品生产的减

2、少，使下一个时期该商品供不应求从而导致价格的再度上扬。在没有外界干预情况下，这种现象将如此循环下去。这样的需求和供应关系决定了市场经济中商品的价格和数量必然是振荡的。在现实生活中这样的振荡会出现不同的形式，有的振幅渐小趋向比较平稳，有的则振幅越来越大使得政府不得不做必要的干预。虽然，今天的人们已不再为各种商品价格的小幅振荡而惊恐，但作为企业，商家乃至个体经营者就很关心市场经济趋于稳定的条件，以便把握科学规律使自己更好地生存与发展。 供大于求现象价格下降减少产量增加产量价格上涨供不应求28 市场经济中的蛛网模型问问 题题商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向

3、稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定描述商品数量与价格的变化规律描述商品数量与价格的变化规律2 蛛网模型与差分模型 (1)消费者的需求关系消费者的需求关系)(kkxfy (2)生产者的供应关系生产者的供应关系减函数减函数增函数增函数供应函数供应函数需求函数需求函数)(1kkyhxgfxy0 x0y0P0 图 1 图 2 y x 0 p1 p2 p3 p4 p5 p0 y x 0 p1 p2 p3 p4 p5 p0 f g xy0fgy0 x0P0设设x1偏离偏离x0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y332211xyxyx0321PPPP00

4、,yyxxkkP0是稳定平衡点是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点是不稳定平衡点gfKKxy0y0 x0P0fg)(kkxfy )(1kkyhx)(1kkxgy00,yyxxkk gfKK曲线斜率曲线斜率规律直观描述规律直观描述0321PPPP 图1图2)(kkxfy )(1kkyhx)0()(00 xxyykk)0()(001yyxxkk 消去 ，可得ky)(001xxxxkk)()(0101xxxxkk进而，有该式就是蛛网模型的差分方程形式 （4）（3）3 模型求解与参数的意义 fKgK/1gfKKgfKK方程模型与蛛网模型的一致方程模型与蛛网模型的一致)(00 xxyykk 商

5、品数量减少商品数量减少1单位单位, 价格上涨幅度价格上涨幅度)(001yyxxkk 价格上涨价格上涨1单位单位, (下时段下时段)供应的增量供应的增量考察考察 , 的含义的含义 消费者对需求的敏感程度消费者对需求的敏感程度 生产者对价格的敏感程度生产者对价格的敏感程度 小小, 有利于经济稳定有利于经济稳定 小小, 有利于经济稳定有利于经济稳定结果解释结果解释xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格1经济稳定经济稳定结果解释结果解释结果解释结果解释经济不稳定时政府的干预办法经济不稳定时政府的干预办法1. 使使 尽量小，如尽量小，如 =0 以行政手段控制价格不变以行政手段控制价格不变2. 使使 尽量小，如尽量小，如 =0靠经济实力控制数量不变靠经济实力控制数量不变xy0y0gfxy0 x0gf结果解释结果解释需求曲线变为水平需求曲线变为水平供应曲线变为竖直供应曲线变为竖直4 数值例子 据统计，某城市前一年度的猪肉产量为30万吨，肉价为6元/公斤。本年度生产猪肉25万吨，肉价为8.00元/公斤，已知下一年度的猪肉生产量