椭圆及其标准方程教学案例

1、椭圆及其标准方程（一）教学设计北京四中分校林科琳【教材分析】（一）教学内容椭圆及其标准方程”是高二数学选修2-1（选修）（人民教育出版社出版） 第二章的第二节内容，分三课时完成.第一课时讲解椭圆的定义及其标准方程； 第二课时讲解运用椭圆的定义及其标准方程，巩固求曲线方程的两种基本方法， （待定系数法、定义法）；第三课时讲解运用中间变量法求动点轨迹方程的基本 思路.现在说第一课时.（二）教材的地位和作用本节内容是继学生学习了直线和圆的方程， 对曲线的方程的概念有了一定了 解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线.椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式

2、和理论基础.因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容之一.【教学目标】-、教学知识点：1、 圆锥曲线的概念；2、 椭圆的定义、焦点、焦距；3、 椭圆的标准方程.二、能力训练要求：1、 通过本节课的学习，学生能够明确圆锥曲线的概念2、 通过参与探讨能够理解椭圆的定义和基本量和标准方程的推导3、 通过实际应用能够掌握根据椭圆的定义求基本量的方法4、 通过对比学习能够体会对比法，化归法，数形结合在数学中的应用入彳惠育渗透目标：1、 学生能够认识并理解世间一切事物的运动都是有规律的2、 进一步提高发现规律、寻求规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力3、 通过运动规律，认清事物运动的本质，

3、培养运动变化的感官认知【教学重点难点】一、重点：4、 椭圆概念的发现5、 椭圆标准方程的探求和应用二、难点：椭圆标准方程的推导思想，推导过程中复杂的根式化简【教学方法】探究启发、归纳与应用相结合【教学内容分析】在我们的现实生活中，存在着许多椭圆的例子，比如宇宙中，许多星球的形 状及运行轨道都是椭圆，用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱得到的截面是椭 圆形，拱形桥可近似地看作椭圆的一部分等， 学生对椭圆形有粗浅的了解。本节 课将在学生对坐标法研究几何问题有初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线，并从数学的“对称美”和“简洁美”的角度出发，结合必要的教具演示， 使学生对本节内容好理解易接受。

4、另外，椭圆的学习可以为研究双曲线、 抛物线 提供基本模式和理论基础，因此这节课又有承前启后的作用，是本章的重点内容 之一.【学生情况分析】学生在学习完直线和圆的方程后，对曲线有了初步的了解，对于坐标法解决 几何问题掌握不够熟练，故从研究圆到研究椭圆，学生思维上存在一定的障碍。因 此本节课通过让学生动手作图，“定性”地画出椭圆；再通过坐标法“定量”的 描述椭圆；使之从感性认识上升到理性认识，从而形成概念，推出方程。另外， 对于定义中的一些关键字学生易忽略，教师须重复强调 .【设计理念】在教学中采用“自主-合作-探究”的教学模式，让学生自己去发现问题、 解决问题，真正成为课堂的主人。为了让学生正确

5、理解椭圆的定义，可提前让学 生准备教具：一块纸板、一根定长的细绳和两枚图钉，让学生动脑思，动手做。 教师的“诱”要在点上，要精。要让学生在整个教学过程体会到发现的乐趣，从 而提高学生学习的热情，充分发挥情意因素的作用.用几何画板制作地球围绕太阳运行图、 椭圆形成图；例题、习题及标准答案 用powerpoint制作完成.【教学过程】引入课题:1、 创设情境，激发情意背景故事一：亚里士多德认为行星运行轨道是圆形，几个世纪后的哥白尼和布拉赫第谷也持此观点。布拉赫有一个助手叫做开普勒，他曾经担心开普勒 会在行星运行规律的研究上超过自己， 因而让他去研究火星轨迹，由于没有任何 一个圆符合火星观测数据，所

6、以这是一个很困难的问题。布拉赫相信这项任务将 使开普勒无法超越他了。开普勒用椭圆轨道代替了圆轨道，这使他出色的完成了 这项任务.（只要勤奋执着，人人都可以成功）背景故事二：我国是世界上为数不多的能成功发射卫星的国家之一，这体现了我国的综合国力水平，也说明我们中华民族是伟大的。 特别是神州五号、神州 六号飞船的成功发射，更标志着我国已跨入了科技大国的行列 .（培养学生的爱 国主义意识和民族自豪感）.2、具体事物，加深印象问题卫星绕地球旋转的轨道曲线是什么形状？ （ flash动画 演示）问题柱形试管斜置，具液面呈什么形状？（实验操作演示）问题不垂直且不平行于圆柱体的轴的平面截圆柱体，其截口是什么

7、曲线？ （flash动画演示）3、动态演示，完整知识结构利用课件，动态的演示各种圆锥曲线的形成（见图1）,给学生一个本章的 完整知识结构，并指出本节要学习的内容椭圆. 由于时间、地域和生活环境各种因素的影响， 不同的学生对椭圆 的理解存在着认识上的差异。为了帮助学生树立与椭圆有关联的表 象，教师积极开发学生已有的知识结构， 帮助学生从具体事物中抽象 出椭圆的形象，再通过播放动画演示圆锥曲线的形成过程， 理清本章 研究对象，完善知识结构.二、尝试探究、形成概念1、将一张白纸铺在木板上，把细绳的两端用大头针固定在纸上，然后用一 根铅笔的尖端拉紧细绳并围绕着大头针移动铅笔，这样就画出了一个椭圆.2、

8、通过作图的过程，你能尝试给椭圆下个定义吗？3、配合动画演示，教师适当引导，讨论定义的严密性，完善定义内容.椭圆的定义：平面内到两定Fi、F2点的距离之和为一个常数2a（2a |FiF2| ） 的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦 距.注：当2a=|FiF2|时，动点的轨迹为线段FiF2当2a |FiF2|)；通过动画演示和教师点 评，学生能够切身体会到“发现定义-实例验证定义-完善精确定义” 这一科学地研究问题的方法，进一步增加了学生对数学的严密性与科 学性的认知.三、寻求方程、活跃思维提示1：从图象上看，椭圆与圆有无联系，猜测一下它们的方程间有无一定 的关系

9、呢？提示2:圆的方程形式与推导方法是怎样的，是否可以使用同样的方法来推导椭圆的方程？提示3:求方程很关键的一步是建立坐标系，如何建立坐标系，使求出的方 程最简单？方案(一)以Fi、F2所在直线为x 轴，线段F1F2中垂线为y轴建系方案(二)以Fi、F2所在直线为y 轴，线段F1F2中垂线为x轴建系先选定方案一，推导过程可找一名学生到黑板上板演，其他同学在练习本上演算.设 P (x, y), |FF2|=2c,则 F1 (-c , 0), F2 (c, 0),根据题意有：|PF1|+|PF 2|=2a代入各点坐标得.(x c)2 y2 ； (x - c)2 y2 =2a即(a2 -c2)x2 a

10、2y2 =a2(a2 -c2)(学生整理到这一步后，通常很难再继续下去，教师可在此处适当点拨，介绍构 造思想，设b2=a2-c2 (b 0)整理得到中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程为:22二1(a b 0)上y.a2 b2(其中，2a为椭圆上任意一点到两焦点的距离，2c为焦距，b2=a2-c2)22同理得到方案二中，椭圆的标准方程形式： 与+与=1,它所表示的椭圆为 a b焦点在y轴上，焦点坐标为Fi(0,-c),F2(0,c),中心在坐标原点。22注：1、方程与+=1表示中心在坐标原点焦点在x轴上的椭圆，方程a2 b222与十t=1表示中心在坐标原点焦点在y轴上的椭圆，反之若椭圆的

11、中心在坐标a b原点，其方程必为以上两种形式中的一种.(其中ab0,指明构造b是有科学 依据的，b的几何意义将在以后的学习中给出)2、椭圆可看作把圆的图象压扁后得到的图形，中心在坐标原点的圆的标准方程和中心在坐标原点的椭圆的标准方程之间也有相似之处 ，当x2, y2项分母同时大于零但互不相等时为椭圆，分母相等且大于零时为圆1692、方程3x2 +2y2 =6表示曲线为,焦点坐标为 3、方程Jx2 +(y 2)2 +Jx2 +(y+2)2 =8表示曲线是,标准方 程是设计意图：1、通过对如何建系求曲线的方程的实际操作，学 生可以进一步掌握求曲线方程的一般方法，并加深了其对前后知识间的联系与应用.

12、2、 学生在建系过程中遇到的困难是如何确定坐标原点的位置与横纵轴的方向，教师可对建系不在椭圆中心的情况加以适当点评， 与中心在坐标原点的椭圆方程进行对比，这样建系使得最终化简的椭 圆方程形式较为复杂，学生在参与讨论中体会对比学习这一重要方法 在数学学习中的实际应用，感受数学中的对称美和简洁美.3、 表格的形式可直观地表达焦点在 x轴和y轴上椭圆的区别与联系，辅助练习1、2重在从方程的角度研究椭圆图形的性质，练 习3从定义的角度给出了椭圆，对学生掌握新知识的能力和知识的迁 移能力、应用能力进行了更高一层的考察.4、通过对学生熟悉的圆的图象与椭圆的图象进行对比，联想椭 圆的方程与圆的方程的推导方法

13、和方程形式间的关系，学生可切身体会对比学习的优越性，掌握这一科学研究问题的方法.四、典例剖析、知识应用例1、求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(-4, 0)、(4, 0),椭圆上一点p到两焦点距 离的和等于10;(2)两个焦点的坐标分别是(0,-2)、(0, 2),并且椭圆经过点P(-3,5).2 2 解题思路：(1)从椭圆的定义判断2a=10, c=4,得b=3,焦点在x轴上，中心在坐标22原点，椭圆方程为土 匕=1 259(2)思路1:焦点在 y轴上中心在坐标原点 c=2,先设椭圆方程为2222十二=1带入点P坐标计算得a2=10,椭圆方程为y +x =1.要注意根

14、a2 a2 -410 6据ac排除a的另一个解.思路2：根据椭圆定义P到两焦点距离之和为2a,可先算得a的值，再用(1) 中方法算得椭圆方程.设计意图：通过对本题的解答，渗透待定系数法求椭圆方程的 思想，加深对椭圆定义的认知，对如何利用定义求得椭圆方程中基本 量a, b, c有一个更深刻的感悟.拓展：方程4x2 +ky2 =1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，求实数k的取 值范围.22变式：方程+=1表示椭圆，则k的取值范围是 24 -k 16 k设计意图：从图象的角度研究方程具备的性质，加深学生对图 象方程间的联系认知.五、课堂练习，巩固知识1 .平面内两个定点的距离等于 8, 一个动点M到这

15、两个定点的距离的和等 于10。建立适当的坐标系，写出动点 M的轨迹方程。2 .写出适合下列条件的椭圆的标准方程：(1) a=4,b=1,焦点在x轴上;(2) a=4,c= 15 ,焦点在y轴上；(3) a+b=10,c= 2芯；六：课堂小结：1、知识总结：(1)完成下表不 同 点标准方程22x , y )十上=1 (a b 0) a b22与 十三=1 (ab0) a b2、思想方法总结：对比思想，化归思想，构造思想，数形结合七、作业布置课本 P42 1、2、3、4八、板书设计与课堂安排标题：椭圆及其标准方程（一）一、背景材料二、问题引发课题 三、探究概念四、寻求方程五、例题精讲 六、课堂练习

16、七、实际应用 八、课堂小结及作业【教学基本流程】【教学评价】本节课围绕“层层设问 自主探索 发现规律 归纳总结” 这一主线展开，对教材内容进行了优化组合，在教学过程中，学生通过观看动画， 动手实践，自己总结出椭圆定义，符合从感性上升为理性的认知规律， 而且提升 了抽象概括的能力.同时在进行推导椭圆的标准方程的过程中， 提高了利用坐标 法解决几何问题的能力及运算能力.在整节课中，教师作为引导者，利用课件“动 态的演示各种圆锥曲线的形成”，激发学生学习数学的兴趣，鼓励学生大胆探索， 勇于创新，提高学生参与数学活动的兴趣和积极性， 树立了学好数学的自信，养 成独立思考习惯.【教学反思】在课堂教学中我“以