三角函数的图像与性质

1、三角函数的图像与性质高三数学组 肖新国一、函数的图像n例1（2002上海，15）函数y=x+sin|x|，x，的大致图象是（ ）解析：由奇偶性定义可知函数y=x+sin|x|，x，为非奇非偶函数。选项A、D为奇函数，B为偶函数，C为非奇非偶函数。点评：利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。例例 2 （1）y=cosx+cos（x+3）的最大值是_； （2）y=2sin（3x4）的图象的两条相邻对称轴之间的距离是 _?http:/www. xjktyg. com/ wxc/wxckt126. comwxckt126. comhttp:

2、/www. xjktyg. com/ wxc/?例例 3 求下列函数的单调区间： （1）y=21sin（432x）；（2）y=sin（x+4）?http:/www. xjktyg. com/ wxc/ wxckt126. comwxckt126. comhttp:/www. xjktyg. com/ wxc/? 例例4.已知函数已知函数 f(x)=sin( x+ )( 0, 0 ) 是是 R 上的偶函数上的偶函数, 其图象关于点其图象关于点 M( , 0) 对称对称, 且在区间且在区间 0, 上是单调函数上是单调函数, 求求 和和 的值的值.43 2 = (k Z). 4k+2 3解解: f(

3、x)=sin( x+ )( 0, 0 ) 是是 R 上的偶函数上的偶函数, sin(- - x+ )=sin( x+ ), 即即 - -cos sin x=cos sin x 对任对任 意实数意实数 x 都成立都成立. 0, cos =0. 又又0 , = .2 f(x) 的的图象关于点图象关于点 M 对称对称, f(x)=cos x. 点点 M 为为 f(x) 图象的一个对称中心图象的一个对称中心. =k + (k Z). 43 2 f(x)=cos x 在区间在区间 0, 上是减函数上是减函数. 0, 2 23综上所述综上所述, = , =2 或或 . 2 必有必有 , 即即 0 2. 要

4、使要使 f(x)=cos x 在区间在区间 0, 上是单调函数上是单调函数, 2 4k+2 300, 即即 2sin(x- - )0 得得: 4 2k + x2k + , k Z4 45 x | 2k + x0, 0, x R) 在一个周期内在一个周期内的图象如图所示的图象如图所示:23 2 -25 27 2 oxy2 求直线求直线 y= 3 与函数与函数 f(x) 图象的所有交点的坐标图象的所有交点的坐标. 27 解解: 根据图象得根据图象得 A=2, T= - -(- - )=4 , 2 = .12y=2sin( x+ ). 12y=2sin( x+ ). 124 由由 3=2sin( x

5、+ ) 得得 124 32sin( x+ )= . 124 12由由 (- - )+ =0 得得 = . 2 4 x+ =2k + 或或 2k + (k Z). 124 32 3 x=4k + 或或 4k + (k Z).65 6 6 65 故所有交点坐标为故所有交点坐标为 (4k + , 3 ) 或或 (4k + , 3 ) (k Z).1.判断三角函数的奇偶性，若不先关注定义域是否关于原判断三角函数的奇偶性，若不先关注定义域是否关于原点对称，常常会得出错误的结论点对称，常常会得出错误的结论2.对于形如对于形如y=2sin(/3-2x)的单调区间，常因为没有注意到的单调区间，常因为没有注意到

6、x的系数为负，从而得出相反的结论的系数为负，从而得出相反的结论例例 5 试述如何由 y=31sin（2x+3）的图象得到 y=sinx 的图象?http:/www. xjktyg. com/ wxc/ wxckt126. comwxckt126. comhttp:/www. xjktyg. com/ wxc/? 例 6、为使方程0sincos2=+-axx在2, 0内有解，则a的取值范围是（ ） AaBa.-1111 CaD a.- -1054 t = -12 f(t) O 1 t 分析：分析：由方程形式，可把该方程采取换元法，转化为二次函数：设sinx=t，则原方程化为0=1-a-t+t2，

7、且(10t，于是问题转化为：若关于t的一元二次方程012=-+att在区间( 10，上有解，求a的取值范围，解法如下： 设由已知条件f ttta( ) =+ -21 有ffaaa( )( )0010101011- - - -0, 0, 0 .xyo61014102030温度温度/时间时间/h(1)求这段时间的最大温差求这段时间的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式写出这段曲线的函数解析式. (2)图中从图中从 6 时到时到 14 时的图象是函数时的图象是函数 y=Asin( x+ )+b 半个周期的图象半个周期的图象. 解解: (1)由图示由图示, 这段时间的最大温差是这段时间的最大温差

8、是: 30-10=20. 12 =14- -6. 2 解得解得 = . 8 12又由图示又由图示 A= (30- -10)=10, b= (30+10)=20, 128 y=10sin( x+ )+20.将将 x=6, y=10 代入可取代入可取 = . 43 故所求的解析式为故所求的解析式为: y=10sin( x+ )+20, x 6, 14. 8 43 n对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象。求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数，且三角函数的次数为1的形式，否则很容易出现错误。n函数的单调性是在定义域或定义域的某个子区间上考虑的，要比较两三角函数值的大小一般先