题型四反比例函数与一次函数综合题

1、.题型四 反比例函数与一次函数综合题针对演练m1. 如图，一次函数 ykx1(k0)与反比例函数 yx (m0)的图象有公共点 A(1，2)，直线 lx 轴于点 N(3，0)，与一次函数和反比例函数的图象分别相交于点 B，C，连接 AC.(1)求 k 和 m 的值；(2)求点 B 的坐标；(3)求ABC 的面积第 1 题图;.k2. 已知正比例函数 y2x 的图象与反比例函数 yx(k0)在第一象限内的图象交于点 A，过点 A 作x 轴的垂线，垂足为点 P，已知OAP的面积为 1.(1)求反比例函数的解析式；(2)有一点 B 的横坐标为 2，且在反比例函数图象上， 则在 x 轴上是否存在一点

2、M，使得 MAMB 最小？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由第 2 题图;.3. 如图，反比例函数y2x的图象与一次函数 ykxb 的图象交于点A、B，点 A、B 的横坐标分别为 1、2，一次函数图象与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 D.(1)求一次函数的解析式；(2)对于反比例函数y2x，当 y1 时，写出 x 的取值范围；(3)在第三象限的反比例函数图象上是否存在一点 P，使得 SODP2 SOCA？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由第 3 题图;.4. (2016 巴中 10 分)已知，如图，一次函数 ykxb(k、b 为常数，k0)的图象与 x 轴

3、、y 轴分别交于 A、B 两点，且与反比例函数 yn x(n 为常数且 n0)的图象在第二象限交于点 C.CDx 轴，垂足为 D.若 OB2OA3OD6.(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)求两函数图象的另一个交点坐标；n(3)直接写出不等式： kxb的解集x第 4 题图;.5. 如图，点 A(2，n)，B(1，2)是一次函数 ykxb 的图象和反比例函数 ym的图象的两个交点x(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的 x 的取值范围；(3)若 C 是 x 轴上一动点， 设 tCBCA，求 t 的最大值， 并求出此时点 C 的坐标第 5

4、 题图;.6. 如图，直线 y114x1 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C，与反比m例函数 y2x (x>0)的图象交于点 P，过点 P 作 PBx 轴于点 B，且ACBC.(1)求点 P 的坐标和反比例函数 y2 的解析式；(2)请直接写出 y1>y2 时，x 的取值范围；(3)反比例函数 y2 图象上是否存在点 D，使四边形 BCPD 为菱形？如果存在，求出点 D 的坐标；如果不存在，说明理由第 6 题图;.7. 如图，直线 yxb 与 x 轴交于点 C(4，0)，与 y 轴交于点 B，并与双曲线 ymx (x0)交于点 A(1，n)(1)求直线与双曲线的解析式；(2

5、)连接 OA，求OAB 的正弦值；(3)若点 D 在 x 轴的正半轴上，是否存在以点 D、C、B 构成的三角形OAB 相似？若存在求出 D 点的坐标，若不存在，请说明理由第 7 题图;.8. (2016 金华 8 分)如图，直线 y33 x 3与x，y 轴分别交于点 A，kB，与反比例函数 yx( k0)图象交于点 C，D，过点 A 作x 轴的垂线交该反比例函数图象于点 E.(1)求点 A 的坐标；(2)若 AEAC.求 k 的值；试判断点 E 与点 D 是否关于原点 O 成中心对称？并说明理由第 8 题图;.k9. 如图，已知双曲线 y 经过点 D(6，1)，点 C 是双曲线第三象限x上的动

6、点， 过点 C 作 CAx 轴，过点 D 作 DBy 轴，垂足分别为 A，B，连接 A B，BC.(1)求 k 的值；(2)若BCD 的面积为 12，求直线 CD 的解析式；(3)判断 AB 与 CD 的位置关系，并说明理由第 9 题图;.10. 如图，点 B 为双曲线 ykx( x0)上一点，直线 AB 平行于 y 轴，k交直线 yx 于点 A，交 x 轴于点 D，双曲线 y 与直线 yx 交于点x 2AB24.C，若 OB(1)求 k 的值；(2)点 B 的横坐标为 4 时，求ABC 的面积；(3)双曲线上是否存在点 P，使APCAOD？若存在， 求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由第

7、10 题图;.【答案】1解：(1)点 A(1，2)是一次函数 ykx1 与反比例函数 ym x的公共点，k12，m12，k1，m2；(2)直线 lx 轴于点 N(3，0)，且与一次函数的图象交于点 B，点 B 的横坐标为 3，将 x3 代入 yx1，得 y314，点 B 的坐标为(3，4)；(3)如解图，过点 A 作 AD直线 l，垂足为点 D，由题意得，点 C 的横坐标为 3，点 C 在反比例函数图象上，y2x2 2， C 点坐标为(3，3)，3BCBNCN42310 3，又AD312，SABC12BC·AD1 10 10× ×2 3 .2 3第 1 题解图;.

8、2解：(1)设A 点的坐标为 (x，y)，则 OPx，PAy，OAP 的面积为 1，12xy1，xy2，即 k2，反比例函数的解析式为y2x；(2)存在，如解图，作点 A 关于 x 轴的对称点 A，连接 AB，交 x轴于点 M，此时 MAMB 最小，点 B 的横坐标为 2，2点 B 的纵坐标为 y 1，2即点 B 的坐标为（ 2,1）.又两个函数图象在第一象限交于 A 点，2x2x，解得 x11，x21(舍去)y2，点 A 的坐标为(1，2)，点 A 关于 x 轴的对称点 A(，12)，设直线 AB 的解析式为 ykxb，代入 A(，12)，B(2，1)得，k b 2 k 3,解得 ， 2k

9、b 1 b 5直线 AB 的解析式为 y3x5，;.令 y0，得 x53，5直线 y3x5 与 x 轴的交点为 ( ，0)，35即点 M 的坐标为 ( ，0)3第 2 题解图3解：(1)反比例函数 y2x图象上的点 A、B 的横坐标分别为 1、2，点 A 的坐标为(1，2)，点 B 的坐标为(2，1)，点 A(1，2)、B(2，1)在一次函数 ykxb 的图象上，k b 2 k 1,解得 ，2k b 1 b 1一次函数的解析式为 yx1；(2)由图象知，对于反比例函数y2x，当 y1 时，x 的取值范围是2x0；(3)存在对于 yx1，当 y0 时，x1，当 x0 时，y1，点 D 的坐标为(

10、1，0)，点 C 的坐标为(0，1)，设点 P(m，n)，;.SODP2 SOCA，1 1 ×1×(n)2× ×1×1，2 2n2，点 P(m，2)在反比例函数图象上，22m，m1，点 P 的坐标为(1，2)4解：(1)OB2OA3OD6，OA3，OD2.A(3，0)，B(0，6)，D(2，0)将点 A(3，0)和 B(0，6)代入 ykxb 得，3k b 0 k 2,解得 ， b 6 b 6一次函数的解析式为 y2x6. (3 分)将 x2 代入 y2x6，得 y2×(2)610，点 C 的坐标为(2，10)将点 C(2，10)代入

11、 yn，得x10n2，解得 n2 0，反比例函数的解析式为y20x； (5 分);.y 2x 6(2)将两个函数解析式组成方程组，得y20x,解得 x12，x25. (7 分)将 x5 代入y20x4,两函数图象的另一个交点坐标是 (5，4)； (8 分)(3)2x0 或x5. (10 分)n【解法提示】 不等式 kxb的解集，即是直线位于双曲线下方x的部分所对应的自变量 x 的取值范围，也就是 2x0 或 x5.5解：(1)点 A(2，n)，B(1，2)是一次函数 ykxb 的图m象和反比例函数 y的图象的两个交点，xm2，反比例函数解析式为y2x，n1，点 A(2，1)，将点 A(2，1)

12、，B(1，2)代入 ykxb，得2k b 1 k 1,解得 ， k b 2 b 1一次函数的解析式为 yx1；(2)结合图象知：当 2x0 或 x1 时，一次函数的值小于反比例函数的值；(3)如解图， 作点 A 关于 x 轴的对称点 A，连接 BA延长交 x 轴于;.点 C，则点 C 即为所求，A(2，1)，A(2，1)，设直线 AB 的解析式为 ymxn，1m1 2m n 3,解得 ，2 m n 5 n3y13x5，3令 y0，得 x5，则 C 点坐标为(5，0)，t 的最大值为 AB （21）2（12）2 10.第 5 题解图16解：(1)一次函数 y14x1 的图象与 x 轴交于点 A，

13、与y 轴交于点 C，A(4，0)，C(0，1)，又ACBC，COAB，O 为 AB 的中点，即 OAOB4，且 BP2OC2，;.点 P 的坐标为(4，2)，将点 P(4，2)代入 y2m，得 m8，x反比例函数的解析式为 y28x；(2) x>4；【解法提示】 由图象可知，当 y1y2 时，即是直线位于双曲线上方的部分，所对应的自变量 x 的取值范围是 x4.(3)存在假设存在这样的 D 点，使四边形 BCPD 为菱形，如解图，连接 DC 与 PB 交于点 E，四边形 BCPD 为菱形，CEDE4，CD8，D 点的坐标为 (8，1)，将 D(8，1)代入反比例函数y8x，D 点坐标满足

14、函数关系式，即反比例函数图象上存在点 D，使四边形 BCPD 为菱形，此时D 点坐标为(8，1)第 6 题解图7解：(1)直线 yxb 与 x 轴交于点 C(4，0)，把点 C(4，0)代入 yxb，得 b4，;.直线的解析式为 yx4，直线也过 A 点，把点 A(1，n)代入 yx4，得 n5，A(1，5)，将 A(1，5)代入 ymx (x0)，得 m5，双曲线的解析式为y5x；(2)如解图，过点 O 作 OMAC 于点 M，点 B 是直线 yx4 与 y 轴的交点，令 x0，得 y4，点 B(0，4)，OCOB4，OCB 是等腰直角三角形，OBCOCB4 5°，在OMB 中，s

15、in45°OM OBOM4，OM2 2，AO 1 252 26，OM OA在AOM 中，sinOAB 2 2 262 13 13；第 7 题解图;.(3)存在如解图，过点 A 作 ANy 轴于点 N，则 AN1，BN1，A B 1 212 2，OBOC4，BC 42424 2，又OBCOCB4 5°，OBABCD135°，OBABCD 或OBADCB，OB BA BC CD OB或 DC BABC，即44 22CD或4DC 2 ， 4 2CD2 或 CD16，点 C(4，0)，点 D 的坐标是(6，0)或(20，0)8解：(1)当y0 时，得 033 x 3，解得

16、 x3.点 A 的坐标为(3，0)； (2 分)(2)如解图，过点 C 作 CFx 轴于点 F.设 A EACt, 点 E 的坐标是(3，t).OBOA在 RtAOB 中， tanOAB3，3OAB3 0°.;.在 RtACF 中，CAF3 0°，1CF2t，AFAC·cos30°32 t，点 C 的坐标是(33 12 t，2t) k点 C、E 在 y x的图象上，(33 12 t)×2t3t，解得 t10(舍去)，t22 3，k3t6 3； (5 分)点 E 与点 D 关于原点 O 成中心对称，理由如下：由知，点 E 的坐标为(3，2 3)，

17、设点 D 的坐标是(x，33 x 3)，x(33 x 3)6 3，解得 x16(舍去)，x23，点 D 的坐标是(3，2 3)，点 E 与点 D 关于原点 O 成中心对称 (8 分)第 8 题解图;.k9解：(1)双曲线 y 经过点 D(6，1)，xk61，解得 k6；(2)设点 C 到 BD 的距离为 h，点 D 的坐标为(6，1)，DBy 轴，BD6，1SBCD ×6×h1 2，2解得 h4，点 C 是双曲线第三象限上的动点，点 D 的纵坐标为 1，点 C 的纵坐标为 143，6x3，解得 x2，点 C 的坐标为(2，3)，设直线 CD 的解析式为 ykxb，则12k

18、b 3 k, 2解得 ， 6k b 1b 21直线 CD 的解析式为 y2x2；(3) ABCD .理由如下：CAx 轴，DBy 轴，点 D 的坐标为(6，1)，设点 C 的坐标为(c，6c)，点 A、B 的坐标分别为 A( c，0)，B(0，1)，;.设直线 AB 的解析式为 ymxn，则1mc n 0 m,解得 ，cn 1 n 1直线 AB 的解析式为 y1cx1，设直线 CD 的解析式为 yexf，则16 eec f c,解得 ， cc 66e f 1 f c直线 CD 的解析式为 y1cxc 6 c，A B、CD 的解析式中 k 都等于1c，AB 与 CD 的位置关系是 ABCD.10解：(1)设 D 点坐标为(a，0)，A By 轴，点 A 在直线 yx