外接球与内切球的定心方法

1、外接球与内切球的定心方法【法一】长方体与球的中心对称性质（长方体的对称中心即为球心） 长方体（或可补形为长方体的柱体、锥体）的体对角线就是其外接球直径。、直三棱拄ABC &aC 角ABC为直角角为直角【补形方法】分别以上、下底面直角三角形的两条直角边为临边构造上、下矩形底面。正四面体的补形方法正四面体RJACD，直四'面体【法二】球的集合定义及直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半。、角角肚0直危角PZ=角PBCF魚垂直底面,ABSBC图（1）图（2）图（3）11于图（1），OA=OB=OC=OP对=一 PB;对于图（2），OA=OB=OC=OP= - PC;对于图22（3）P

2、A 面ABC PA AC, PA BC,又AB BC,PAI AB A1BC 面 PAB,从而 BC PB,在 RtVPBC 与 RtVPAC中，OA=OB=OC=OP= - PC.2根据球的集合定义可知，O为三棱锥P-ABC的外接球球心。【法三】射影长定理（射影线段等长斜线段等长）分别过几何体的两个相交平面多边形的外接圆圆心作各自平面的垂线，二垂线的交点即为外接球的球心，特别地，当一个平面（多边形）的外心恰好在另一个（下指第二个）与其相交的平面（多边形）的垂线（垂 线过第二个平面多边形的外心）上时，则该外心即为几何体的外接球球心。【法四】过几何体的某个面的外接圆圆心作该平面的垂线与和该平面相

3、交的某条棱的中垂线的交点即为几何体的外接球球心。注法四是法三的升级版，应用法四须使二垂线共面（否则，二垂线异面，没有交点）【法 五】构造以底面外接圆直径为一条直角边，底面的垂线为另一条直角边的直角三角形,则其斜边即为该几何体的外接球直径。注法五是法二的升级版，应用了直径所对的圆周角是直角定理。LMC.2)4A.8D. 3、3B. 2 . 316D.一3如图,三棱锥PLMN的侧棱PL垂直 底面LMN、试确定其外接球球心位置作三角形LMN的外接圆O 7 作圆（T的直径LD;旗开得胜结OM、0L,则OM=OL=OL ' =OP=丄PL' =R,因此，点 0即为三棱锥 P-LMN 的外

4、接球 2球心。【例1】已知三棱锥 S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB=4，43&、3C. _3连接pum； 取pd的中点o即为球心.【证明】根据作法可得，L' MPL I ML=L, L' M 面 PML,L' M PM,于是，VPLL'与VPML'均为直角三角形，连SA=SB=SC=4，则三棱锥的外接球的球心到平面 ABC的距离为（）。【例2】四面体ABCD的四个顶点都在球O 的表面上，AB=2 ， BC=CD=1BCD 60 ,AB 面BCD,则球O的表面积为（82B.-3第一步,第二步:第三步龙笫四步:ML,由 PL 面

5、LMN,得 PLL' M,PL LL',又【例1解析】SA=SB=SC 顶点S在底面ABC内的射影是底面的外心。 取Rt VABC斜边AB的中点D.连结SD则SD 面ABC.所以SD AB.所以VSAB的外心O在SD上，从而0即为球心，2L 24压R球=0S=0B. 由 R =（2 R） +4 解得 R=W。【例2解析】法一：过底面正 VABC的外心（重心）G作GH 面BCD,过棱AB的中点F作 F0P BG 交 GH 于点为球心，F0 垂直平分棱 AB.R球=0B212=0G 2+BG2=AB22-BE322 41 sin60=，所以球0的表面3 3积S=4R2163图，作正

6、VABC的夕卜接直径 BE,则 AE 即为球直径。AE222216241642AB BE亍解得焉=-。故球0的表面积为三。【练习题】1.将边长为亠的正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角 B-AC-D.贝U四面体ABCD的内切球的半径为（ D ）。A.1B.2&.3C.、2 1 D.2 -.32.已知三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的球面上，AB为球0的直径，若该三棱锥的体积为 4-3，BC=4，3BD=CBD90，则球0的表面积为（A.11B.20C. 23D. 353.已知A、B、C是球0的球面上三点,AB=2，AC= 2、3,ABC 60，且棱锥 O-ABC的体积为4-6，则球0的表面积为（3A.10B.24C. 36D. 484. 将正方形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥D' -ABC的外接球的半径为 2. 2，则三棱锥D' -ABC的体积为（B ）。A.16C8、2D.5. 已知点 A、B、C、D在同一个球的球面上,AB=BC= '、2 ,AC=2，若四面体 ABCD 的体积为3，球心o恰好在棱DA上，则这个球的表面积为（3D ）。A.25