巧借性质作次曲线的切线

1、巧借性质作二次曲线的切线几何画板动态探究数学问题的功能，使原本抽象枯燥的数学变得直观生动，在运动变化中揭示数学问 题的本质规律本文借助于几何画板对二次曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）的切线、割线进行了深入探 究，研究并发现了与之相关的几个性质，在此基础上总结出了二次曲线切线的一个简洁的作图方法1、点在二次曲线外性质1：如图1,点P是二次曲线（以椭圆图形示意）外一点，PA、PB是过点P的切线，A、B为切点，连接A、B得直线I 过点P任意作二次曲线的两条割线， 分别交曲线于 C、D和E、F四点，连接CF、DE，交于点M，连接CE、DF并延 长交于点N，则点M、N都在直线I上.对于上述结论，其逆命题

2、也是正确的，具体如下：推论1:点P是二次曲线外一点，过点 P任意作曲线的两条割线，记交点分别 为C、D和E、F，连接CF、DE，交于点M，连接CE、DF并延长交于点 N，连接 M、N得直线I，I与二次曲线的交点为 A、B，连接PA、PB，贝U PA、PB就是过点 P的切线，A、B为切点特别的，如果 CE/DF，则只需过点 M作直线I / /CE , I与二次曲线的交点为A、B,连接PA、PB,贝U PA、PB就是过点 P的切线，A、B切点，如图2.推论1实质上就是给出了如何过二次曲线外一点P作该曲线的切线的方法，具体步骤如下：第一步：过点P任意作二次曲线的两条割线，交点分别为C、D和E、F;第

3、二步：连接 CF、DE，记交点为 M，连接CE、DF并延长，记交点为 N ;第三步：连接 M、N得直线I , I与二次曲线的交点为 A、B;（如果CE/DF，过点M作直线I / /CE , I与二次曲线的交点为 A、B） 第四步：连接PA、PB,则PA、PB就是过点P的切线，A、B为切点2、点在二次曲线上性质2：如图3,点P是有心二次曲线（圆、椭圆、双曲线）上的一点，直线 I是 过点P的切线.0是曲线的对称中心， 连接0P并延长，在0P的延长线上任取一点 Q, 过点Q作曲线的切线 QA、QB , A、B为切点，连接 AB，则I / /AB .如图4,点P是无心二次曲线（抛物线）上的一点，直线I

4、是过点P的切线.过点P作与对称轴平行的直线Ii，在Ii上（抛物线外）任取一点Q,过点Q作曲线的切线QA、QB , A、B 为切点，连接 AB，则 I /AB 对于上述结论，其逆命题也成立，具体如下：推论2：点P是有心二次曲线上的一点， 0为对称中心，Q为0P延长线上的 任意一点，过点Q作曲线的切线 QA、QB ,A、B为切点，连接AB，过点P作I/AB , 则直线I就是过点P的切线点P是无心二次曲线上的一点，过点P作与对称轴平行的直线I1，在I1上（抛物线外）任取一点 Q,过点Q作曲线的切线 QA、QB, A、B为切点，连接 AB，过点P作I/AB，则直 线I就是过点P的切线推论2实质上就是给

5、出了过二次曲线上的一点P作曲线的切线方法，具体步骤如下：第一步：连接 0P （0为曲线的中心），在0P的延长线上任取一点 Q;（若是抛物线，则在过 P且与对称轴平行的直线上任取一点Q）第二步：过点 Q作曲线的切线 QA、QB , A、B为切点，连接 AB （该过程见前面过曲线外一点作曲 线切线的步骤）；第三步：过点P作I / / AB，则I就是过点P的切线对于推论2中的有心二次曲线， 当图3中点Q趋向于无穷远处时， 线段AB就趋向于与点P相对应的 共轭直径，据此有下面结论：性质3：如图5,线段PQ、AB是有心二次曲线的一对共轭直径，I是过点P的切线，则丨/AB.该结论的逆命题仍然成立，具体描叙如下：推论3：线段PQ、AB是有心二次曲线的一对共轭直径，过点P作直线I /AB，则直线丨是过点P的切线推论3实质上就是给出了过有心二次曲线上的一点P作曲线的切线方法，具体步骤如下：第一步：连接PO（O为曲线的对称中心）得直线 |1 （如图6）;第二步：作h