学案换元法,放缩法

1、数学选修4-5编写：龚莉1.4不等式的证明（2）放缩法班级姓名【学习目标】理解：初步掌握 放缩法的概念；理解 放缩法 证题的基本方法； 掌握：掌握 放缩法证题的基本方法；应用：培养学生用放缩法简单推理的技能【重点难点】重点：1.理解放缩法的推理依据 2.掌握放缩法证明命题的方法 难点：理解放缩法的推理依据及方法.【自主检测】1 .当 n 2 时，求证：logn（n -1） logn（n 1） ： 1 .1 ii111112.（"化简:2亍厂川R；（2）求证：尹孑 A?【知识点拔】1. 放缩法定义：即：要 证明不等式A<B成立，有时可以将它的一边放大或缩小，如将 A放 大成C,即

2、A<C,然后证明C<B,由不等式的传递性，便得到 A<B, 这种方法称为放缩法。2. 常用的放缩方法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析、 多次尝试得出，要注意放缩的适度。常用的方法是：添加或舍去一些项，如:晶2 +1 > a ,空 n(n +1) > n ,a -3a 124：221n(n -1)将分子或分母放大（或缩小）如：n（n 1）a a + m真分数的性质：“若）< a < b, m 0 ,则- < 仝”（糖水不等式） lblb ' 'lq 3 + lq 5 2. 利用基本不等式，如：log 3

3、lq 5 ：. () = lq . 15 :：: lq .1 lq4 ； n (n 1).n(n 1)2 利用函数的单调性21x 利用函数的有界性：如：sinx w1(xR )； x -x書(x R); 2 aO(xeR) 利用常用结论：12 2 *I、2k 1 k k N ,k 1 ,.k A , k ； k 、k 11 _ 2 2x k . k 亠、.； k . k 亠；k -1=2、. k - k -1 k N , k 1n、川、k2k(k -1) k -1 kk2k(k 1厂 k（程度大）k 11 12 » 2 k k -1J 1 _ 1 )-(k -1)(k1)2 k -1

4、 k 1'（程度小）绝对值不等式：|ab| w a±b < a+b ;【经典体验】所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。“添舍”放缩通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。例1.设a, b为不相等的两正数，且a3 b3 = a2 b2,求证1 < a + bv 4。3例2.已知a、b、c不全为零，求证：a2abb2亠b2 bec2丁c2a

5、ca2>2（abc）一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分 母同时加上同一个正数则分式值变大，禾U用这些性质，可达到证题目的。例3.已知a、b、c为三角形的三边，求证:1v 红 + b + c V 2。b c a c a b三.裂项放缩若欲证不等式含有与自然数 n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。1 1例4.已知n N*，求1V2<3例 5.已知 n N* 且 an =,；1 2.2 3 亠亠.n(n J),求证:对所有正整数n都成立。n(n 1)2:an(n 1)22四.公式放缩利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩

6、，可获简解。2x -1 * n 例6.已知函数f (x)- ，证明：对于n N且n 一 3都有f (n)2x+1n+1例7.已知f(x) = J - x2，求证：当a = b时f (a) -f (b)；：|a - b。五换元放缩对于不等式的某个部分进行换元，可显露问题的本质，然后随机进行放缩， 可达解题目的。111例8.已知a . b . c，求证0。ab bc ca例9.已知a，b，cABC的三条边，且有 a2 b2 =c2，当n N*且n _3时，求证:n n n a b : c。六.单调函数放缩根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质进行放缩求解。a+bIdI bl例 10.

7、已知 a, b R,求证 <_ +_LL。1+|a+b|1 +|1 +|b|【自主探究】1 当 n > 2 时，求证：logn(n 1) : log(n1)n11 1 12.求证：1-亠亠:：:3.11疋21汉2汶31汶2沃疋n【课堂反馈】1 .若 a, b, g d R+,求证:1 :22.若n是自然数，求证+ * 2 *匚22 ”： 2.122232n21数学选修4-5编写：龚莉.4不等式的证明（2）（放缩法）课时练习x + y1 .设 x 0, y 0 , A, B1 +x+ y- 匕，则A,B的大小关系是1 yA. A = BB. A : B2 已知三角形的三边长分别为a,

8、b,c ，设D. A Ba b，则1 a bM ,N与Q的大小关系是A. M : N : QB. MC. Q . N : MD. N:Q : M3 设不等的两个正数a,b满足a3 _ b3 = a-b2，则a b的取值范围是、 1 14 设 A 二尹.Tig"4B. (1刁+亠210 1 210 ' 2D. (0,1"r2，贝U A与1的大小关系是1 1 15设z 飞川股，则S的整数部分为32、C333二 c，求证：a b :： c .21 1 1 17 .设n N ,求证：2.9 25(2n +1) 26 .已知a, b, c均为正数，且 a b 411 1 18设 n N，求证：2 ;:nJH 2n :1.1119 .设 n J N ，求证：一222 1 .24(2n)10.设Sn =22 3n (n 1),求证:不等式n(n 1)2:Sn ：(n 1)22所有的正整数n都成立.【自助餐】1:设a、b、