《平行线等分线段定理》教学设计

1、平行线等分线段定理教学设计执教李裕达【教学内容】人教版初中几何第二册§4.9 平行线等分线段定理（课本P176 P178 ）【教学目标】1识记并掌握平行线等分线段定理及其推论，认识它的变式图形；2能运用平行线等分线段定理任意等分已知线段，能运用推论进行简单的证明或计算；3培养学生化归的思想、运动联系的观点。【教学重点】平行线等分线段定理及推论的应用【教学难点】平行线等分线段定理的证明【教学方法】引导·探究·发现法【教具准备】三角板、矩形纸片、印有等距离平行线的作业纸、电脑、实物投影仪、自制课件等【教学设计】一、实际问题，导入新课1问题：不用其它工具，你能用一张矩形

2、纸片折叠出一个等边三角形吗？2折法：（教师演示，学生动手）·先将矩形（ ABCD ）纸对折，DAD得折痕 MN （如图 1）；E·再把 B 点叠在折痕 MN 上，GPNMN得到 Rt BEP（如图 2）；·最后沿 EP 折叠，便可得到BFCB（如图 1）C等边 BEF （如图 2）。（如图2）3导入：为什么这样折出的三角形是等边三角形呢？通过今天这节课的学习，我们将从理论上解决这一问题。二、复习引导，发现定理1复习提问（ 1）你能用尺规作图将一条线段2 等分吗？ 4 等分呢？你还会将一条线段几等分？（ 2）你能用尺规作图将一条线段 3 等分吗？能否将一条线段任意等

3、分呢？师：为了回答第 2 个问题，让我们先来做一个实验。2操作实验请同学们用老师发下的、印有等距离平行线的作业纸和刻度尺做以下实验：（ 1）画一条与这组平行线垂直的直线l1，则直线 l 1 被这组平行线截得的线段相等吗？为什么？（ 2）任意画一条与这组平行线相交的直线l2 ，量一量直线 l2 被这组平行线截得的线段是否相等。3引导猜想引导：在上面的问题中，已知条件是什么？得到的结论是什么？你能用文字语言表述吗？猜想：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。4验证猜想教师用几何画板验证同学们刚才做实验得出的结论（猜想）。三、归纳探究，证明定理1归纳：

4、如果以 3 条平行线为例证明上面的猜想，你能根据图1 写出“已知”和“求证”吗？已知：直线 a / b / c ， AB = BC （如图1）AA'a求证： A'B' = B'C' 。BB'2探究：（1）不添加辅助线能直接证明吗？b（2）四边形 ACC'A'是什么四边形？CC'c（3）在梯形中常作什么样的辅助线？（图 1）3证明：根据学生提供的证明方法，完成证明。AA'a证法一：（略）参见课本P176 的证法。BB'证法二：过 A' 、 B' 点作 AC 的平行线，分别交直线b、 cbDC&

5、#39;于 D、 E（如图2）。（以下证明略）CEc注 1 结论与直线 A'C' 的位置无关；（图 2）注 2 对于 3 条以上的平行线组，可用同样的方法证明（说明证法二更具一般性）。4定理： 平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。推理形式： a / b / c ， AB = BC ，A'B' = B'C' 。四、图形变式，引出推论1隐线变式，得推论1在图 1 中，隐藏直线a、 b、 c，得梯形 ACC'A' （如图 3）。这时定理的条件、结论各是什么？条件：在梯

6、形 ACC'A' 中， AB=BC ， AA' / BB' / CC' 。结论： A'B' = B'C' 。推论 1：经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰。AA'A A'aA'AaA'AaBB'BB'bB'BbB'BbC'CC'cCC'cC'CcC（图 3）（图 4）（图 5）（图 6）2运动变式，得推论2既然定理的结论与被截直线的位置无关，将直线 A'C' 平行向左移动， 得到变式图形 4。这时定理

7、在 ACC'中的条件、结论各是什么？条件：在 ACC' 中， BB' /CC' ， AB=BC 。结论： A'B' = B'C' 。推论 2：经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边。3变换图形，深化理解如果将直线A'C'继续向左平行移动（如图5、 6），这时定理的条件、结论有什么变化？五、运用新知，解决问题1应用定理，等分线段（1）已知线段 AB ，你能它三等分吗？依据是什么？A（图 7）B已知：线段 AB （如图 7）。CF求作：线段 AB 的三等分点。E作法：（略。见图 8） （师生同步完成作图过

8、程）D注作图题虽不要求写作法，但最后的结论一定要写出。AGHB（2）你还能将已知线段几等分呢？能任意等分吗？（图 8）2应用推论，分解图形例 1已知：如图 9，在 ABCD 中， M 、 N 分别是 AB 、 CD 的中点，ADFCM 、AM 分别交 BD 于 E、 F。MN求证： BE=EF=FD。E分析：（ 1）根据条件，你能得到哪些平行线？B（图 9）C（ 2）在图 9 中，有哪些与推论有关的基本图形？证明：（略。过程由学生自己完成）C例 2已知：如图 10， ABCD 的对角线 AC 、BD 交于点 O，DO过点 A 、 B、 C、D 、O 分别作直线 a 的垂线，垂足B分别为 A&#

9、39; 、B'、 C'、 D' 、O'。A求证： A'D' = B'C' 。A' D' O'B'aC'分析：（ 1）你能在图 10 中找到几个与推论有关的基本图形？（图 10）（ 2）在直线 a 上，有哪些线段是相等的？根据是什么？证明：（略。过程由学生自己完成）思考：若去掉条件“ AC 、BD 交于点 O”，结论是否成立？3你能运用今天所学知识，解决本课开始提出的“折等边三角形”问题吗？六、课堂小结，提炼升华1理解一个定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这

10、组平行线在其他直线上截得的线段也相等。2掌握两个推论推论 1：经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰。推论 2：经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边。3了解三种思想化归思想定理证明是通过作辅助线，将问题转化为平行四边形和三角形全等的知识解决；两个例题也是将问题转化为两种基本图形来解决。运动思想两个推论是通过定理图形运动到特殊位置得到的，因此推论是定理的特殊表现形式。辩证思想定理是由特殊（三条平行线）推广到一般；应用定理则是将一般情况运用到特殊（具体）问题之中。七、达标检测，回授效果1已知：如图11，在梯形ABCD 中， AB/CD ， E 是 CD 的中点，EF/BC

11、 交 AB 于 F， FG/ BD 交 AD 于 G。求证： AG=DG。2如图 12，在 ABC 中， D 是 AB 的中点， DE/BC 交 AC 于 E，EF/AB 交 BC 于 F。（ 1）求证： BF=CF ；（2）图中与DE 相等的线段有；（3）图中与EF 相等的线段有；（4）若连结DF ，则 DF 与 AC 的位置关系是，数量关系是八、课后作业，巩固新知1求证：直角梯形的两个直角顶点到对腰中点的距离相等。2已知：如图 13， AD 是 ABC 的中线， E 是 AD 的中点， AE 的延长线交 AC 于 F。求证： FC = 2AF 。附：板书设计§ 4 9 平行线等分

12、线段定理AGDFEBC（图 11）ADEBFC。 （图 12）AFEBDC（图 13）定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。直线 a / b / c ，AB = BC A'B' = B'C' 。推论 1：经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰。在梯形 ACC'A' 中， AB=BC ， AA' / BB' / CC' 。 A'B' = B'C' 。推论 2：经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边。在 ACC'

13、;中， AB=BC ， BB' / CC'. A'B' = B'C' 。AA'aBB'bCC'cAA'BB'CC'AB B'CC'一、动手操作二、例题研究例 1已知：线段 AB （如图）。求作：线段 AB 的三等分点。AB例 2已知：如图，在 ABCD 中， M 、 N 分别是 AB 、CD 的中点，ADCM 、AM 分别交 BD 于 E、F。FMN求证： BE=EF=FD。EBC例 3已知：如图，ABCD 的对角线 AC 、 BD 交于点 O，C过点 A 、 B、 C、D 、O 分别作直线 a 的垂线，垂足分别为 A' 、 B'、 C'、 D'、 O'。求证： A'D' = B'C' 。DOBAA'D'O'B'C'a三、 达标检测1已知：如图，在梯形 ABCD 中， AB/CD ，E 是 CD 的中点，AGDEF/BC 交 AB 于 F， FG/ BD 交 AD 于 G。求证： AG=DG。FEBC2如图，在 ABC 中， D 是 AB 的中点， DE/B