《高等数学》应用实例

1、蚂蚁文库高等数学应用18 例一、椅子能在不平的地面上放稳吗？二、磁盘的最大存储量三、有趣的Fibonacci 数列四、分形几何中的Koch 雪花五、工人上班何时效率最高？六、石油的消耗量七、捕鱼成本的计算八、飞出火星九、萃取问题十、最优化的产出水平十一、蚂蚁逃跑问题十二、资金配置问题十三、家庭教育基金问题十四、分针与时针重合问题十五、证明 e 是无理数十六、湖泊的污染问题十七、减肥问题十八、冷却定律和破案一、椅子能在不平的地面上放稳吗？要回答这个问题，我们先要做一些合理的假设：（ 1） 椅子的四条腿长度相等， 椅脚与地面接触处视为一个点， 四脚的连线是一个正方形；（ 2） 地面是一个连续曲面，

2、没有象台阶那样的情况；（ 3） 地面是相对平坦的，即在任何位置至少有三只脚着地；在以上假设下，问题就是四只脚A 、B、C、D 能否同时着地？为此我们以四脚的中心为原点建立坐标系（如图），再以原点为中心旋转椅子，用 表示旋转的角度，并引入函数 f( )表示 A 、C 两腿与地面的距离之和，函数g( ) 表示 B 、D 两腿与地面的距离之和 ,且不妨假设 f( )、g( )都是连续函数，又因在任何位置至少有三只脚着地，所以对任何 ，有 f( )g( )=0。于是，椅子能在不平的地面上放稳的问题就转化为：是否存在 ，使 f( )=g( )=0 ？回答是肯定的，下面是其000证明。不妨假设开始时 f(

3、0)>0,g(0)=0 ，现将椅子旋转900( /2)，对角线AC 与 BD 互换，由f(0)>0,g(0)=0可知 f( /2)=0,g( /2)>0 。令 h( )= f( )-g( )，则 h(0)>0 ，而 h( /2)<0，根据连续函数的介值定理知，必存在 0(0< 0< /2) ，使f( 0)-g( 0)=0 。最后，因为f( 0)g( 0)=0 ，所以 f( 0)=g( 0)=0 。这种通过对实际问题先作合理的假设， 最后转化成一个纯粹的数学问题并求解的方法就是数学建模。有兴趣的同学可以参考一下这方面的书籍。思考：若椅子的四脚的连线是一个

4、长方形，如何证明椅子仍能在不平的地面上放稳？蚂蚁文库二、磁盘的最大存储量计算机使用的软磁盘是带有磁性介质的圆盘，并由操作系统将其格式化成磁道和扇区，磁道指不同半径构成的同心轨道，扇区是指被圆心角分隔所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单位，存储一位，称为bit 。为了保障分辨率，磁道的宽度必须大于 t，每 bit 所占用的磁道长度不小于 b，为了检索的便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的 bit 数。现有一张半径为R 的磁盘，存储区是半径介于r 和 R 之间的环形区域，试确定 r，使磁盘具有最大的存储量。解：由题知，存储量 =磁道数×每磁道的bit数，另磁道数最多可达

5、Rr ，由于每磁t道具有相同的bit数，所以为获得最大的存储量，最内的一条磁道必须装满，即每条磁道上的 bit 数可达到 2r 。于是，总存储量bR r2 r2r( R r)B( r)tbt b为求 B(r) 的最大值，计算2(2 )B'( r )Rrtb得驻点rR2故当 rR2R 2时磁盘具有最大存储量，此时最大存储量为Bmax。2tb4三、有趣的Fibonacci 数列有小兔一对，若第二个月它们成年，第三个月生下小兔一对，以后每月生产一对小兔，而所生小兔也在第二个月成年，第三个月生产另一对小兔，以后也每月生产小兔一对。假定每产一对小兔必为一雌一雄，且无死亡，试问一年后共有小兔几对？

6、这是意大利数学家Fibonacci 在 1202 年所著 “算法之书” 中的一个题目。 通过简单的推算，我们不难得到每月末的兔子队数为：1、1、 2、 3、 5、 8、 13、21、 34、55、 89、 144、233，即一年末共有兔子233 队。这是一个有限项数列，按上述规律写出的无限项数列就叫做Fibonacci 数列，其中的每一项称为Fibonacci 数。若记 F01, F11, F22, F33, F45, F58,., ,则此数列满足递推关系：F n 2F n 1F n ( n0,1,2,.)其通项公式为：F n1 ( 15 ) n 1 (15 )n 1 522这最先是由法国数学

7、家Binet （比内）求出的。Fibonacci 数列与自然、社会生活中的许蚂蚁文库多现象都密切相关，比如蜜蜂的“家谱”图、钢琴音阶的排列、树的分支等都与 Fibonacci 数列有关。为此，美国还专门出版了一份 Fibonacci 数列季刊，以登载它在应用上的新发现及有关理论。思考：有一条n 阶楼梯，如果每步只能跨上一级或两级，问登上去共有几种走法？（答案： Fn 种）四、分形几何中的Koch 雪花所谓 Koch 雪花，它其实是一种通过递归方式生成的几何图形。设有单位边长的正三角形，如图，则其周长为P13A3，面积为。14现将每条边三等分，以每条边中间一段为边向外做正三角形，如图， 则每条边

8、生成的四条新边的长度之和是原来每条边的长度的4 倍，同时，生成三个新的三角形，每个的面积3为原三角形面积的1 ，故总周长 P24P1 ，总面积 A2A11A1 ，依次进行下去，并933注意到（ 1）每一条边生成四条新边，边长变为原来的1 ；（ 2）下一步，四条新边共生成四3个新的小三角形，面积是以生成前的边为正三角形的面积的1 ，故得到：94 P2423 4 (1)2P3P1， A3A2A13394 P343344(1)3P4P1， A4A3A1 ，33944n1PnPn1P1 ，33AnAn 13 4n 2( 1 )n 1A19A131 A134(1)2 A1 .3 4n 2( 1 ) n

9、1 A19991(1 (4)n )A1A139n2,3,4,.419蚂蚁文库于是lim Pn23, lim An5nn五、工人上班何时效率最高？对某工厂的上午班工人的工作效率的研究表明， 一个中等水平的工人早上 8：00 开设工作，在 t 小时之后，生产出Q( t)t 39t 212t个晶体管收音机，问：在早上几点钟这个工人工作效率最高？解：求这个工人几点钟工作效率最高，就是问早上几点钟这个工人的生产效率取到最大值。那么， 现在首先的问题是生产效率如何表示？根据题目的假设， 产量是 Q(t) ，故生产率就是产量的变化率，即生产率函数R(t )Q'( t) 3t 218t 12假定上午班

10、是从早上8： 00 到中午12：00，则问题就转化为求函数R(t) 在区间 0t t 上的最大值，由R' (t )6t180得函数的驻点 t=3，即在当 t=3时工作效率最高，此时时间是上午11： 00。六、石油的消耗量近年来，世界范围内每年的石油消耗率呈指数增长，增长指数大约为0.07， 1970年初，消耗率大约为每年161 亿桶。设 R(t) 表示从 1970 年起第 t 年的石油消耗率， 则 R(t)161e0.07t（亿桶）。试用此式估计从1970 年到 1990 年间石油消耗的总量。解：设 T(t) 表示从 1970 年间石油消耗的总量，即求T(20) 。由于 T(t) 是石

11、油消耗的总量，所以T ' ( t) 就是石油消耗率R(t) ，即 T ' (t ) R( t)于是 T t)R tdte0.07t dt161 e0.07tc2300e0. 07tc( )1610.07因 T(0)=0 ，故 c=-2300得( )230(00.07t1)T te从 1970 年间石油消耗的总量为：T (20) 2300( e0 .07 201) 7027 （亿桶）。七、捕鱼成本的计算在鱼塘中捕鱼时， 鱼越少捕鱼越困难， 捕捞的成本也就越高， 一般可以假设每公斤鱼的捕捞成本与当时池塘中的鱼量成反比。假设当鱼塘中有x 公斤鱼时， 每公斤的捕捞成本是2000 元，已

12、知鱼塘中现有鱼 1000010x公斤，问从鱼塘中捕捞6000 公斤鱼需花费多少成本？蚂蚁文库解：根据题意，当塘中鱼量为x 时，捕捞成本函数为20000)c( x)( x10x假设塘中现有鱼量为A ，需要捕捞的鱼量为 T 。当我们已经捕捞了x 公斤鱼之后，塘中的鱼量为 A-x ，此时再捕捞x 公斤鱼所需要的成本为C C(Ax) x2000x10 ( A x)因此，捕捞T 公斤鱼所需成本为T200010 ACdx 2000 ln0 10 ( A x)10 (A T)将已知数据A=10000kg, T=6000kg代入，可计算出总捕捞成本为C100102000 ln1829.59 （元）4010八、

13、飞出火星火星的半径是 6860 千米，其表面的重力加速度是3.92 米 /秒 2，若在火星上发射一枚火箭，试问要用怎样的处速度才能摆脱火星的引力？解：设火星的半径为R，质量为 M ，火箭的质量为 m，根据万有引力定律，当火箭离开火星表面距离为x 时，它所受的引力为fkMm( Rx) 2当 x=0 时， f=mg ，因而 kMR2 g所以 fR 2 gm( Rx)2当火箭上升距离为dx 时，它克服火星引力所做的功为dWR2 gmdxfdx2(R x)这就是功的“元素” ，故当火箭从火星表面x=0 处达到高度 x=h 时它克服火星引力所做的总功为：WhR 2 gm2110( R x)2 dxRgm

14、()RR h当 h时， WRgm ，所以初速度v0 必须使动能1 mv02Rgm ，火箭才能2脱离火星引力。由此得v02gR ，而 g=392cm/s2, R=3430 × 105cm蚂蚁文库故v02 392 3430 1055.1 8 6(km/ )s注：众所周知，脱离地球引力所需要的速度为 11.2km/s，由此看来，如果人类有一天能在火星上居住，那么从火星上乘宇宙飞船去太空遨游应当比从地球上飞去容易得多。九、萃取问题现有稀水溶液的醋酸，利用苯做溶剂分 3 次萃取来回收醋酸， 问：如何分配苯量， 才能使从水溶液中萃取出的醋酸最多？解：设苯的总体积为 V ，水溶液的体积为a ，溶液

15、中醋酸的初始浓度为x0 ，并且我们假定每次萃取时都遵守下列定律： yi kxi（ i=1,2,3 ）（ 1）式中 k 为常数， yi , xi 分别表示第i 次萃取时苯中的醋酸浓度和水溶液中的醋酸浓度。现将苯的总体积 V 分成 V1 ,V2 ,V3 三份。对第一次萃取做醋酸的平衡计算，即：醋酸总量=苯中的醋酸量 +水溶液中的醋酸量，由醋酸的物料平衡计算，得：ax0 V1 y1 ax1（ 2）将（ 1）代入（ 2）有： x1ax0（ 3）aV1 k同理，对第二、三次萃取分别有：x2ax1（ 4）V2 kax3ax2（5）V3ka由（ 3）（ 4）（ 5）式得： x3a3 x0（ 6）(aV1 k

16、)(aV2 k)( aV3 k)为了在苯一定量时萃取出的醋酸量最多，x3 应为极小值，则只须考虑（6）分母的极大值，为此，设(,V2,V3) (a V1k)(aV2 k)(a)，问题转化为求f (V1 ,V2 ,V3 ) 在f V1V3 k条件 V1V2V3V 下的极值问题。由 Lagrange 乘数法，设：F (V1 ,V2 ,V3 ,)(aV1k)(aV2k )(aV3k )(V1V2V3V )蚂蚁文库FV1k( aV2 k)( aV3k)0FV2k (aV1 k)(aV3k )0V由k( a V1 k)( aV2 k)解得： V1 V2 V3FV303FV1V2 V3V0不难验证，这时f

17、取得最大值，从而x3 取得最小值。也不难看出，这个结果是一般性的，即为了使萃取出的物质最多，无论将溶剂分成多少份，每次都应该采用等量的溶剂。十、最优化的产出水平假设某厂生产两种产品，在生产过程中，两种产品的产量x1 ,x2 是不相关的，但两种产品在生产技术上是相关的，这样，总成本C 为产量 x1, x2 的函数： CC( x1 , x2 ) ，且两种产 品 的 边 际 成 本 （ 总 成 本 的 偏 导 ） 也 是 x1, x2 的 函 数 ： C1CC1 ( x1 , x2 ) ，x1C 2CR 也是C 2 ( x1 , x2 ) ，经济学中一般总认为产出和销售是一致的，从而总收益x2x1

18、,x2 的函数： RR( x1 , x2 ) 。现在的问题是如何确定每种产品的产量，以使厂家获得最大的利润？厂家的利润函数LRCR( x1 , x2 )C (x1 , x2 ) ，由极值的必要条件有：LRCR1C10x1x1x1R1C1, R2C2LRCx2x2x2R2C20这里， R1 , R2 称为边际收益（总收益的偏导）。上式说明：厂家要获得最大利润，每种产品的产出水平应使得其边际收益等于边际成本。如：一工厂生产两种产品，其总成本函数Cx122x1 x2x225 ，两种产品的需求函数分别为 x1 26 p1 ， x2101 p2 ，其中 p1 , p2分别为两种产品的价格。为使工厂获得最

19、4大利润，试确定两种产品的产出水平。RC解：工厂的总收益函数Rp1 x1 p2 x2 26x140x2 x124 x22 ，由x1x1 有：RCx2x2蚂蚁文库262x12x12x2 ，解之得： x1 5, x2 3 。408x22x12x2故当两种产品的产量分别为5 和 3 时，工厂获利最大；最大利润L R C 120 。十一、蚂蚁逃跑问题一长方形的金属板，假定其四个顶点的坐标分别为（ 1， 1），（5，1），（ 1，3），（5，3），在（ 0，0）处置一火焰，其使金属板受热，且假定板上任意点处的温度与该点到原点的距离成反比。现在（ 3，2）处有一蚂蚁，问这只蚂蚁沿何方向爬行才能最快到达较凉

20、快的地方？解：板上任意点( x, y)处的温度 T ( x, y)k，其中 k 是一个比例常数，x2y 2温度变化最快的方向实际就是梯度所指的方向，计算可得：gradTkxi(x 2kyj ， gradT(3,2)3k i2k j ，( x 2y2 )3 2y 2 ) 3 2133 2133 2其单位向量32（其反方向是由冷变热最ij 所指方向就是由热变冷最快的方向1313快）。蚂蚁虽然不懂梯度，但根据它的感觉细胞的反馈信息，它将沿这个方向逃跑。注：借助微分方程的知识，我们还可求出蚂蚁的逃跑路线。十二、资金配置问题31设某制造商的 Cobb-Douglas 生产函数 f ( x, y)100x

21、 4 y 4 ，其中 x, y 分别表示劳动力和资本， f ( x, y) 表示产量；若劳动力和资本的单位成本分别为150 元和 250 元，现该制造商的总预算为5 万元，问他要如何分配这笔钱来购买劳动力和资本，以使生产量最高？31解：这实际是个求函数f ( x, y) 100x 4 y 4 在条件 150x 250 y50000 下的最值问题；31(,)10044(50000 150 250) ，设x yxyF x yF114y 475xx33F由4 y25x4y15002500有 x250, y50 ，F50000150x250y0即该制造商应该雇佣250 个劳动力而把其余资金作为资本投入

22、可获得最大产量。十三、家庭教育基金问题从 1994 年开始，我国逐步实行大学收费制度，各银行也相应地开展了家庭教育基金储蚂蚁文库蓄。一个小孩从出生开始，其父母每年向银行存入x 元作为教育基金， 若银行的年复利率为r ，试写出第n 年后教育基金总额的表达式。假设小孩到18 岁进入大学时所需费用为3 万元，按年利率10% 计算，问其父母每年需向银行存入多少元？解：设 n 年后教育基金总额为an ，每年向银行存入x 元，年复利率为r ，则有递推关系：a0x, akx(1r )ak 1 , k1,2, n ，即： akak1(ak1ak2 )(1r ) = ( ak 2ak3 )(1r )2= (a1

23、a0 )(1r )k1代入 a0 , a1 有： akak1x(1 r )k ， k1,2, n ，对 k 1,2, n 求和有： annr ) k(1r )n 11 a0x(1xk 1r现 a1830000, n18,r0.1，代入有 xan r586.40 （元）(1r ) n11即父母每年至少应向银行存入586.40 元才能保证小孩在18 岁时有 3 万元的大学费用十四、分针与时针重合问题在下午 1 点到 2 点之间的什么时间，时钟的分针和时针恰好重合？解：从下午1 点开始，当分针走到1时，时针走到 111；当分针走到 1时，时针又1212向前走到 1111 ;；依此类推， 分针要追上时

24、针需时：111这1212121212212311是一个等比级数，其和为S125分27秒271（小时）11112即分针与时针重合的时间为下午1点过 5分 27秒 27十五、证明 e 是无理数解：利用反证法，假设eh，其中 h、 k 为整数，k借助 ex 的 Maclaurin 级数，令 x1，我们有：e1111111!2!k!1)! ( k 2)!( k将上式两边乘k! ，改写成下列形式：k! ( k1111 )11h1!2!k!k 1(k 1)( k 2)注意到上式的右边是正的，而左边是整数，故左边是正整数蚂蚁文库但：右边11=1111k 1 ( k 1)(k 2)k 1k 2 ( k 2)(

25、k 3)<11112=1 1 =1<1不是正整数k 1k 1 (k 1)k 111)k(k1从而证明 e 只能是无理数十六、湖泊的污染问题某湖泊的水量为 V ，每年排入湖泊内含污染物A 的污水量为 V，流入湖泊内不含有A的水量为 V ，留出湖泊的水量为V ，已知61999 年底湖中 A 的含量为 5m0 ，超过国家规定63指标，为了治理污染，从2000 年年初起，限定排入湖泊中含A 污水的浓度不超过m0，V问至少需要经过多少年，湖泊中污染A 的含量降至 m0以内？（注：设湖水中A 的浓度是均匀的）分析：本题实为建立湖中污染物含量m 与时间 t 之间的函数关系。但无法直接得到，而需通

26、过微分方程来求的，那么，应寻找污染物的改变量dm 与时间 dt 间隔之间的关系，从而建立微分方程。解：设从 2000 年初（令此时 t0）开始，第t 年湖中污染物A 的总含量为 m ，浓度为m t, t dt 内，排入湖中m0Vdtm0dt ，流出湖泊，在在时间间隔A 的量为66VV的水中 A 的量为 mV dtm dt，因而在此时间间隔内湖中污染物A 的改变量为V33dmm0m)dt(36此为可分离变量的一阶微分方程，分离变量dm12mm0dt61m0解的mCe 3。2代入初始条件m t05m0，得 C9 m02m01于是m(9e 31)2蚂蚁文库令mm0得 t6 ln 3即至多需要经过t6

27、 ln 3 年，湖泊中污染物 A 的含量降至 m0 以内。十七、减肥问题减肥的问题实际上是减少体重的问题，假定某人每天的饮食可以产生AJ 热量，用于基本新陈代谢每天所消耗的热量为BJ，用于锻炼所消耗的热量为CJ / dkg ，为简单计， 假定增加（或减少）体重所需热量全由脂肪提供，脂肪的含热量为DJ / kg ，求此人体重随时间的变化规律。1t时刻（单位：d （天）的体重为 w(t ) ，根据解：（ ）建立微分方程与定解条件，设热量平衡原理，在dt 时间内人体热量的改变量=吸收的热量消耗的热量，即Ddw AB Cw(t)dt记 aA B ,bC 则得方程DDdwabw(t)dt设开始减肥时刻为t0 ，体重为 w0 ，于是初值条件为w(t) t0w0（ 2） 解微分方程，由分离变量法解得方程的通解为w(t )e bt(Ca ebt)b代入初值条件可得特解为w(t )ae bt (w0a )bb（ 3）由上面的结论得如下结论：10由于 lim w(t )a , 因此，随着时间的增加体重将逐渐趋于常数a ，又tbbaA Bb，因此，只要节食，加强锻炼，调节新陈代谢，使体重达到你要所希望的体C重是可能的。20若