第2章拉氏变换与反变换

1、第二章拉氏变换与反变换拉氏变换解微分方程，可将微积分运算转化为代数运算，且能表明初始条件的影响；采用拉氏变换，能将微分方程方便地转换为系统的传递函数，也便于设计控制系统。一、拉氏变换的定义设 f(t) 是以时间 t 为自变量的实变函数， t0 （定义律），那么 f(t) 拉氏变换的定义为：F s)L f t)fte st dt（2-1）( (0( )式中：S 是复变数： SJw（可用点、向量、三角（指数）表示）e st dt 拉氏积分0F(s)函数 f(t)的拉氏变换，为一复变函数，也称象函数。f(t)原函数L 拉氏变换的符号拉氏反变换f (t ) L 1 F (s)12 j式中： L 1 拉

2、氏变换的符号jjF (s)est ds（2-2）上二式表明：拉氏变换是在一定条件下， 能将一个实数域中的实变函数转换成一个在复数域中与之等价的复变函数，反之亦然。二、几种典型函数的拉氏变换1单位阶跃函数 1（t ）的拉氏变换1如图所示，单位阶跃函数定义为0t01(t )t01单位阶跃函数表示在 t=0 时突然作用于系统的一个幅值为 1 的不变量。拉氏变换为：F (s) L1(t )1(t )e st dt1 e0s若幅值为 K，则st00 ( 1)1（2-3 ）ssL K 1(t)K（2-4）S其反变换为：f ( t ) L 111(t )（ t 0 ）（2-5 ）S2指数函数 f ( t)e

3、t 的拉氏变换f (t)e tF ( s)1（2-6）SL 1 1 e t（ t0 ）（2-7）S3正弦函数与余弦函数的拉氏变换f (t )sin wtF ( s)w（2-8）S 2w 2f (t )costF ( s)S（2-9）S 2w 24单位脉冲函数 (t) 的拉氏变换如图所示，单位脉冲函数的数学表达式为：0和(t 0 t )(t) 1lim(0 t)0其拉氏变换为(S)1（2-10）反变换： L11t1/0 单位脉冲函数5单位速度函数的拉氏变换 ( 又称斜坡函数 )0(t0)f (t )t( t0)其拉氏变换为1（2-11）F ( s)2S反变换L 11t（ t0 ）（2-12）S

4、26单位加速度函数的拉氏变换0(t0)f (t)1t2t02F( s)1（2-13）S3L 111 t 2（2-14）S327. 幂函数的拉氏变换f t t n（2-15）n!（2-16）F ssn1三、拉氏变换的主要定理1迭加定理拉氏变换是一种线性变化1）齐次性设 L f (t )F (s)则Lf (t)F (s)（2-17）式中，为常数2 ）迭加性令L f 1 ( t )F1 (s) ， L f 2 ( t )F 2 (s)则L f 1 ( t )f 2 (t )F 1 (s)F 2 ( s)（2-18）也即Lf 1 (t )f 2 (t )F 1 ( s)F 2 (s)2微分定理若 L

5、f (t )F (s)则Ldf ( t )0df ( t ) e st dte st df (t )e st f (t ) 0S f (t )e st dtdtdt00SF (s)f (0)（2-19）同理可得Ld2 f (t )S2 F (s)Sf (0) f(0)dt 2Ld3 f (t )S3F (s)S2f (0)Sf (0)f (0)dt 3Ld nf (t)S n F ( s) S n1 f (0)S n 2 f (0)f (n 1 ) (0)dt n若函数 f(t)及其各阶导 数的初始值均为零，则上式可变为：L f( t)SF ( s)L f(t )S2 F ( s)L f n

6、(t )S n F ( s)3积分定理若L f (t ) F (s)则Lf (t )dt1 F ( s)1f ( 1) (0)（2-20）SS式中f( 1 ) ( 0) 积分 f (t )dt 在 t=0 时刻的值。当初始条件为零时L f (t )dt 1F ( s)S对多重积分：11( 1)1( n 1)Lf (t )dt S n F ( s)S n f( 0)Sf(0)当初始条件为零时Lf (t )dt 1Sn F ( s)4延迟定理（实数域中的位移定理）设 L f (t )F ( s) ，且 t <0 时，f ( t )=0则L f (tT )esT F ( s)（2-21）说明：

7、函数 f(tT ) 为原函数 f ( t ) 沿时间轴向右平移 T。5位移定理（复数域中的位移定理）设 L f (t )F ( s) ，则L e t f (t ) F ( s a)（ 2-22）例： Lcos tSS2w2Le atcost Sa(s a) 2w 26初值定理表明原函数 t0 时的数值lim f (t )lim sF ( s)（2-23 ）t 0s7终值定理设 L f (t )F ( s) ，且 lim f (t) 存在，则slim f (t )f ( ) lim sF ( s)（2-24 ）ts 08卷积定理设 L f (t )F ( s) ， L g( t)G ( s)则

8、L f (t ) g( t ) F ( s)G (s)（2-25）t)g( )d式中，卷积 f (t ) g(t )f (t0四、应用拉氏变换解线性微分方程步骤：1对线性微分方程中每一项进行拉氏变换，使之成为S 的代数方程；2解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；3用拉氏反变换得到微分方程的时域解。（一）部分分式法极点：在控制理论中，常遇到的象函数是S的有理分式（ nm ）B (s)b0 S mb1 S m 1bm 1 SbmF ( s)a0 S na1 S n 1A(s)an 1 Sa n为了将 F (s) 写成部分分式，首先将 F ( s) 的分母因式分解，则有b0 S mb1 S m

9、 1bm 1 S bmF ( s)( S P1 )( S P2 ) ( S Pn )式中， P1, P2 , ,Pn 是 A( s)0 的根，称为 F ( s) 的极点。1 F ( s) 的极点为各不相同的实数时的拉氏反变换，B( s)b0 S mb1 S m 1bm 1 S bmF ( s)( S P1 )( S P2 ) ( S Pn )A( s)A1A2AnnAiS P1S P2S Pn（2-26）i 1 SPi式中， Ai 是待定系数，其求法如下：Ai F (s)( S Pi ) S Pi再根据拉氏变换的迭加原理，求原函数nAinf ( t ) L 1 F (s) L 1Ai e Pi

10、 ti 1 SPii 1例：求 F (s)S2S2S( S2S的原函数6)解：首先将分母因式分解F ( s)S 2S 2A1A2A3S(S 3)(S 2)SS3S2A1 F (s)S S 0S2S2S1S(S3)(S2)3S 0A2 F ( s)(S3) s3S2S2(S3)8S( S3)( S152)S 3A3 F (s)( S2) s2S2S2(S2)4S(S3)( S52)S2F ( s)1 181413 S15S35S2f (t ) L1 F ( s)L 1 (1 1)L 1 (81)L 1 (4 1)3 S15 S35 S11 8 e3t4 e 2 t(t0)31552 F ( s)

11、 含有共轭复数极点时的拉氏反变换方法：如果 F (s) 有一对共轭复数极点P1 , P2 ，其余极点均为各不相同的实数极点。将 F (s) 展开成 ：b0 S mb1 S m 1bm 1 S bmF ( s)(S Pn )(S P1)(S P2)(S P3 )A1 SA2A3An(S P1)(S P2) S P3S Pn式中， A1 和 A2 可按下式求解 F ( s)( S P1 )( SP2) S P1A1SA2S P1（2-27）或 SP2或 SP2由于（2-27）两边都是复数，令等号两边的实、虚部相等得两个方程式，联立求解即得A1 ， A2 两常数。例：已知 F (s)S12，求 f

12、(t )S(SS 1)解：先因式分解F ( s)S1A0A1 SA213)(S1SS2S1S( Sjj3 )2222A0 F ( s)S S 01S1( S2S 1)A1S A2S( S2SSj131)3S221j221j311322A1 ()A2即13j222j2利用方程两边实、虚部分别相等，可得11( A1A2 )223A2 )3( A122解得： A11， A20F (s)1SSS 2S1上式在拉氏变换表上仍然查不到，故将上式再作适当变换；1S1SF ( s)S 2S1SS(S1) 2( 3)222S11122S1) 2(3 ) 2(S1 )2( 3)2(S2222S1131222S1

13、)2(3 )23(S1 ) 2(3 ) 2(S22222f (t )L 1S11)S(S2S1S13L1L12L10.572S1) 23 ) 21 )23 )2(S( S(222211t3 t0.57 et3 t( t0)查表1e2 cos2sin223 F ( s) 中含有重极点时的拉氏反变换设 A(S)0 有 r个重根，则bS mb S m 1bm 1SbmF ( s)o1( S P ) r(S P)(SP)or 1n展开A01A02A0rAr 1An( S Po ) r( S Po )r 1S PoS Pr 1S Pn式中， Ar 1 , Ar 2 ,An 的求法与单实数极点情况下相同A

14、01 , A02 ,A0r 的求法如下：A01 F (s)(sPo ) r SPoA02 d F (s)( sPo ) r SPdso1 d2Po ) r S PoA032 F (s)( s2!ds1d ( r1)r（2-28）A0 r(r1)! ds( r1) F (s)( sPo ) SPo则f (t )L 1 F (S)A01t (r1)A02t ( r 2)A0r e P0tAr 1e tPr 1An e Pn t ，(r1)!(r2)!( t0)例：求 F ( s)S3的拉氏反变换2) 2( S(S1)解：先将 F (s) 展开为部分公式A01A02A03F ( s)2(S 2)S

15、1(S 2)求系数：A01( SS3( S2) 212)2(S1)S2A02d( SS31)( S2)2ds2)2(SS 2( S3) (S1)( S3)( S1)( S1) 22S 2A3S3( S1)2( S2)2(S1)S1F ( s)1222) 2S2S1(S查拉氏变换表得：f (t)(t2)e 2t2e t(t0)（二）用拉氏变换解线性微分方程例：设系统微分方程为：d2 x0(t)dx0 (t)xi (t )dt 256x0 (t )dt若 xi (t )1(t ) ，初始条件分别为 x 0(0) 、 x 0 (0) ，试求 x 0 (t )解：对微分方程左边进行拉氏变换：（利用拉氏

16、变换微分性质）d 2 x0(t )S2X 0(S) Sxo (0) x0(0)L2dtL 5 dx0 (t)5SX0 (S) 5xo (0)dtL6 xo (t)6X 0 (S)利用迭加定理有：d 2 x0 (t )dx0(t)L56 x0 (t)dt 2dt=(S256)X 0() (S5)x0(0)x0(0)Ss对方程右边进行拉氏变换：L x i ( t )L1(t )1S得：(S25S6)X 0 (s)( S5) x0 (0)x0 (0)1SX0 (S)11(S5) x0 (0)x0 (0)5S6 SS 25S6S21(S5)x0 (0)x0 (0)S(S 2)(S 3)(S2)( S3)A1A2A3B1B2SS2S3S2S3求待定系数：A11S S 01S( S2)( S63)A21( S2) S21S( S2)( S23)A31( S3) S1S( S2)( S333)B1( S 5) x