数理统计的基础知识

1、数理统计的基础知识数理统计的基础知识 总体：研究对象的全体。总体：研究对象的全体。通常指研究对象的某项数量指标。通常指研究对象的某项数量指标。组成总体的元素称为个体。组成总体的元素称为个体。16.1、简单随机样本、简单随机样本16.1.1 总体与个体总体与个体16.1.2 16.1.2 样本：样本：来自总体的部分个体来自总体的部分个体 1 1， ， n n 如果满足：如果满足：（1 1）同分布性：同分布性： i i，i=1,i=1,n,n与总体同分布与总体同分布. .（2 2）独立性：）独立性： 1 1， ， n n 相互独立；相互独立； 则称之为容量为则称之为容量为n n 的简单的简单随机样

2、本，简称样本随机样本，简称样本。而称而称 1 1， ， n n 的一次的一次实现为样本观察值，记为实现为样本观察值，记为x x1 1， ，x xn n 总体、样本、样本观察值的关系总体、样本、样本观察值的关系总体总体 样本样本 样本观察值样本观察值 理论分布理论分布 统计是从手中已有的资料统计是从手中已有的资料样本观察值，去推断样本观察值，去推断总体的情况总体的情况总体分布。样本是联系两者的桥梁总体分布。样本是联系两者的桥梁。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观

3、察值去推断总体去推断总体16.2 总体矩、样本矩及其关系总体矩、样本矩及其关系16.2.1 总体矩总体矩1kkvE、k阶原点矩2() kkuEE、k阶中心矩把总体的各阶中心矩和原点矩统称为把总体的各阶中心矩和原点矩统称为总体矩总体矩1 样本的原点矩与样本均值样本的原点矩与样本均值111,niikn特别的，得样本均值111nkkiivn、原点矩16.2.2 样本矩样本矩122121012()(),niikukSnSS特别地，时得样本方差样本均方差标准差16.2.3 样本中心矩与样本方差样本中心矩与样本方差112() ,nkkiiun、中心矩16.2.3 样本矩、总体矩及其相互联系样本矩、总体矩及

4、其相互联系212.).nED定理16.1假设总体存在二阶矩，记，（，为来自总体的样本，则样本矩与总体矩有如下联系：212EDn）； ）22*22*22113),4)1()1niinESESnSn称 为 样 本 修 正 方 差例例16.1 16.1 从某班级的英语期末考试成绩中，随机抽取从某班级的英语期末考试成绩中，随机抽取1010名同学的成绩分别为：名同学的成绩分别为：100100，8585，7070，6565，9090，9595，6363，5050，7777，8686（1 1）试写出总体，样本，样本值，样本容量；）试写出总体，样本，样本值，样本容量；（2 2）求样本均值，样本修正方差及二阶原

5、点矩。）求样本均值，样本修正方差及二阶原点矩。 样本： （1，2，3，10） 样本值：)x ,x ,x(n21=（100，85，70，65，90，95，63，50，77，86） 样本容量：样本容量：=10=1010111(2)(100+85+&+86)=78.11010iixx2*2222111()21.96.97.9 252.519niisxxn10222222211111(100857086 )6326.91010niiiivxxn例例16.2 设总体设总体有分布密度有分布密度121002*21,1( )0.12.xxp xSS ，其它从中抽取样本（ ， ，）样本均值 的期望和方差

6、；）样本方差与样本修正方差的期望解：分布密度为0110(1)(1)0Exx dxxx dx则01222101(1)(1)6Dxx dxxx dx6001nXD0XE12 , ,) )60099n1nES222 ) )61ES22 * * 其它, , , , , ,) )( (01x0 x10 x1x1xp16.3 统计量及几个重要分布16.3.1 统计量统计量定义：如果定义：如果g( 1， ， n )不含不含 未知未知 参数参数,称称样本样本 1， ， n 的函数的函数 g( 1， ， n )是总体是总体X的一个统计量的一个统计量,16.3.2 四类统计量及其分布四类统计量及其分布16.3.2

7、.1 U U统计量及其分布统计量及其分布2( ,),(0,1)/NUNUn 若则称为统计量 2分布及其临界值分布及其临界值2221121.,(0,1),( ).niidniiNk定义设则称为自由度为n的分布2. 临界值表的结构和使用临界值表的结构和使用 设设 2(n)，若对于，若对于 ：0 1， 存在存在02 满足满足22,P则称则称2为为2( )n分布的上分布的上 分位点。分位点。22( ; )n 例例16.3 给定给定 =0.05,自由度自由度n=25,求求满足下面等式的临界值满足下面等式的临界值:2221, PP222:( ; )(0.05;25)37.652n解22112211(1;

8、)(0.95;25)14.611PPn *222222(1)(1);nSnSn3 2统计量未知时，已知时?) )( ( ) )( (nX22n1i2i2 1.定义定义 若若 N(0, 1), 2(n), 与与 独立，则独立，则 ( )./tt nk称为自由度为称为自由度为n的的t分布。分布。 记为记为tt(n)、t统计量及分布统计量及分布2.2.临界值表的结构和使用临界值表的结构和使用设T Tt(n)t(n)，若对 :0:0 1,00， 满足PTPT t t = ，则称t t 为t(n)t(n)的上侧分位点t例例16.4 给定给定 =0.05,自由度自由度n=20,求满足求满足下面等式的临界值

9、下面等式的临界值:(1) , P ttP tt 22(2) , P ttP tt :(1)( ; )(0.05;20)1.7247ttnt解1.7247P ttP ttt 2(2)(; )(0.025;20)2.0862ttnt22.086t 3 t统计量及其分布统计量及其分布* (1)./tt nSn16.3.2.4 F统计量及其分布统计量及其分布1.定义定义 若若 2(n1)， 2(n2)， ， 独立，则独立，则1122/( ,)./nFF n nn 称为第一自由度为称为第一自由度为n1 ，第二自由度为第二自由度为n2的的F分分布布2. F2. F分布分布临界值表临界值表对于对于 ：00 100，满足满足PFPF F F = ， 则称则称F F 为为F(nF(n1 1, n, n2 2) )的的上侧上侧 分位点；分位点；记为记为F F（ ; n; n1 1, n, n2 2 ) )F12211(1;,)( ;,)FFn nFn n注：注：例例16.5 给定给定 =0.1,自由度自由度n1=10, n2=5,求求满足下面等式的临界值满足下面等式的临界值:21(1) (2) P FP F212(1)( ;,)(0.1;10,5)3.3Fn nF解 112211(2)(1;,)( ;,)12.52(0.1;5,10)Fn nFn nF(4) F 统