频域分析综述

1、13.3 频域分析综述频域分析综述 一、一、 频域形式的表格方程频域形式的表格方程 表格方程由表格方程由KCL、KVL和元件和元件VCR方程组成。现在方程组成。现在以图以图136电路加以说明。电路加以说明。 图图136 1. 用矩阵形式列出用矩阵形式列出n-1个结点的个结点的KCL方程方程。 2. 用矩阵形式列出支路电压与结点电压关系的用矩阵形式列出支路电压与结点电压关系的KVL方程。方程。 3. 以以 mU(s)+nI(s)=US(s) 形式列出矩阵形式的形式列出矩阵形式的VCR方程。方程。 4. 将将KCL,KVL和和VCR方程放在一起，得到以下表方程放在一起，得到以下表格方程。格方程。

2、1. 用矩阵形式列出用矩阵形式列出n-1个结点的个结点的KCL方程。方程。 简写为简写为 AI(s) 0 000)()()()()(110000111000011 321 5 4 3 2 1 54321sIsIsIsIsI节点支路 其中其中 称为关联矩阵，它表示支路与结点的关联关系，其元素称为关联矩阵，它表示支路与结点的关联关系，其元素 110000111000011A相连不与节点如果支路进入节点如果支路离开节点如果支路 0 1 1 ikikikaik 简写为简写为 AI(s) 0 2. 用矩阵形式列出支路电压与结点电压关系的用矩阵形式列出支路电压与结点电压关系的KVL方方程。程。 简写为简写

3、为 U(s) ATV(s) 其中其中AT表示关联矩阵表示关联矩阵 A 的转置矩阵的转置矩阵。 )()()(100110010011001)()()()()(32154321sVsVsVsUsUsUsUsU 3. 以以 mU(s) + nI(s) = US(s) 形式列出矩阵形式的形式列出矩阵形式的VCR方方程程。 简写为简写为 (M0s+M1) U+( N0s+N1)I = Us +Ui0)0()0(0)()()()()()(0000000000100000000000)()()()()(100000100000000001000001S543212154321LiCusUsIsIsIsIsI

4、RsLRsUsUsUsUsUsC 4. 将将KCL,KVL和和VCR方程放在一起，得到以下表格方程放在一起，得到以下表格方程。方程。 简写为简写为 iS00 )(00 )()( UsUsWsT i iS SU Us sU Us sI Is sU Us sV VN NN NMMMMA AA AT T)()()()(00001000011ss 其中其中 T(s) 称为表格矩阵，由于矩阵中大部分系数称为表格矩阵，由于矩阵中大部分系数为零，又称为稀疏表格矩阵。为零，又称为稀疏表格矩阵。 表格矩阵表格矩阵T(s)的行列式的行列式det T(s)是以是以s为变量的多项式，为变量的多项式，若不为零，即若不为

5、零，即 det T(s) 0，则该电路有惟一解。其中，则该电路有惟一解。其中Ui表表示由电感电流和电容电压初始值组成的列向量。示由电感电流和电容电压初始值组成的列向量。 若表格方程有惟一解，则可以得到以下结果若表格方程有惟一解，则可以得到以下结果 )( )( )(i1S1仅由初始条件引起仅由输入引起响应输入零零状态响应全响应 UsTsUsTsW00)( 00)( )( 由此可以得到线性时不变电路的两个性质由此可以得到线性时不变电路的两个性质: 1. 惟一解性质：当且仅当惟一解性质：当且仅当detT(s) 0时，该线性时不变时，该线性时不变电路电路N存在惟一解。存在惟一解。 2. 若线性时不变电

6、路若线性时不变电路N具有惟一解，则其全响应等于具有惟一解，则其全响应等于零状态响应零状态响应(仅由输入引起仅由输入引起)与零输入响应与零输入响应(仅由初始条件引仅由初始条件引起起)之和。之和。 )( )( )(i1S1仅由初始条件引起仅由输入引起响应输入零零状态响应全响应 UsT sUsTsW00)(00)( )(二、零输入响应和固有频率二、零输入响应和固有频率 我们只考虑初始条件对电路的作用，求解以下方程可我们只考虑初始条件对电路的作用，求解以下方程可以得到电路的零输入响应以得到电路的零输入响应 i1i U00)( )(00 (s)(s) sTsWUWT求解 1. 假设电路的特征多项式，假设

7、电路的特征多项式，x(s)=det T(s)，具有，具有n个简个简单零点：单零点： 1, 2, 3, n,电路具有电路具有n个单一的固有频率。个单一的固有频率。 2. 如果线性时不变电路的全部固有频率都具有负实部，如果线性时不变电路的全部固有频率都具有负实部，则对于任何初始条件，其零输入响应则对于任何初始条件，其零输入响应W(t)将按照指数规律将按照指数规律趋近于零，也就是说电路的所有变量随着趋近于零，也就是说电路的所有变量随着t而按照指数而按照指数规律变为零。规律变为零。(满足这种条件的电路称为指数稳态的电路满足这种条件的电路称为指数稳态的电路) . (s)nnskskskW 2211 因此

8、得到的零输入响应为因此得到的零输入响应为 e.eee )(tntttnaanakkkktw 2121 我们求解方程可以得到我们求解方程可以得到 三、零状态响应和网络函数三、零状态响应和网络函数 我们只考虑输入对电路的作用，求解以下方程可以得我们只考虑输入对电路的作用，求解以下方程可以得到电路的零状态响应到电路的零状态响应 )( )(S1SsUsTsWsUWT00)( )(00 (s)(s) 求解 1. 网络函数网络函数 我们在正弦稳态分析中引入了网络函数，现在将它推我们在正弦稳态分析中引入了网络函数，现在将它推广到任意输入的情况。广到任意输入的情况。)()(单一输入零状态响应)(LLsH 由于

9、全部初始条件为零，在频域电路模型中不必画出由于全部初始条件为零，在频域电路模型中不必画出表示初始条件作用的电压源和电流源，计算就会容易得多。表示初始条件作用的电压源和电流源，计算就会容易得多。 我们讨论具有惟一解的线性时不变电路，假设电路仅我们讨论具有惟一解的线性时不变电路，假设电路仅仅由一个独立电源驱动，则任一输出变量零状态响应拉普仅由一个独立电源驱动，则任一输出变量零状态响应拉普拉斯变换对输入拉普拉斯变换之比，定义为网络函数，记拉斯变换对输入拉普拉斯变换之比，定义为网络函数，记为为H(s)，即，即 例例13-3 求图求图13-7所示电路的驱动点阻抗所示电路的驱动点阻抗U1(s)/I1(s)

10、和转移电和转移电 压比压比U2(s)/U1(s)。 图图137 例例133 解：可以用阻抗串并联公式来计算图示单口网络的驱动点解：可以用阻抗串并联公式来计算图示单口网络的驱动点 阻抗阻抗 1112221212122111 CSRLCsRRsLCSRRsLCRsCRsLsCRsLRsIsUsZ )()()()(图图137 例例133 可以用分压公式来计算图示电路的转移电压比可以用分压公式来计算图示电路的转移电压比 2121212222212212 11)(11)()()(RRsLCSRRsLCRRRsLRsCRsLsCRsLRsCRsLsCRsLsUsU 由此例可见，网络函数的计算方法与正弦稳态

11、相同，由此例可见，网络函数的计算方法与正弦稳态相同，差别仅在于差别仅在于j换成了换成了s 。频域网络函数是以。频域网络函数是以s为变量的两个为变量的两个多项式之比，将多项式之比，将s 换为换为j就得到正弦稳态的网络函数，据就得到正弦稳态的网络函数，据此就可以画出频率特性曲线。此就可以画出频率特性曲线。 若采用表格方程来计算网络函数，若若采用表格方程来计算网络函数，若detT(s) 0，用克，用克莱来姆法则求解可以得到以下结果莱来姆法则求解可以得到以下结果 )( )(det)()( )(00 )()(SSsUsTsTsWsUsWsT 的余子式 求求解解 式中的式中的W(s)表示感兴趣的某个电压和

12、电流，表示感兴趣的某个电压和电流，US(s)表示表示一个独立电压源或独立电流源。由此可以得到网络函数为一个独立电压源或独立电流源。由此可以得到网络函数为 )()(det)(sDsNsTsTsH )()( 的余子式 它是以它是以s为变量的两个多项式之比。其分子多项式为变量的两个多项式之比。其分子多项式N(s)的零点，称为网络函数的零点；分母多项式的零点，称为网络函数的零点；分母多项式D(s)的零点，的零点，称为网络函数的极点。称为网络函数的极点。 )( )(det)()( )(00 )()(SSsUsTsTsWsUsWsT 的余子式 求求解解 由此可以得到网络函数的几点性质。若网络由此可以得到网

13、络函数的几点性质。若网络N是具有是具有惟一解的线性时不变电路，则惟一解的线性时不变电路，则 (1) 网络网络N的任一网络函数是具有实系数的两个多项式的任一网络函数是具有实系数的两个多项式之比，因此它的零点和极点总是以共轭复数对的形式出现。之比，因此它的零点和极点总是以共轭复数对的形式出现。 (2) 零状态响应的拉普拉斯变换等于网络函数与输入拉零状态响应的拉普拉斯变换等于网络函数与输入拉普拉斯变换的乘积。即普拉斯变换的乘积。即)()()( 输入网络函数零状态响应LL (3) 任一网络函数的极点是网络任一网络函数的极点是网络N的固有频率。的固有频率。 2.冲激响应与网络函数冲激响应与网络函数 在动

14、态电路的时域分析中讨论过冲激响应在动态电路的时域分析中讨论过冲激响应h(t)，它是单，它是单位冲激作用下电路的零状态响应，由于冲激响应的计算比位冲激作用下电路的零状态响应，由于冲激响应的计算比较困难，我们是先求出电路的阶跃响应，再用对时间求导较困难，我们是先求出电路的阶跃响应，再用对时间求导数的方法来计算电路冲激响应的。在频域分析中，由于单数的方法来计算电路冲激响应的。在频域分析中，由于单位冲激函数的拉普拉斯变换等于位冲激函数的拉普拉斯变换等于1，因此网络函数的反拉普，因此网络函数的反拉普拉斯变换就是冲激响应拉斯变换就是冲激响应h(t)，即，即 )( )( 1 网络函数或网络函数 LL)()(

15、thth 这是一个很重要关系，它反映出电路的频域特性与时这是一个很重要关系，它反映出电路的频域特性与时域特性的关系。例如，如果网络函数域特性的关系。例如，如果网络函数H(s)有有n个单一的极点，个单一的极点，而且有而且有 naaapsksH)( 则其冲激响应则其冲激响应h(t)为为 )()(tekthnatpaa 根据定义，阶跃响应根据定义，阶跃响应s(t)是在单位阶跃输入时电路的零是在单位阶跃输入时电路的零状态响应，它与网络函数以及冲激响应之间的关系，如下状态响应，它与网络函数以及冲激响应之间的关系，如下所示：所示： dttdsthsHsts)()( )(1 )( L例例134 求图求图13

16、8(a)所示电路中电感电压的冲激响应。所示电路中电感电压的冲激响应。 图图138 例例134 解：图解：图(a)的频域模型，如图的频域模型，如图(b)所示，注意到单位冲激的拉所示，注意到单位冲激的拉 普拉斯变换是等于普拉斯变换是等于1。 由图由图(b)求得网络函数为求得网络函数为 )(e)()(11)()( 111)()()()( L1LLSLtLRttuLRsLRsHsULRsLRRsLRRsLsLsUsUsUsHtLR L 计算结果与用时域分析方法得到的结果相同。计算结果与用时域分析方法得到的结果相同。 3. 零状态响应和网络函数零状态响应和网络函数 电路在任意输入时的零状态响应，在已知网络函数的电路在任意输入时的零状态响应，在已知网络函数的情况下，容易用下式求得。情况下，容易用下式求得。 )( )()(输入网络函数零状态响应LL 例如图例如图13-8所示电路，如果所示电路，如果R=1 ，L=1H，uS(t)=3 (t) +6 (t)，则其网络函数和电感电压的零状态响应为，则其网络函数和电感电压的零状态响应为 )(e3)(3)( 133 )63(1)(6)(3)()()()(1)()()( L1SLSLtttussssttLsHsUsHsUssRsLsLsUsUsHtL 最后介绍一个正