血样的分组检验数学建模

1、问题一血样的分组检验摘 要：本文以血样分组检验为原型，通过建立数学模型，利用概率统计，数学期望值 等知识对如何分组检验以及什么情况下需要进行分组检验作出了合理的解释。关键词：血样分组检验，数学模型，概率统计，数学期望值具体问题在一个很大的人群中通过血样检测普查某种疾病，假定血样为阳性的先验概率为 p(通常p很小)。为减少检验次数，将人群分组，一组人的血样混合在一起化验。当某组的混合血样为阴性时，即可不经检验就判断该组每个人的血样都为阴性；而当某组的 混合血样为阳性时，则可判断该组至少有一人血样为阳性，于是需要对该组的每个人在 做化验。(1) 当p固定时(0.1%, /%,)如何分组，即多少人一

2、组，可使平均总检验数 最少，与不分组的情况比较。(2) 当p多大时不应分组检验。(3) 当p固定时如何进行二次分组(即把混合血样呈阳性的组再分成小组检验， 重复一次分组时的程序)。(4) 讨论其他分组方式，如二分法(人群一分为二，阳性组在一分为二，继续下去)，三分法等。分析问题本文对血样分组检验建立数学模型，目的就是要找到一种最佳的分组方案， 对于一 个数量固定的人群(假定人群数量为 n人)，我们在决定哪一种分组方案最好或者需不 需要分组时，可以引入数学平均值。如果不分组，每个人都参加检验，则总共需要检验n次，每个人平均需要检验一次，如果分组后计算出每个人的平均检验次数小于 1次，则认为分组比

3、不分组好，需要分组, 反之，则不需要分组；在众多组合的分组中，哪一种分组计算出来的每个人的平均检验 次数最小，则认为这种分组时最优的分组方案。这也是数学概率模型的基本思路。在人群（数量很大）中进行血样检验，已知先验阳性率为p,为减少检验次数将人群分组。若k人一组，当k份血样混在一起时，只要一份呈阳性，这组血样就呈阳性， 则该组需人人检验；若一组血样呈阴性，则该组不需检验。模型假设结合本问题的实际情况，对该模型作出如下合理的假设：1 .人群数量总数为n人；2 .先验卞S率P在检验中为一常量，保持不变；3 .每个人检验一次是否阳性的概率相互独立，即每个人接受检验是互相独立事件，互不影响；4 .每次

4、分组时都能达到平均分配，能分成 m组，即m=n/k, m为正整数。变量说明根据提出的问题和模型假设，给出如下变量：n-被检验人群的总数；m-人群被分成的组数；k-每组的人数；k 1-第二次分组时每组的人数；p- 先验阳性概率；q=1- p -先验阴性概率；-每个人需要检验的次数，为一随机变量；E - 的期望值，每个人需要检验的平均次数。模型建立利用概率统计知识建立数学概率模型，由期望值知道，如果不分组，每个人都参加 检验，每个人平均需要检验一次；如果分组，分组后计算出每个人的平均检验次数小于 1次，则认为分组比不分组好，需要分组，反之，则不需要分组。在众多组合的分组中，比较哪一种分组计算出来的

5、每个人的平均检验次数最小，平均检验次数最小的那种分组则认为这种分组时最优的分组方案。模型求解问题二：当p多大时，就不需要分组。在分组情况下，由模型假设知每组的人数为 k （2 k n）;变量表示每人的检验次数；阳性的先验概率为p；阴性的先验概率q 1 p o如果一组检验为阴性，则表明该组中的每个人均不是病毒的感染者，又因为每个人是否是感染是相互独立的（模型假设），所以可以求得一组检验为阴性的概率为 qk ,即1该组中的每个人平均检验次数为1次（该组总共只检验了一次）。k如果一组检验为阳性，则表明该组中有病毒感染者，因为一组检验为阴性的概率为qk,所以一组检验为阳性的概率为1 qk （一组检验要

6、么为阴性，要么为阳性），即该组中的每个人平均检验次数为13次（除了该组检验了一次外，该组中的每个人又被逐个 k检验一次）。所以可以得到 的分布律为：次数1 k1 k概率Pk qkk1 q由上表可求得的期望值E :E1 qk （1 1） （1 qk） 1 qk 1kkk即每个人的平均检验次数为1 qk 1次，人群（总共n个人）的平均检验次数为 kn E n （1 qk :）次。由概率模型知，只有当E 1时才需要分组，即分组检验要满足 E1这个约束条件：由 E 1 qk1 q11 p1p1 1qkk pkkp kk即只有当满足约束条件1才需要分组检验。 k.k因为k只能取整数，所以11 ,小是一个

7、离散型变量，为了更形象地讨论问题，故引 k.k、，11入与1下产变化趋势相同的连续性函数 p(x) 1 , , (2 x n) k.kx. x1对p(x) 1 了 进行求导，求导过程如下:、，xp(x) (11(x?设y ；则 p (x)ln y1 1=两边求对数有: xlx,11n五，对Inln(ln y)(ln1xx1两边求导有:1 1 , (ln(-)x)x1,1.-x( F11，(Tn )x x1 . 1-ln x x',1.1 y ( -ln -所以p (x)4)y xx1),1.11、(21n 2)x x x11111(-ln2)(一)1111y (21n 2)()x x

8、x xx11 一 (-)xxx x12 (1 ln x) x即 p (x)1 1 1(-)x -x x(1ln x)由此可以看出，当x e时，p (x) 0,函数 p(x) 11-产单调递减，而2 x e时 x x(分组时每组至少要有1 、2人，故有x 2),p(x) 0,函数p(x) 1 -尸单调递增，在x e X x时(自然对数e约等于2.71828), p'(x) 0 ,函数p(x) 1 ； 取得最大值，此时最大 x x一11 1值p(e) 1 -= 1 (-)e 0.3078,做出函数p(x)的图像，见下图: e e ep(x)与x的变化关系曲线由于实际检验分组时每组的人数k只

9、能取整数，不可能取自然对数 e (自然对数e约等于2.71828),故算出接近最大值p(e)的两个实际值:p(2) 0.292893 p(3) 0.3066391.0.306639,即只有当p 0.306639时，通过调整k所以，p(k) 13的最大值为 k k可以满足分组检验的约束条件 p 11工尸，而当p 0.306639时，无论怎么调整k都不能 k.k满足分组检验的约束条件p 1 所以，当p 0.306639时，就不需要分组。 k-k问题一：当p固定时，k多大可使检验次数最小情况一:当p固定时(0.1%,，1%,),并且当p 0.306639时,此时不需要分组，即k=1时可使检验次数最小

10、。情况二:当p固定时(0.1%, /%,)，并且当p 0.306639时,此时需要分组，要使人群总的检验次数最小，只要使每个人检验次数的期望值：E 1 qk (1 1) (1 qk) 1 qk 1最小即可，因为k只能取整数，所以E是一个离 kkk散型变量，为了更形象地讨论问题，故引入与E 1 qk 1变化趋势相同的连续性函k数连续性函数f(x) 1 qx 1 ,xv1v1f(x) 1 qx-1 (1 p)x-,(2x n,0 p 1)注：分组时每组人数至少为2人，故x 2xxx 1对函数 f(x) 1 (1 p) -,(2 x n,0 p 1),求导可得：x_ 'x 1 ,x1f (x

11、) (1 (1 p) )(1 p) ln(1 p) 2xx因为此时p是给定的固定值，故ln(1 p) 0且ln(1 p)为定值，1 p<0 ,由上式分析知，当x增大时，(1 p)x减小，(1 p)xln(1 p)增大， 。也增大， x1 .即f (x) (1 p) ln(1 p)二为增函数，即f(x)的极值就是f(x)的取小值 x11 一一所以f (x) (1 p)xln(1 p) 0的实数解x,说是函数f(x) 1 (1 p)x 取的xx最小值时对应的x值，由数值解法(利用计算机编程迭代，让x从小到大依次代入等式, 当误差在允许的范围内所取得的x值)可解出每一个给定的p所对应的.1f

12、(x) (1 p)xln(1 p) 0时的实数解x ,由于实际检验中每组的人数k只能为整数， x所以要对计算出来的x取整(去掉后面的小数部分)，取整后记作x,再比较一下f(x) 和 f(x 1),若 f(x) <f(x 1),贝Uk=x,若 f(x)>f(x 1),贝U k=x+1,此时的k值即为每一个给定的p所对应的可使总检验总次数最少的每组人数。下面给出数值解 法解出的对于不同的先验概率，相对应的最小检验次数的每组人数：pkpk0.001320.02080.002230.03060.003190.04060.004160.05050.005150.06050.006130.07

13、040.007120.08040.008120.09040.009110.10040.010100.1104问题三：当p固定时如何进行二次分组二次分组是在检验为阳性的组中继续分组，按照假设的变量及另设 表示两次分组 时每人平均检验的次数，设每人检验一次呈阳性的概率为q(q 1 p),若第一次分组时, 一组的k个人均为阴性的概率为qk,此时每人平均检验了!次；若为阳性，此时的概率 为1 qk ,再次分组；第二次分组时，一组全为阴性的概率为 (1 qk)qk1 ,此时每个人的11平均检验次数为1 若为阳性，此时的概率为(1 qk)(1 qk1),每个人的平均检验k k1次数为1 工1,由上所述，可

14、得 的分布概率为： k k11 k1 _1k k1111 kk1kq(1 qk)qk1(1 qk)(1 qk1)由此可得:(11k1经过化简得:E qk1 (1 qk)(1 7 ；qk1)kk k1由实际情况知，此时的k1k0为使两次分组的情况优于一次分组的情况，只E 。经过计算，可得pk1k1 0此时发现两次分组的约束条件只是取值范围的不同，下面进行进一步的讨论:情况一：由于kl k时，第二次分组的约束条件在第一次分组的约束条件满足时是能够满足k（K 4）,（即使当第一次分组时取使 E最小的k值，取k k 4,而此条件潴足二2次分组的约束条件），故在大多数情况下能够进行一次分组时进行二次分组

15、，一定能使 检验总次数减少。见下图：假设给定阳性先检验概率为p 0.1,油图可以看出在k 30时，满足一次分组的约 束条件，任意取小于30的值均可减少平均检验次数（相对于不分组情况），只要令ki 15或更小的值，但满足条件ki 4,由于此时亦满足两次分组的约束条件，故分量足可以 比分一组的平均每人检验次数少。情况二：1在一次分组时，取k 2,k 4时可知，代入到1 二里发现上述两值相等，故在分 k k析情况一时没有考虑k 4的情况，实际上，当k 4时取k1 2 ,取先验概率p 0.2929 分别代入到分一次组和分两次组的平均每人检验次数的期望中可得E k 4 1, E k1 2 1。由此可见，

16、只要所给的p值小于0.2929,分两次组就比分一次组要好。在此种情况下，还可以计算分两次组时平均每人检验次数的最小值，方法同分一 次组时的情况一样，只要进行求导即可。所以不应再分组的先验概率的取值范围是0.2929 p 0,3066。在k 3时，经实验发现在p值大于0.28195时，有二次分组的平均化验次数大于次分组的情况发生，所以当k 3,且有0.28195 p 0.306时，不宜在分组；当k 2,k 4,且有0.2929 p 0.3066时，不宜在分组。问题四：讨论其他分组方式，如二分法、三分法等模型假设：发生概率：P,i 1,2,., x检验次数：R,i 1,2,., x患病人数(即血样

17、检验为阳性的人)：z np组的基数：每组需要检验的人数 x平均检验次数：NPi Rii 1阳性血样的分组模型：可分为x组，每组k人：ri,ri,.,rx分组要满足的条件：r1 r2 r3 . rx 12% . rx z当z k时，通过这样的分组模型可以使检验次数达到最优；当z k(k n/x)时，一组人不能包括所有得病人数，第一次检验的基数较大;当z k时，检验多一组时组的基数会很大，而且每一组的概率相差无几p 0.306639结果分析由模型求解知，在满足模型假设的前提下，当所给定的阳性先验概率时，不分组每个人都检验一次可以使总检验次数最少；当所给定的阳性先验概率0 p 0.3066时，可使总

18、检验次数比不分组时总检验次数少，需要分组检验。当p固定时(0.1%,，1%,)，为了使人群总的检验次数最小，就需要确定每组的人数ko根据固定值p的大小分类讨论：当p 0.306639时，此时不需要分组，即k=1时可使检验次数最小；当p 0.306639时，此时需要分组，要使人群总的检验次数最小，只要使每个人检1验次数的期望值E最小，通过引入与E 1 qk -变化趋势相同的连续性函数连续性 kx 1x 1函数f(x) 1 q - 1 (1 p) - ,(2 x n,0 p 1),对于每一个给止的 p,可以 xx求出函数f(x)的极值，又由分析知f(x)是增函数，所以求出的f(x)的极值就是f(x

19、)的最小值。利用数值解法可以解出每一个固定 p对应的f(x)的极值，也就是f(x)的最小 值对应的x ,由于实际检验中每组的人数k只能为整数，所以要对计算出来的x取整(去 掉后面的小数不分)，取整后记作x,再比较一下f(x)和f(x 1),若f(x)<f(x 1),贝k=x,若f(x) >f(x 1),则卜=区+1,以此类推，可以确定每 一个给定的p,要使人群总的检验次数最小所对应的每组的人数ko在p 0.306639中，当0.2929 p 0.3066时进行一次分组检验比进行二次分组检验和不分组检验均可使检验次数最少；当 p 0.2929时，分两组比分一组的总检验次数要 少。建立

20、模型的过程中先验概率和合理假设具有非常重要的影响，比如，如果先验概率是一个特定群体的概率，而在建立模型的时候把这个特定群体的概率用到大众群体上 来，就必然会导致模型预测的重大偏差。又如，如果在建立模型的时候假设不合理，把 相互有影响的事件假设成独立事件，忽略了事物的内在影响，也会导致模型预测的失效， 一个合理的模型，一定要建立在合理的假设前提下。参考文献1李尚志.数学建模竞赛教程.南京：江苏教育出版社，1996.2赵静，数学建模与数学实验(第三版).北京：高等教育出版社，2008.问题二运动员营养配餐问题摘 要：本文以运动员的营养配餐为原型，通过建立数学模型，利用运筹与优化和 MATLAB 知

21、识对如何在具体问题中通过模型的建立与求解，方便快捷地寻找出最优的解决方案。为快速准确的解决实际问题提供理论依据。关键词：营养配餐，食品，营养成分，数学模型具体问题食品含有特定种类和比例的营养成分，从医学上知道每人每天对每种营养成分的最 低需求量。某足球俱乐部的食堂总管想拟定一个科学的食品采购计划，使得即完全保证 球员的营养需要，又费用最低。假设：1）在指定的季节或时期，可能购得的食品总数为n；2）球员所需的营养成分种类总数为 m；3）第j种食品的第i种营养成分含量为aij（克/公斤）（i=1,2,m;j=1,2,n）；4）每个球员每天对第i种营养成分的最低需求量为bi（克）（i=1,2,m）；

22、5）第j种食品的单价为cj（元）（j=1,2,n）;6）每天平均为每人购买第j种食品的单价为xj（公斤）（j=1,2，,n）;试建立数学模型并自己寻找或拟定数据并求解。问题分析由于知道每人每天对每种营养成分的最低需求量为bi（i表示第i种营养成分）,只要所有的食品的第i种营养成分大于最低需求量bi,即可满足营养需要的需 求。又知每种食品的价格c（j表示第j种食品），和每天平均为每人购买第j种食品的 数量Xj（公斤），只要总费用CjXj最小，即可满足费用最低的需求。建立模型1 .食品总数：n2 .营养成分总数：mm3 .营养需要需求：n4,费用最低需求：min cjxjj 1最终数学模型如下：nminc j x jj im ns .t.a j bi 1 j 1数据拟定在指定的季节或时期，可能购得的食品总数为4,球员所需的营养成分种类总数4 每个球员每天对这4种营养成分的最低需求量如下表所示：营养成分甲营养成分乙营养成分丙营养成分丁最少含量641410已知每单位的各种食品所含的营养成分的量见下表:营养成分食品A食品B食品C食品D营养成分甲1112营