遥感图像傅里叶变换

1、第第5 5章章傅立叶变换傅立叶变换Fourier Analysis10.10.傅立叶变换（傅立叶变换（Fourier Analysis） Image radiometric enhancement Spatial enhancement Spectral enhancement Hyperspectral image processing Fourier analysis Radar imagery enhancement5.1 5.1 傅立叶变换的定义及傅立叶变换的定义及基本概念基本概念第一节：第一节：5.1 5.1 傅立叶变换的定义及基本概念傅立叶变换的定义及基本概念 令令 为实变为实变x

2、 x的连续函数，如果的连续函数，如果满足下面的狄里赫莱条件：满足下面的狄里赫莱条件：（1 1）有有限个间断点）有有限个间断点（2 2）有有限个极值点）有有限个极值点（3 3）绝对可积）绝对可积 )(xf)(xf则有以下二式成立：则有以下二式成立： duuxiuFxfdxuxixfuF)2exp()()()2exp()()(上式中上式中x x为时域变量（空间域），为时域变量（空间域），u u为频率变量，为频率变量，i i为虚数单位，为虚数单位，通常称上式为傅立叶变换对。通常称上式为傅立叶变换对。 1i5.1 5.1 傅立叶变换的定义及基本概念傅立叶变换的定义及基本概念因因x x为时域变量（空间域

3、）故第一式：为时域变量（空间域）故第一式：dxuxixfuF)2exp()()(为逆变换，而且它们可以互为逆变为逆变换，而且它们可以互为逆变换：换：duuxiuFxf)2exp()()(是影像函数的傅立叶变换。第二式：是影像函数的傅立叶变换。第二式： )()(uFxf5.1 5.1 傅立叶变换的定义及基本概念傅立叶变换的定义及基本概念)()()(uiIuRuF通常数字影像通常数字影像 是一个实函数，故是一个实函数，故只考虑实函数的情况，然而，函数只考虑实函数的情况，然而，函数 的傅立叶变换通常是一个复数，它可的傅立叶变换通常是一个复数，它可表示为：表示为： )(xf)(xf式中式中R R（u)

4、u)和和I(u)I(u)分别是分别是F F（u)u)的实部的实部和虚部。和虚部。5.1 5.1 傅立叶变换的定义及基本概念傅立叶变换的定义及基本概念上式也可以表示为指数形式：上式也可以表示为指数形式：)(exp)()()()(uuFuiIuRuF式中：式中：)()()(22uIuRuF)(/ )()(uRuIarctgu 5.1 5.1 傅立叶变换的定义及基本概念傅立叶变换的定义及基本概念)(exp)()(uuFuF)()()(22uIuRuF)(/ )()(uRuIarctgu 幅函数幅函数 被称为被称为 的的傅立叶谱傅立叶谱，而而 为为相角相角。傅立叶谱的平方：。傅立叶谱的平方： )(uF

5、)(xf)(u)()()()(222uIuRuFuE一般称为一般称为 的的能量谱（功率谱）能量谱（功率谱）)(xf5.1 5.1 傅立叶变换的定义及基本概念傅立叶变换的定义及基本概念推广到二维函数：推广到二维函数：dvduvyuxivuFyxfdydxvyuxiyxfvuF 2exp),(),(2exp),(),(式中，式中，u,vu,v是频率变量是频率变量5.1 5.1 傅立叶变换的定义及基本概念傅立叶变换的定义及基本概念),(/ ),(),(vuRvuIarctgvu),(),(),(),(222vuIvuRvuFvuE),(),(),(22vuIvuRvuF傅立叶变换的傅立叶变换的实部实

6、部与与虚部虚部傅立叶谱傅立叶谱相位谱：相位谱：能量谱（功率谱）：能量谱（功率谱）：5.1 5.1 傅立叶变换的定义及基本概念傅立叶变换的定义及基本概念第二节：第二节：5.5. 离散的傅立叶变换离散的傅立叶变换5.5. 离散的傅立叶变换离散的傅立叶变换遥感图象是由灰度组成遥感图象是由灰度组成的二维离散数据矩阵，则对的二维离散数据矩阵，则对它进行傅立叶变换是它进行傅立叶变换是离散的离散的傅立叶变换。傅立叶变换。5.5. 离散的傅立叶变换离散的傅立叶变换离散傅立叶变换离散傅立叶变换如果如果f(x)f(x)为一离散数字序列为一离散数字序列（x=0,1,x=0,1, ,N-1), ,N-1),则其离散傅

7、立叶变则其离散傅立叶变换定义可表示为：换定义可表示为：102exp)(1)(NxNuxixfNuF5.5. 离散的傅立叶变换离散的傅立叶变换上式中，上式中，u=0,1, u=0,1, , N-1 , N-1。傅立叶反。傅立叶反变换为：变换为：102exp)(1)(NuNuxiuFNxf式中，式中，x=0,1, x=0,1, , N-1 , N-1。5.5. 离散的傅立叶变换离散的傅立叶变换二维离散傅立叶变换二维离散傅立叶变换10102exp),(1),(MxNyNvyMuxiyxfMNvuF对二维离散数据（对二维离散数据（x=0,1,x=0,1, , ,-1-1； y=0,1,y=0,1, ,

8、N-1 ,N-1。则其离散傅。则其离散傅立叶变换定义可表示为：立叶变换定义可表示为：),(yxf式中，式中，u=0,1,u=0,1, M-1;v= 0,1, M-1;v= 0,1, N-1, N-15.5. 离散的傅立叶变换离散的傅立叶变换10102exp),(1),(MuNvNvyMuxivuFMNyxf逆变换：逆变换：式中，式中，x=0,1,x=0,1, M-1;y= 0,1, M-1;y= 0,1, N-1, N-1在图象处理中，一般总是选择方形数据，即在图象处理中，一般总是选择方形数据，即（u,v=0,1,u,v=0,1, N-1), N-1)1010)(2exp),(1),(NxNy

9、NvyuxiyxfNNvuF正变换：正变换：1010)(2exp),(1),(NuNvNvyuxivuFNNyxf（x,y=0,1,x,y=0,1, N-1, N-1）反变换：反变换：影像影像f(x,y)f(x,y)的振幅谱或傅立叶频谱：的振幅谱或傅立叶频谱：相位谱：相位谱：),(),(),(22vuIvuRvuF),(/ ),(),(vuRvuIarctgvu),(),(),(),(222vuIvuRvuFvuE能量谱（功率谱）：能量谱（功率谱）：第三节：第三节：5.5. 二维离散傅立叶二维离散傅立叶变换的性质变换的性质5.5. 二维离散傅立叶变换的性质二维离散傅立叶变换的性质一、变换域的周

10、期性一、变换域的周期性证明：证明：),(),(vuFnNvmNuF傅立叶变换与逆变换均以为周期。傅立叶变换与逆变换均以为周期。设设m, nm, n为整数，为整数，m, n=0, m, n=0, 1, 1, 2 2 , , 将将u+mN u+mN 和和v+nNv+nN，则：，则：因为为单位值。因为为单位值。1010),(1),(NxNyyxfNNnNvmNuF)()(2expNynNvxmNui1010),(1NxNyyxfNN)(2expNvyuxi)(2expnymxi)(2expnymxi5.5. 二维离散傅立叶变换的性质二维离散傅立叶变换的性质),(),(vuFnNvmNuF所以：所以：

11、二、对称共轭性二、对称共轭性),(),(vuFnNvmNuF式中式中m, nm, n同上。同上。三、可分离性三、可分离性5.5. 二维离散傅立叶变换的性质二维离散傅立叶变换的性质1010)(2exp),(1),(NxNyNvyuxiyxfNNvuF10)(2exp),(1NxNuxiyxfN10)(2exp),(1NyNvyiyxfN5.5. 二维离散傅立叶变换的性质二维离散傅立叶变换的性质1010)(2exp),(1),(NuNvNvyuxivuFNNyxf10)(2exp),(1NuNuxivuFN10)(2exp),(1NvNvyivuFN5.5. 二维离散傅立叶变换的性质二维离散傅立叶

12、变换的性质可分离性的优点是二维的傅可分离性的优点是二维的傅立叶变换或逆变换由两个连续的立叶变换或逆变换由两个连续的一维傅立叶变换变换来实现，对一维傅立叶变换变换来实现，对于一个影像于一个影像f(x,y)f(x,y)，可以先沿着，可以先沿着其每一列求一维傅立叶变换，再其每一列求一维傅立叶变换，再对其每一行再求一维变换。对其每一行再求一维变换。四、分配性和比例性四、分配性和比例性5.5. 二维离散傅立叶变换的性质二维离散傅立叶变换的性质设设f(x,y)f(x,y)可以用离散函数可以用离散函数f f1 1(x,y) (x,y) 和和f f2 2(x,y)(x,y)线性表示，即线性表示，即),(),(

13、),(21yxbfyxafyxf则依据傅立叶变换对的定义则依据傅立叶变换对的定义可得出：可得出：5.5. 二维离散傅立叶变换的性质二维离散傅立叶变换的性质式中，式中，a,ba,b为常数。为常数。),(),(),(21vubFvuaFvuF),(),(),(21yxfyxfyxf的傅立叶变的傅立叶变换换的傅立叶变的傅立叶变换换的傅立叶变的傅立叶变换换5.5. 二维离散傅立叶变换的性质二维离散傅立叶变换的性质)/,/(1),(bvauFabbvauF同样可证明傅立叶变换的比例性：同样可证明傅立叶变换的比例性：第四节：第四节：5.4 5.4 快速傅立叶变换快速傅立叶变换5.4 5.4 快速傅立叶变换

14、快速傅立叶变换由于二维的傅立叶变换具有可由于二维的傅立叶变换具有可分离性，故只讨论一维快速傅立叶分离性，故只讨论一维快速傅立叶变换。变换。102exp)(1)(NxNuxixfNuF102exp)(1)(NuNuxiuFNxf5.4 5.4 快速傅立叶变换快速傅立叶变换由于计算机进行运算的时间主由于计算机进行运算的时间主要取决于所用的乘法的次数。要取决于所用的乘法的次数。按照上式进行一维离散由空间按照上式进行一维离散由空间域向频率域傅立叶变换时，对于域向频率域傅立叶变换时，对于N个个F（u)值，中的每一个都要进行值，中的每一个都要进行N次如下运算次如下运算Nuxixf2exp)(运算时间与运算

15、时间与N N2 2成正比。成正比。5.4 5.4 快速傅立叶变换快速傅立叶变换1965年库里年库里-图基（图基（ Cooly-Tudey)提出将运算操作降到提出将运算操作降到Nlog2N数量级的算法，即数量级的算法，即N可以分解为一可以分解为一些较小整数的乘积，当些较小整数的乘积，当N为为2的幂的幂（即（即N=2P，其中，其中P是整数时），效是整数时），效率最高，实现起来也最简单。这就率最高，实现起来也最简单。这就是是快速傅立叶变换。快速傅立叶变换。第五节：第五节：5.5 5.5 频率域增强频率域增强傅立叶变傅立叶变换换),(yxf),(vuF),(vuG),(yxg傅立叶逆变换傅立叶逆变换滤

16、波滤波),(vuH5.5 5.5 频率域增强频率域增强一、频率域平滑一、频率域平滑1.理想低通滤波器理想低通滤波器2/122)(),(vuvuD),(vuH0),(, 1DvuD0),(, 000DDvuD传递函数传递函数5.5 5.5 频率域增强频率域增强理想低通滤波理想低通滤波器器0),(vuH),(vuDD015.5 5.5 频率域增强频率域增强D0的大小根据需要可具体确定。的大小根据需要可具体确定。理论上，理论上， 的的低频分量低频分量全部无全部无损通过，损通过，DD0 高频分量高频分量则全部除则全部除去，然后经傅立叶逆变换得到平滑去，然后经傅立叶逆变换得到平滑图像。图像。由于高频部分

17、包含大量边缘信由于高频部分包含大量边缘信息，因此，滤波处理后导致边缘损息，因此，滤波处理后导致边缘损失，使失，使图像边缘模糊图像边缘模糊。0DD 原始图象（原始图象（TM1TM1） 傅立叶变换后的图像傅立叶变换后的图像 低通滤（低通滤（Idea)Idea)原始图象（原始图象（TM1TM1） 低通滤图象（低通滤图象（Idea)Idea)5.5 5.5 频率域增强频率域增强2. Butterworth 低通滤波器低通滤波器2/122)(),(vuvuD传递函数传递函数nDvuDvuH20),11),(（n=1,2,.5.5 5.5 频率域增强频率域增强),(vuHButterworth 低通滤波器

18、低通滤波器00/ ),(DvuD1.00.51 2 3Hutterworth低通滤波器的特点低通滤波器的特点是是连续衰减连续衰减，不象理想低通滤波器，不象理想低通滤波器那样陡峭和具有明显的不连续性，那样陡峭和具有明显的不连续性，因此用此滤波器处理后的图像中因此用此滤波器处理后的图像中边边缘的模糊程度大大降低缘的模糊程度大大降低。5.5 5.5 频率域增强频率域增强5.5 5.5 频率域增强频率域增强3. 指数低通滤波器指数低通滤波器2/122)(),(vuvuD传递函数传递函数nDvuDevuH0),11),(（n=1,2,.5.5 5.5 频率域增强频率域增强指数低通滤波器指数低通滤波器00

19、/ ),(DvuD1.00.51 2 3),(vuH指数低通滤波器的在抑制噪声指数低通滤波器的在抑制噪声的同时，图像边缘的模糊程度比的同时，图像边缘的模糊程度比Butterworth滤波器大。滤波器大。5.5 5.5 频率域增强频率域增强5.5 5.5 频率域增强频率域增强4. 梯形低通滤波器梯形低通滤波器2/122)(),(vuvuD传递函数传递函数),(vuH0),(, 1DvuD1),(, 0DvuD10101),(,),(DvuDDDDDvuD01DD 5.5 5.5 频率域增强频率域增强梯形低通滤波器梯形低通滤波器0),(vuH),(vuDD01D1梯形低通滤波器滤波效果介于梯形低通

20、滤波器滤波效果介于理想低通滤波器与指数低通滤波器理想低通滤波器与指数低通滤波器的之间，处理后的图像有一定的模的之间，处理后的图像有一定的模糊。糊。5.5 5.5 频率域增强频率域增强5.5 5.5 频率域增强频率域增强二、频率域锐化二、频率域锐化1.理想高通滤波器理想高通滤波器2/122)(),(vuvuD),(vuH0),(, 0DvuD0),(, 100DDvuD传递函数传递函数5.5 5.5 频率域增强频率域增强理想高通滤波理想高通滤波器器0),(vuH),(vuDD015.5 5.5 频率域增强频率域增强与理想低通滤波相反，理论上，与理想低通滤波相反，理论上， 值值 低频分量全部除去；

21、低频分量全部除去；DD0 高频分量则全部通过，然后高频分量则全部通过，然后经傅立叶逆变换得到平滑图像。经傅立叶逆变换得到平滑图像。0DD 原始图象（原始图象（TM1TM1） 傅立叶变换后的图像傅立叶变换后的图像 高通滤波（高通滤波（Idea)Idea)原始图象（原始图象（TM1TM1） 高通滤结果图象（高通滤结果图象（Idea)Idea)傅立叶变换图像（傅立叶变换图像（TM1TM1）高通滤波（）高通滤波（Idea) Idea) 低通滤波（低通滤波（Idea)Idea)傅立叶变换图像（傅立叶变换图像（TM1TM1） 低通滤波（低通滤波（Idea) Idea) 高通滤波（高通滤波（Idea)Idea)5.5 5.5 频率域增强频率域增强2. Butterworth 高通滤波器高通滤波器2/122)(),(vuvuD传递函数传递函数nvuDDvuH2),11),(0（n=1,2,.5.5 5.5 频率域增强频率域增强),(vuHButterworth 高通滤波器高通滤波器00/ ),(DvuD1.00.51 2 35.5 5.5 频率域增强频率域增强3. 指数高通滤波器指数高通滤波器2/122)(),(vuvuD传递函数传递函数nvuDDevuH),011),(（n=1,2,.