空间直角坐标系和空间向量典型例题

1、空间直角坐标系与空间向量一、建立空间直角坐标系的几种方法构建原则：遵循对称性，尽可能多的让点落在坐标轴上。作法：充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系类型举例如下：（一）用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系例 1 已知直四棱柱1111中，1 2，底面是直角梯形，A为直角，ABCD AB CDAAABCDAB CD， AB 4， AD 2， DC 1，求异面直线BC1 与 DC所成角的余弦值解析：如图1，以 D 为坐标原点，分别以DA、 DC、 DD所在直线为x、 y、 z 轴建立空1间直角坐标系，则1（， 1， 2）、 （ 2， 4，），CBuuuur， ， ，uuur

2、BC1(CD (0， 10)，23 2)uuuuruuur设 BC 与 CD 所成的角为，1uuuuruuur317则 cosBC1 gCDuuuuruuurBC1CD17（二）利用线面垂直关系构建直角坐标系例 2如图 2，在三棱柱ABC A1 B1C1 中， AB侧面 BB1C1C， E 为棱 CC1 上异于C、 C1 的一点，1已知AB2，1 2， 1，1求二面角1 1的EAEBBBBCBCCAEB A3平面角的正切值解析：如图2，以B为原点，分别以1、BA所在直线为y轴、z轴，过B点垂直BB于平面 AB1 的直线为x 轴建立空间直角坐标系由于 BC 1， BB1 2， AB2 ， BCC

3、1，3在三棱柱 ABC A1B1C1 中，有 B（，）、A（，2 ）、 B1（， 2，）、3，1 ， 、c022333， ，13， ，设且，C10E2a 02a222uuur uuur由 EA EB1，得 EAgEB1 0 ，即3 ， a， 2 g3 ，2a，0223a( a 2) a22a30 ，a1 g a30 ，4422即1331a或a（舍去）故E02，222uuuruuuruuuuruuur，故二面角A EB A 的平面角uuuuruuur由已知有 EAEB1 ， B1 A1EB1的大小为向量 B1 A1与 EA 的夹角11uuuur因 B1A1故 cosuuuruuur3 ，1 ，B

4、A，2)，EA2(0 022uuur uuuur2g2EA B1A1，即 tanuuuruuuur32EA B1 A1（三）利用面面垂直关系构建直角坐标系例 3 如图 3，在四棱锥 V ABCD中，底面 ABCD是正方形， 侧面 VAD是正三角形，平面 VAD底面 ABCD（ 1）证明 AB平面 VAD；（ 2）求面 VAD与面 VDB所成的二面角的余弦值解析：（ 1）取的中点O为原点，建立如图3 所示的空间直角坐标系AD设 AD 2，则 A（ 1，）、 D（ 1，）、 B（ 1， 2，）、 V（，3 ），uuuruur3 ） AB （，2，），VA （ 1，uuur uur由 ABgVA (

5、0，2，0)g(10， 3) 0 ，得AB VA又 AB AD，从而 AB与平面 VAD内两条相交直线VA、 AD都垂直， AB平面 VAD；（ 2）设E为的中点，则E1，3DV202uuur3，3，uuur3，3 ，uuur(10，3)EA202EB222DVuuur uuur33g，g，EB DV222(103)0 EB DV又 EA DV，因此 AEB是所求二面角的平面角uuur uuuruuuruuurg21EA EB cos EA，EBuuuruuurEA EB7故所求二面角的余弦值为21 7（四）利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系例 4已知正四棱锥V ABCD中， E为 V

6、C中点，正四棱锥底面边长为2a，高为 h（ 1）求 DEB的余弦值；（ 2）若 BE VC，求 DEB的余弦值解析：（ 1）如图4，以 V 在平面 AC的射影 O为坐标原点建立空间直角坐标系，其中Ox BC，Oy AB，则由 AB 2a， OV h，有 B（ a， a，）、 C（ - a，a，）、 D（ - a， - a，）、 V（ 0，0，h）、aa hE， ，22 2 uuur3ah，uuura3hBE，DE， ，a2a22222uuur uuuruuuruuur22BE gDE6ah，cos BE DEuuuruuur10a2h2，BEDE即 cos DEB6a2h2；10a2h2（ 2

7、）因为E是 VC的中点，又BE VC，uuur uuur3aha， a， h) 0所以 BEgVC0 ，即a， g(，222 3 a2a2h20 ， h2a 222uuur uuur226ah1 ，即cos DEB1这时，cos BE DE10a2h233引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一下面以高考考题为例，剖析建立空间直角坐标系的三条途径（五）利用图形中的对称关系建立坐标系图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可

8、建立空间直角坐标系例 5 已知两个正四棱锥 P ABCD与 Q ABCD的高都为 2， AB 4（ 1）证明： PQ平面 ABCD；（ 2）求异面直线 AQ与 PB所成的角；（ 3）求点 P到面 QAD的距离简解：（ 1）略；（ 2）由题设知， ABCD是正方形，且 AC BD由（ 1）， PQ平面 ABCD，故可分别以直线 CA， DB， QP 为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系（如图1），易得uuuruuuruuur uuuruuur uuurg1，AQ2)，AQ PB(2202) PB(0 22cosuuur uuurAQ PB3AQ PB所求异面直线所成的角是arccos 1 3

9、（ 3）由（ 2）知，点 D (0， 2uuur(2 2，2uuur(0，0， 4) 设 n=（ x，y，z）是平面 QAD的一个法向2，0)，AD2，0)，PQuuuruuurPQ量，则g，2 xz， 1，得点到平面的距离gnn AQ0得0 取xn = (1， 1，2)Pd2 2uuurxy0，QADngAD，n0点评：利用图形所具备的对称性，建立空间直角坐标系后，相关点与向量的坐标应容易得出第（3）问也可用“等体积法”求距离二、向量法解立体几何（一）知识点向量的数量积和坐标运算a, b 是两个非零向量，它们的夹角为，则数 | a | | b | cos叫做 a 与 b 的数量积（或内积），

10、记作a b ，即 a b| a | | b | cos . 其几何意义是a 的长度与 b 在 a 的方向上的投影的乘积.其坐标运算是：若 a (x1 , y1 , z1 ), b (x2 , y2 , z2 ) ，则 a b x1 x2y1 y2z1 z2 ； | a |x12y12z12 ,| b |x2 2y22z22； a b x1 x2y1 y2z1 z2 cosa,bx1 x2y1 y2z1 z2222222x1y1 z1x2y2z2（二）例题讲解题型：求角度相关1. 异面直线 m, n 所成的角分别在直线 m, n 上取定向量a,b, 则异面直线m, n 所成的角等于向量 a, b

11、 所成的角或其补角（如图1 所示），则 cos| ab | .| a | b |2.直线 L 与平面所成的角在 L 上取定 AB ，求平面| ABn |的法向量 n（如图 2 所示） ，再求 cos，|AB| n |则为所求的角 .23 二面角方法一：构造二面角l的两个半平面、 的法向量 n1 、n2 （都取向上的方向，如图3 所示），则A nC anmD图 1bBLB nA图n1n2l图3甲若二面角l是“钝角型” 的如图3 甲所示，那么其大小等于两法向量n1 、n2的夹角的补角，即n1n2.n2n1cos| n1 | n2|l3 乙所示，那么其大小等于两法向量n1 、n2 的l若二面角是“锐

12、角型” 的如图图夹角，即 cosn1n2. .n2| n1 | n2 |B方法二：在二面角的棱l 上确定两个点A、B ，过 A、B 分别在平面、 内求lAn1图 4出与 l 垂直的向量 n、n （如图4 所示），则二面角l的大小等于向量 n、n1212的夹角，即 cosn1n2.| n1 | n2|题型：求距离相关1. 异面直线 m、n 的距离分别在直线 m、n 上取定向量 a,b, 求与向量 a、 b 都垂直的向量n ，分别在A nC am、n 上各取一个定点A、B ，则异面直线m、n 的距离 d 等于 AB 在 n 上的mn射影长，即 d| AB n |D图1bB.| n |证明：设 CD

13、 为公垂线段，取CA a DB b,CDCAABBDCD n(CAAB BD ) n| CDn | | AB n |d | CD | AB n | n |设直线 m, n 所成的角为，显然 cos| a b | .| a | | b |pnA2.平面外一点p 到平面的距离求平面的法向量 n ，在面内任取一定点A ，点 p 到平面的距离 d 等于 AP 在 n 上的射影长，即| AP n |d.| n |图5三、法向量例题解析题型：求空间角1、运用法向量求直线和平面所成角r设平面的法向量为n =（ x, y, 1)，则直线 AB 和平面所成的角的正弦值为sin = cos(- )2uuurruu

14、urrAB ? n= |cos< AB ,n >| =uuurrAB ? n2、运用法向量求二面角ur uururuurur uur设二面角的两个面的法向量为 n1 , n2，则 < n1 , n2>或 -< n1 , n2 >是所求角。 这时要借助图形来判断所求角为ur uururuur锐角还是钝角，来决定< n1 , n2 >是所求，还是 -< n1, n2>是所求角。题型：求空间距离1、求两条异面直线间的距离r设异面直线 a、 b 的公共法向量为n (x, y, z) ，在 a、 b 上任取一点A、 B，则uuurr| AB ?

15、 n |异面直线 a、 b 的距离： d =AB· cos BAA =r| n |略证：如图，EF 为 a、 b 的公垂线段，a为过 F 与 a 平行的直线，在 a、 b 上任取一点A、 B，过 A 作 AA / EF，交 a 于 A ，uuuurr则 AA?/ n ，uuurr所以 BAA =< BA, n >（或其补角）uuurr| AB ? n |异面直线 a、 b 的距离 d =AB · cos BAA =r*| n |ra、 b 上的任一向量r ruuur uuurr其中， n的坐标可利用a, b （或图中的AE, BF ），及 n 的定义得rrr r0nan ? arrr r0nbn ? br解方程组可得n 。2、求点到面的距离求 A 点到平面的距离，设平面的法向量法为rn( x, y,1) ，在内任取一点B，则 A 点到平面的距离：uuurrd = | ABr? n | ，| n |rr, 若方程组无解， 则n 的坐标由 n 与平面内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组 （类似于前面所述r法向量与 XOY平面平行，此时可改设n (1, y,0) ，下同）。3、求直线到与直线平行的平面的距离求直线 a 到平面的距离，设平面的法向量法为一点 B