立体几何中的向量方法及二面角的平面角求法总结

1、3-4 课时讲义：立体几何中的向量方法及二面角的平面角求法总结一、几种角的范围1、二面角平面角的范围：2、线面角的范围：3、直线倾斜角范围：4、异面直线夹角范围：5、向量夹角范围：二、立体几何中的向量方法1三个重要向量(1)直线的方向向量：直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合 )的向量，一条直线的方向向量有 _个(2)平面的法向量：直线 l平面 ，取直线 l 的方向向量，则这个向量叫做平面的法向量显然一个平面的法向量有 _个，它们是共线向量(3)直线的正法向量：直线L:Ax+By+C=0 的正法向量为 n=(A,B).2直线的方向向量与平面的法向量在确定直线和平面位置关系中的应用(1)直线

2、 l1 的方向向量为 u1 (a1，b1， c1)，直线 l 2 的方向向量为u2(a2，b2，c2)如果 l 1l 2，那么 u1u2?如果 l 1l 2，那么 u1u2?u1u2?；u1·u2 0?.(2)直线 l 的方向向量为u (a1， b1，c1)，平面 的法向量为 n (a2，b2，c2)若 l，则 un? u·n0?.若 l，则 un? ukn?.(3)平面 的法向量为 u1(a1，b1，c1，平面 的法向量为u2(a2，b2， c2)若 ，u1u2 ? u1ku2? (a1，b1， c1)_；若 ，则 u1u2? u1·2 0?.u3利用空间向量求

3、空间角(1) 求两 条异面直 线所 成的角： 设a ， b 分别 是两 异面直线l1 ， l2 的方向 向量 ，则1(2)求直线与平面所成的角：设直线l 的方向向量为 a，平面 的法向量为 n，直线 l 与平面 |a·b|所成的角为 ，则 sin |cosa，n| |a|b|.(3)求二面角的大小：()若 AB，CD 分别是二面角 l 的两个半平面内与棱l 垂直的异面直线， 则二面角的大小就是向量 AB，CD 的夹角 (如图所示 )()设 n1，n2 分别是二面角 l 的两个半平面 ，的法向量，则向量 n1 与 n2 的夹角 (或其补角 )的大小就是二面角的大小 (如图 ) 4求点面

4、距：平面a 外一点 P 到平面 a 的距离为：d=其中 n 为平面 a 的法向量， PQ为平面 a 的斜线， Q为斜足。5.平面法向量的求法设出平面的一个法向量n(x， y，z)，利用其与该平面内的两个不共线向量垂直，即数量积为0，列出方程组，两个方程，三个未知数，此时给其中一个变量恰当赋值，求出该方程组的一个非零解，即得到这个法向量的坐标注意，赋值不同得到法向量的坐标也不同，法向量的坐标不唯一6射影面积公式：二面角的平面角为a，则 cos a=7 利用空间向量求角要注意的问题(1)异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角都可以转化成空间向量的夹角来求(2)空间向量的夹角与所求角的范围不一

5、定相同，如两向量的夹角范围是0，两异面直线所成的角的范围是0，2 .(3)用平面的法向量求二面角时，二面角的大小与两平面法向量的夹角有相等和互补两种情况三、二面角的平面角的求法1、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。2例 1 如图，四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 为矩形， SD底面 ABCD ， AD2DCSD2 ，点 M 在侧棱 SC上，ABM =60°（ I）证明： M 在侧棱 SC 的中点（ II）求二面角

6、S AM B的大小。练习 1 已知四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD 为菱形，PA平面 ABCD， ABC 60 ,E，F 分别是 BC, PC 的中点 .（）证明： AE PD; （）若 H 为 PD 上的动点， EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为6 ，求二面角 EAF C 的余弦值 .22、三垂线法三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直通常当点 P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。例 2如图，在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，底面 ABCD 为等腰梯形，AB/CD ，AB=4, BC=C

7、D=2,AA 1 =2, E、E1 、F 分别是棱 AD 、AA 1 、AB 的中点。DC(1)证明：直线 EE 1 /平面 FCC 1 ；(2)求二面角 B-FC 1 -C 的余11弦值。AB11EDC1EAFB3练习 2 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形已知 AB3, AD2,PA2,PD22,PAB60 （）证明 AD平面 PAB ；（）求异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小；（）求二面角 PBDA的大小3、补棱法（补形法）本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱） ，然后借助前述的定

8、义法与P三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决例 3 如图所示，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，BCD60°， E 是 CD 的中点， PA底面 ABCD，PA2.（）证明：平面 PBE平面 PAB;（）求平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角（锐角）的大小 .DECAB练习 3 已知斜三棱柱 ABC A 1B1C1 的棱长都是 a，侧棱与底面成 600 的角，侧面 BCC1B1底面ABC。（ 1）求证： AC 1BC；（ 2）求平面 AB 1C1 与平面 ABC 所成的二面角（锐角）的大小。4s射影4、射影面积法（ cosq =）

9、S凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射S射影面积公式（ cos）求出二面角的大小。S斜P例 4（ 2008 北京理）如图，在三棱锥 P ABC 中， AC BC 2 ， ACB 90 ， AP BP AB，PC AC （）求证： PCAB ；（）求二面角 BAPC 的大小；ABC练习 4： 如图 5，E 为正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱 CC1 的中点，求平面 AB 1E 和底面 A1B1C1D1所成锐角的余弦值 .DCABED 1C1A1B1图 555、向量法向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题

10、都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。例 5（2009 天津卷理）如图，在五面体ABCDEF 中， FA平面 ABCD, AD/BC/FE ，ABAD ，1ADM 为 EC 的中点， AF=AB=BC=FE=2(I)求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小； (II) 证明平面AMD平面 CDE；求二面角 A-CD-E 的余弦值。练习 5、（2008 湖北）如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，平面 ABC 侧面 A1 ABB1 . （）求证： AB BC ；（）若直线 AC

11、与平面 A1BC 所成的角为 ,二面角 A1 BC A 的大小为 ，试判断 与 的大小关系，并予以证明 .6二面角大小的求法的归类练习（请在小括号内填写所用方法）（）例 1 在四棱锥 P-ABCD 中， ABCD 是正方形， PA平面 ABCD ，PA=AB=a，求二面角 B-PC-D 的大小。PHAjDBC（）例 2 在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形， PA平面 ABCD ，PA=AB=a， ABC=30°，求二面角 P-BC-A 的大小。LpADBHC（）例 3 在四棱锥 P-ABCD中，ABCD是正方形，PA平面 ABCD，PA=AB=a，求 B-PC-D 的

12、大小。7（ ）例 4 在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA平面 ABCD ，PAAB a，求平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角的大小。（ ）例 5、在四棱锥 P-ABCD 中， ABCD 为正方形， PA平面 ABCD ，PA AB a，求平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角的大小。（补形化为定义法）PADBlC8二面角大小的求法答案定义法：本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1 中从二面角 S AM B 中半平面ABM 上的一已知点（ B）向棱 AM 作垂线，得垂足（ F）；在另一半平面 ASM 内过该垂足（ F）作棱 AM 的垂线（如 GF），这两条垂线（

13、BF、GF）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。例 1（2009 全国卷理）证（ I ）略 解（II ）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点 B 作BFAM 交 AM 于点 F ，则点 F 为 AM 的中点，过 F 点在平面 ASM 内作 GFAM ，GF 交 AS于 G，连结 AC ， ADC ADS，AS-AC，且 M是 SC的中点， AM SC， GFAM，GFAS，又 F 为 AM 的中点，GF是 AMS的中位线，点 G 是 AS的中点。则 GFBSM2，则GF2 ，又 SAAC6，AM2 ,GF2 AM

14、AB 2，ABM600 ABM 是等边三角形， BF3 ,在 GAB 中， AG6 ，AB2， GAB900， BG34112221116 ,二面角 SAMB 的大小为 arccos(6 )cos BFGGF 2 FB2BG 223 222GF FB2263332练习 1（ 2008 山东）分析：第1 题容易发现，可通过证AE AD后推出 AE平面 APD，使命题获证，而第 2 题，则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二面角的棱 AF 上找到可计算二面角的平面角的顶点S，和两边 SE 与 SC，进而计算二面角的余弦值。 （答案：二面角的余弦值为15 ）5二

15、、三垂线法本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。如（例2）过二面角 B-FC 1 -C 中半平面 BFC 上的一已知点 B 作另一半平面 FC1C 的垂线，得垂足 O；再过该垂足 O 作棱 FC1 的垂线，得垂足 P，连结起点与终点得斜线段PB，便形成了三垂线定理的基本构图（斜线 PB、垂线 BO、射影 OP）。再解直角三角形求二面角的度数。例 2 (2009 山东卷理 ) 证（ 1）略解（ 2）因为 AB=4,BC=CD=2, 、F 是棱 AB 的中点 ,所以 BF=BC=CF,BCF 为正三角形 , 取 CF 的中点 O,则 OB CF,又因为直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1

16、D 1 中 ,CC1平面 ABCD, 所以 CC1 BO,所以 OB平面 CC1F,过 O 在平面 CC1F 内作 OP C1F,垂足为P,连接 BP,则 OPB 为二面角 B-FC 1 -C 的一个平面角 , 在BCF 为正三角形中 , OB3 ,在 Rt CC1F 中 , OPFD 1C1A 11B 1FE1DPCEOABFCC1F, OPOF OP122 ,CC1C1 F2 2222在 RtOPF 中, BPOP2OB 21314 ,OP27 ,所以二面角 B-FC 1 -C 的余弦值为222cos OPB147BP297 .7练习 2（ 2008 天津）分析：本题是一道典型的利用三垂线

17、定理求二面角问题，在证明 AD 平面PAB后，容易发现平面 PAB平面 ABCD，点 P 就是二面角 P-BD-A 的半平面上的一个点， 于是可过点 P 作棱 BD的垂线，再作平面 ABCD的垂线，于是可形成三垂线定理中的斜线与射影内容，从而39可得本解法。（答案：二面角 PBDA 的大小为 arctan）三补棱法P例 3（2008 湖南）分析：本题的平面 PAD 和平面 PBE 没有明确的交线，依本法显然要补充完整（延长 AD、BE 相交于点 F，连结 PF.）再在完整图形中的 PF.上找一个适合的点形成二面角的平面角解之。（）证略解 : （）延长 AD、 BE 相交于点 F，连结 PF.过

18、点 A 作 AHPB 于 H，由（）知 ,平面 PBE平面 PAB,所以AH平面 PBE.在 RtABF 中，因为 BAF60°，所以， AF=2AB=2=AP.A在等腰 Rt PAF 中，取 PF 的中点 G，连接 AG.HGFDECB则 AG PF.连结 HG，由三垂线定理的逆定理得， PF HG.所以 AGH PBE 所成二面角的平面角（锐角） .是平面 PAD 和平面在 等腰Rt PAF中，AG2 PA2.在Rt PAB中，2AHAP ABAP AB225 .PBAP2AB 255AH2510 .故平面A 1所以，在 RtAHG 中， sinAGH5C1B 1AG25PAD

19、和平面 PBE 所成二面角（锐角）的大小是10arcsin.5练习 3 提示：本题需要补棱，可过A 点作 CB 的平行线 L （答案：所A成的二面角为45O）CBL四、射影面积法（ cosq =s射影）S例 4（2008 北京理）分析：本题要求二面角BAPC 的大小，如果利用射影面积法解题，不难想到在平面 ABP 与平面 ACP 中建立一对原图形与射影图形并分别求出S原与 S射于是得到下面解法。解： （）证略（）ACBC， APBP ， APC BPC 又 PCAC， PCBC 又ACB90 ，即 ACBC，且ACPCC， BC平面 PAC 取AP 中点 E 连结 BE， CE ABBP ，B

20、EAP EC 是 BE 在平面 PAC 内的射影，CEAP ACE是 ABE在平面 ACP 内的射影，于是可求得：ABBPAPAC 2CB 22 2，BEAB2AE26，AEEC2则S射SACE1 AECE122 1，22PS原S ABE1 AEEB1263 ,E22AB10C设二面角 BAPC 的大小为，则S射13cos33S原二面角 BAPC 的大小为arccos 33练习 4：分析平面 AB 1E 与底面 A 1B1C1D1 交线即二面角的棱没有给出， 要找到二面角的平面角，则必须先作两个平面的交线， 这给解题带来一定的难度。 考虑到三角形 AB 1E 在平面 A 1B1C1D1 上的射

21、影是三角形A 1 B1C1，从而求得两个三角形的面积即可求得二面角的大小。（答案：所求二面角的余弦值为 cos=2 ）.3五、向量法例 4：（2009 天津卷理）现在我们用向量法解答：如图所示，建立空间直角坐标系，以点A 为坐标原点 。 设 AB 1，依题意得 B1，0，0，C1，1，0，D 0，2，0，E 0，1，1，F 0，0，1，11，M21 .2（I） 解：BF1，0，1，DE0， 1，1，BFDE0011所以异面直线于是 cos BF，DEBF DE222.BF 与 DE 所成的角的大小为 60 0 .1，0，1， AD0，2，0 ，可得 CEAM0 ，（II ）证明： 由1，CEA

22、M1212CEAD 0.因此， CEAM ，CEAD .又 AM ADA，故 CE平面 AMD .而 CE平面 CDE ，所以平面 AMD平面 CDE .（III ）uCE0，于是xz0，x，可得，）解：设平面 CDE 的法向量为 u ( x， y， z)，则令uD E0.yz0.1u(111 .又由题设，平面 ACD 的一个法向量为 v(0，0，1).练习 5、（2008 湖北）分析：由已知条件可知：平面ABB 1 A 1平面 BCC1 B 1平面 ABC于是很容易想到以 B 点为空间坐标原点建立坐标系，并将相关线段写成用坐标表示的向量，先求出二面角的两个半平面的法向量，再利用两向量夹角公式求解。（答案：arcsina，且 baca,）a2c2a2c2c2a2总之，上述五种二面角求法中，前三种方法可以说是三种增添辅助线的一般规律，后两种是两种不同的解题技巧，考生可选择使用。PAABPBPD1.、AB=AD=aPAADPBPD ， BCDCPBDPDC ,过 B 作 BH PCABADaPCPC于 H，连结 DHDHPC故BHD为二面角B-PC-D的平面角因PB=2 a,BC=a,PC=3 a, 1 PB·BC=S PBC= 1 PC·BH22则 BH=a =DH 又 BD= 2a , 在 BHD 中由余弦定理，得：31126 a22a26 ac