数与式的运算、因式分解(教师版)

1、数与式的运算一、乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：平方差公式 ；完全平方公式 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：立方和公式 ；立方差公式 ；三数和平方公式 ；两数和完全立方公式 ；两数差完全立方公式 【例1】计算： (3) (4)答案：（1） （2） （3） (4)例题的设计意图(1) (2)两个例子让学生熟悉立方和与立方差公式（3）（4）利用整体代换思想简化运算。二、根式式子叫做二次根式，其性质如下：(1) (2) (3) (4) 三、分式当分式的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质【

2、例2】化简（1） （2）例题的设计意图（1）考查根式的性质（2）繁分式的化简，我个人比较倾向解法二，运算速度快（1）解法一：因为又，所以解法二：故解法一：利用到和，先计算原式的平方，然后再开方（2） 解法一：原式 =解法二：原式=说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式， 解法二则是利用分式的基本性质进行化简一般根据题目特点综合使用两种方法 因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用是一种重要的基本技能。因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平

3、方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法、求根法和分组分解法等等。一、公式法(立方和、立方差公式)【公式1】【公式2】【公式3】【公式4】【公式5】【例1】把下列各式分解因式： ； ； = ； ； 【答案】（1）（2）（3） （3）（4）二、十字相乘法一般二次三项式型的因式分解。大家知道，反过来，就得到：我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次项系数，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法注意：1、十字相乘法思路：分解二次三项式，尝

4、试十字相乘法。分解二次常数项，交叉相乘做加法；叉乘和是一次项，十字相乘分解它。2、并非所有的二次三项式都能用十字相乘法分解分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，【例2】把下列各式分解因式：_ ；_ ；_ ；（4） =_ （5）=_【答案】；（4）（5）【变式】用十字相乘法求下列方程的根 （4）【答案】（1）（2）（3）（4）【拓展】双十字相乘法对于某些二元二次六项式()，我们也可以用十字相乘法分解因式。例如，分解因式我们将上式按降幂排列，并把当作常数，于是上式可变形为 可以看作是关于的二次三项式 对于常数项而言，它是关于的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为 。再利用十

5、字相乘法对关于的二次三项式分解.所以 原式=上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法(双十字相乘法)。具体步骤:分解形如的二次六项式,在草稿纸上，将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如下图所示,如果，即第1,2列、第2,3列和第1,3列都满足十字相乘规则。则【例】把下列各式分解因式：_；_；_；【答案】三、求根法如果关于的一元二次方程有两个实数根，那么多项式可以分解为。由，比较系数得故就得到韦达定理。韦达定理：设是关于的一元二次方程的两根，则【例3】把下列各式分解因式：_；(2) 【答案】；(2) 【例4】若x1和x2分别是一元二次方程2x25x30的两根（1）求

6、| x1x2|的值； （2）求的值； （3）x13x23解：x1和x2分别是一元二次方程2x25x30的两根， ，（1）| x1x2|2x12+ x222 x1x2(x1x2)24 x1x2 6， | x1x2|（2）（3）x13x23(x1x2)( x12x1x2x22)(x1x2) ( x1x2) 23x1x2 ()×()23×()【点评】利用韦达定理求值，要熟练掌握以下等式变形：，等等【重要结论】：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x1和x2分别是一元二次方程ax2bxc0（a0

7、），则，| x1x2| 于是有下面的结论：若x1和x2分别是一元二次方程ax2bxc0（a0），则| x1x2|（其中b24ac）今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论【变式】已知关于x的方程x22(m2)xm240有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得 x1x22(m2)，x1·x2m24 x12x22x1&#

8、183;x221， (x1x2)23 x1·x221，即 2(m2)23(m24)21，化简，得 m216m170， 解得 m1，或m17当m1时，方程为x26x50，0，满足题意；当m17时，方程为x230x2930，3024×1×2930，不合题意，舍去综上，m17说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可。（2）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式是否大于或大于零因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根。四、分组分解能分组分解的有四项或六项或大于四项，一般的四项分组分解有两种形式：二二分法（按字母分组按系数分组符合公式的两项分组），三一分法（先完全平方公式后平方差公式）。【例5】把下列各式分解因式： ； ； ； ； . 【答案】 课后练习1、 把下列各式分解因式（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）（