高中数学选修人教A导学案立体几何中的向量方法

1、3. 2立体几何中的向量方法教学目标：1. 掌握好向量的相关知识：概念、基本运算、建系方法、坐标求法（不定点的坐标）、平行与垂直、法向量求法2. 掌握向量作为工具解决立几问题的方法3. 向量解题后建议多思考传统的方法，不仅可以锻炼思维能力，还可以深刻认识空间几何的本质重点难点：向量作为工具解决立几问题的方法教学过程：相关知识与能力：一.空间距离的计算1. 空间两点间的距离：设A、B是空间两点，则A、B两点间的距离d=| abnABd2.两条异面直线间的距离：设a、b是两条异面直线，是a、b的公共法向量（即），点AÎa,BÎb则异面直线a、b间的距离 即方向上的射影长为异面直

2、线a、b间的距离。3.点（或线）到平面的距离：PP0dO1）设P是平面内任一点，则PO到平面的距离2)直线与平面（或平面与平面）的距离转化为点到平面的距离。二.空间角度的计算1. 两条异面直线所成的角：设l1与l2两条异面直线，l1 ， l2，则l1与l2所成的角 =<，>或= -<，> （0<）cos<，>=或 cos= （0<）2. 斜线P0P与平面所成的角3.二面角：设相交平面与的法向量分别为，则与所成的角的大小为<> 或 （如何确定？）典例分析： B CD A 例1.在棱长为1的正方体中，E、F分别是的中点，G在棱CD上，且，

3、H为C1G的中点，应用空间向量方法求解下列问题。（1）求证：EFB1C；（2）求EF与C1G所成的角的余弦；（3）求FH的长。解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E（0，0，）F（）C（0，1，0）B1（1，1，1）C1（0，1，1），G（0，0） 则即（2） 由（1）知故EF与所成角的余弦值为（3） H为C1G1的中点 H（0，），又F（） 即例2.如图，在棱长为2的正方体中，E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系。（1）写出A、B1、E、D1的坐标；（2）求AB1与D1E所成的角的余弦值。解：（1）A（2，2，0）B1（2，0，2），E（0，1，0），D1（0，2，2）

4、（2） ， 与所成的角的余弦值为例3.如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F。（1）证明PA/平面EDB；（2）证明PB平面EFD；（3）求二面角CPBD的大小。解：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=。（1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG依题意得A（），P（0，0，a），E（） 底面ABCD是正方形 G是此正方形的中心故点G的坐标为（）且， ，这表明PA/EG，而平面EDB且PA平面EDB PA/平面EDB（2）证明：依题意得B（），又，故 PBDE，由已知EFPB，且，所以PB平面EFD（3）

5、解：设点F的坐标为（），则 ，所以，二面角CPCD的大小为巩固练习：1、如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点。（1）求证：EF/平面PAD；（2）求证：EFCD；（3）若，求EF与平面ABCD所成的角的大小。2、在正方体中，如图E、F分别是BB1，CD的中点，（1）求证：平面ADE；（2）作业布置：如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC平面ABCD，且GC=2，求点B到平面EFG的距离。2、如图，在直四棱柱中，已知DC=DD1=2AD=2AB，ADDC，AB/DC。（1）设E是DC的中点，求证：D1E/平面A1B

6、D；（2）求二面角的余弦值。教学反思：在立体几何的学习中，求各种“空间角”、和空间“距离”的难点在于作出相应的“角”及作出表示“距离”的线段，并给出相应的证明。引入向量的工具，避开了“作”、“证”这个难点，提供了解决求空间角、距离及证明“垂直”、“平行”的通法。进一步强化了“坐标法”、“数形结合”和“转化”等数学思想方法.3.2立体几何中的向量方法课前预习学案预习目标：1. 向量的相关知识：概念、基本运算、建系方法、坐标求法（不定点的坐标）、平行与垂直、法向量求法2. 向量作为工具解决立几问题的方法预习内容：一.空间距离的计算1. 空间两点间的距离：设A、B是空间两点，则A、B两点间的距离 a

7、bnABd2.两条异面直线间的距离：设a、b是两条异面直线，是a、b的公共法向量（即），点AÎa,BÎb则异面直线a、b间的距离 即方向上的射影长为异面直线a、b间的距离。3.点（或线）到平面的距离：PP0dO1）设P是平面内任一点，则PO到平面的距离2)直线与平面（或平面与平面）的距离转化为点到平面的距离。二.空间角度的计算1. 两条异面直线所成的角：设l1与l2两条异面直线，l1 ， l2，则l1与l2所成的角 =<，>或= -<，> （0<）cos<，>=或 cos= （0<）2. 斜线P0P与平面所成的角 B CD A

8、 3.二面角：设相交平面与的法向量分别为，则与所成的角的大小为<> 或 （如何确定？）提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案学习目标：1掌握好向量的相关知识：概念、基本运算、建系方法、坐标求法（不定点的坐标）、平行与垂直、法向量求法1掌握向量作为工具解决立几问题的方法重点难点：向量作为工具解决立几问题的方法学习过程：例1.在棱长为1的正方体中，E、F分别是的中点，G在棱CD上，且，H为C1G的中点，应用空间向量方法求解下列问题。（1）求证：EFB1C；（2）求EF与C1G所成的角的余弦；（3）求FH的长。例2.如图，在棱长

9、为2的正方体中，E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系。（1）写出A、B1、E、D1的坐标；（2）求AB1与D1E所成的角的余弦值。例3.如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F。（1）证明PA/平面EDB；（2）证明PB平面EFD；（3）求二面角CPBD的大小。当堂检测：1、如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点。（1）求证：EF/平面PAD；（2）求证：EFCD；（3）若，求EF与平面ABCD所成的角的大小。2、在正方体中，如图E、F分别是BB1，CD的中点，（1）求证：平面ADE；（2）课后练习与提