4非连续变形分析(DDA)方法讲稿

1、非连续变形分析 (DDA) 方法1 DDA 方法的提出 模拟介质不连续缝的历史可追溯到 30 年前的 Goodman、 Taylor 和 Brekke 等教授 发展的节理单元。对岩土裂缝的数值计算 发展很快，并己在岩石工程中得到广泛应 用。 Cundall 介绍的离散元法现在被广泛应用于节理或块状岩石。两者是用虚拟力来 调整滑动和阻止块体重叠的一种方法，有 时候可达到稳定。20 世纪 80 年代中期， 在完全的运动理 论和能量极小化的基础上，美籍华人石根 华博士和 Goodman 提出并发展了一个计算 块体系统的应变与位移的新方法非连 续变形分析方法 (DiscontinuousDeforma

2、tion Analysis) 。这种方法是以研究 非连续块体系统不连续位移和变形为目的 的一种数值方法，它将块体理论与岩土体 的应力、应变分析相结合，在假定的位移 模式下，由弹性理论位移变分法建立总体 平衡方程式，通过施加或去掉块体界面刚 性弹簧，使得块体单元界面之间不存在嵌 入和张拉现象，应用最小势能原理使整个系统能量最小化，从而保证在静力和动力荷载下包含离散和不连续块体的地质系统 大位移破坏分析得到唯一解。该方法具有离散元法的大多数特点，特别 适合于非连续体的位移模拟。非连续变形分析严格遵循经典力学规则，它可用来分析块体系统的力和位移的相互 作用，对各块体允许有位移、变形和应变； 对整个块

3、体系统，允许滑动和块体界面间张开或闭合。如果知道每个块体的几何形 状、荷载及材料特性常数，以及块体接触 的摩擦角、粘着力和阻尼特征。DDA 即可计算应力、应变、滑动、块体接 触力和块体位移。DDA 方法自提出以后，由于这一数值模拟方法所得结果非常接近实际，能够很好地模拟块体间的滑动、张开和闭合，已 日益广泛地应用于滑坡、隧洞坍塌等许多 工程领域。2 DDA 法的基本原理2.1 DDA 方法中块体的位移模式在 DDA 方法中，块体系统的大位移和 大变形是通过分步迭代计算的小位移和小 变形累加来实现的。 由于每一步都是小位 移，因此可以设每一块体在每一步过程中 具有常应力和常应变，块体任一点（x,

4、y）的位 移（u,v）可用6个位移不变量来表示，即 （uo,vo,ro, x, y, xy），其中，（uo,vo）是块体内特 殊点（如块体的重心）（xo,yo）的刚体位移；ro 是块体绕转动中心（xo,yo）的转动角（以rad为 单位）；x , y , xy是块体的法向应变和切向 应变。考虑块体平移（uo,vo）、转动（ro）、正应 变Cxy）和剪应变C xy）变形的情况下，取块 体系统的全一阶位移模式，块体内任一点 的位移可写为u< TDi(2-1)v其中i表示系统中的第i个块体，且有TiU0 (y y°) (x-xo)11 (XXo)0(y 一 yo)y - y。2x- X

5、o2 一Di = Uo,VoJo, X, y, xyT由此则可推导出:_Uo!-(y-y。)(x-x。)(x-Xo)oo（y 一 y。）y - y°2_X _Xo2VoroL?xy(2-2)可以证明上述位移函数是块体变形的全 一阶近似。2.2 联立方程组的建立和求解块体系统的总势能包括块体单元的应变 能、初始应力的势能、点荷裁和线荷载作 用下的势能、体荷载势能、锚杆连接的势 能、惯性力势能和粘性力势能等。由最小势能原理，在势能泛函取最小值时 系统达到平衡。块体系统的总势能可写成一般形式：1口 =fDTF(2-3)非连续变形分析的平衡方程式由总势能 最小化原理来建立，即由各种力和应力产

6、 生的总势能口 = min来推导，则得到平衡方程式为：口 I d0(2-4)式中，i代表第i个块体；dri是块体i的位 移变量；r = 1、2、3、4、5、6，对应于上 述6个位移不变量。方程式/ u0 = 0，I v0 = 0分别代表作 用于块体x、y方向上所有荷载和接触力平 衡。方程式：:口2 0代表作用于块体i上的所有荷载和接触力的力矩平衡。方程式U l 0，宀 / y = 0，宀 / J 0 代表 沿x、y方向块体i上的所有外力和应力的 平衡。式(2-4)的系数由下列微分求得：62 U(r,s=1,2,3,4,5,6)0dri dsi(2-5)上式中，当i = j时，则为块体i的系数元

7、素，由块体i的材料特性和相关块体的相 互作用决定，构成6x6阶对称阵。当r j时， 则为块体系统中块体i的相关联元素，即由 块体i和块体j之间的接触所决定，也构成6x 6阶阵。把块体系统中所有自身的系数子阵和块体间的相关联子阵叠加，则构成总体平衡方程式为:K12IXKl3Kin 1DiFilK21K22aIXK23a+K2n-1D2rF2mLKnlKn2IXKn3Knn1Fn 一(2-6)简化为K D =F式中，每个系数元素Kq都是6x6阶子矩阵； Di、Fi是6xl阶子矩阵，其中Di代表块体i 的变形变量(diididddidi)； E是块体i 上分配给6个变形变量的荷载，它可由下 式求出，

8、(0)0r=1,2,3,4,5,6dri引人边界条件和块体系统的运动学条件， 即可对上述方程求解，得到每一个块体的 位移与变形状态。2.3 DDA 方法中的几个问题探讨2.3.1 DDA 进行块体系统数值模拟的步骤 与有限元相同， DDA 也属于位移法，最 后得到的平衡方程与有限元法的平衡方程 在形式上完全相同，便于计算机的编程求 解用 DDA 进行块体系统数值模拟的步骤 如下：(1) 块体边界的生成；(2) 以块体为单元形成单元刚度矩阵和载 荷列阵；(3) 根据块体的约束条件和接触关系，建立整个块体系统的总刚度矩阵和载荷列 阵；(4) 求解方程KD厂F,求得D，即每 个块体单元的位移分量；(

9、5) 根据位移分量求得块体系统的内 力分布。DDA方法既可处理静力学问题也 可处理动力学问题，而且能模拟块体系统 发生的大变形、大位移力学行为。3 DDA 方法与其它数值方法的比较3.1 DDA 法与有限单元法的比较DDA 是与有限单元方法相平行的一种 数值分析方法。它解算的网格与有限单元 类型相似，但所有单元是被事先存在的不 连续缝所包围的实际隔离块体，这是非连续变形分析显著超过有限元分析的优点。 在有限单元法的情况下，未知数是所 有节点的自由度之和； 在 DDA 法的情况下， 未知数是所有块体的自由度之和。从理论 观点看， DDA 是有限单元法的广义化。3.2 DDA 与 DEM 的比较DEM 与 DDA 同属代表性的非连续体数值解析法，因此，在理论上有加以比较以显 示有关差异的必要。 事实上，DEM与DDA 所解算的均为下列块体运动方程式：M A KDp F(3-1)式中：M为质量矩阵，K |面为刚性矩阵， A为加速度向量， D为位移向量，'F为 力向量。DEM与DDA二者之间最大的不同在 于 DEM 在求解的过程