4圆锥曲线中的定点定值问题(教师版)

1、联邦理科高二寒假第四讲 圆锥曲线中的定点定值问题、直线恒过定点问题2例i.已知动点E在直线l : y 2上，过点E分别作曲线C : x4y的切线EA, EB，切点为A、B,求证：直线AB恒过一定点，并求出该定点的坐标;2xi解：设 E(a, 2), A(Xi,丄)，B(X2,427)，过点A的抛物线切线方程为y2Xii2Xi(XX)切线过E点,2XiXi(a Xi),整理得:22Xi2ax1同理可得:2x2 2ax2 8 0Xi, X2是方程 x2 2ax 80的两根XiX22a,xiX28可得AB中点为(a,4-)，y2又 kAB 土X-Ix2直线AB的方程为y2)i(x a)，即y例2、已

2、知点P(Xo, yo)是椭圆2e：£2点与直线|垂直，点M (-1，0)2XiXiX2xi x2 a42AB过定点(0,2 ).1上任意一点，直线l的方程为一J2y°y i，直线l0过P关于直线lo的对称点为N，直线PN恒2%221联邦理科高二寒假2%22#联邦理科高二寒假过一定点G,求点G的坐标。解：直线I。的方程为x)(y y。)2y°(x X0)，即 2y°x x°y x°y0 0设M( i,0)关于直线l0的对称点N的坐标为N(m, n)2%22#联邦理科高二寒假2%22#联邦理科高二寒假nX0m 12y°一)n一)

3、，解得02x°3 3x02 4x° 4X02 42x°4 4x°3 4一/ 8x°2y°(4 X02)2%222联邦理科高二寒假2%22#联邦理科高二寒假直线PN的斜率为kn y。m X0x°4 4x°32一/ 8冷 82y°( X03 3x02 4)2%22#联邦理科高二寒假从而直线PN的方程为:y y。Xo4 4x。3 2x。2 8x0322y°( Xo 3xo 4)8(xXo)3联邦理科高二寒假#联邦理科高二寒假象限弧上一a 2，b2，c 2 2，所以椭圆的方程为2 2Q点P（xo,yo）

4、在曲线上，则号呀1.2 4 yX。2从而24yo(2y0)1，得yo 2，则点P的坐标为（1,2）2y°( xo3 3x。2 4)xo4 4xo3 2xo2 8X08从而直线PN恒过定点G（1,o）、恒为定值问题例3、已知椭圆两焦点Fi、F2在y轴上，短轴长为2迈，离心率为一2，P是椭圆在第2umr UJID点，且PF1 PF2 1，过P作关于直线FiP对称的两条直线 PA PB分别交椭圆于A、B两点。（1 ）求P点坐标；（2 ）求证直线 AB的斜率为定值；2 2解：（1）设椭圆方程为每笃 1，由题意可得a b则 F1(0,、2),F2(0, .2)，设 P(xo,yo)(x。o,

5、yo 0)JJLT一JJJJ一则 PF1(xo，. 2yo), PF2( xo，2yo),UHT ULUJrrPF1 PF2 x2 (2 必 1（2）由（1）知PF1 / x轴，直线PA、PB斜率互为相反数,设PB斜率为k（k 0），则PB的直线方程为：y . 2 k（x 1）y 2 k(x 1)_由 x2y2得(2 k2)x2 2k( . 2 k)x (三 k)2 4 0-工124#联邦理科高二寒假34联邦理科高二寒假设 B( Xb , yB),则 Xb2k(k 2)k22 2k 22 k2同理可得xAk22迈k 2，则2 k2XayAyBk(XA 1)k(XB所以直线AB的斜率kABYa

6、Yb例4、已知动直线yXa2k(x 1)与椭圆C:-5<2kXb2 y_53点，已知点73,0)，uuir求证：MAuuirMB为定值.解：将y2k(x 1)代入521中得(1533k2)x2 6k2x 3k25课后作业:4236k4(3k21)(3k5)248 k 20x1x26k23k21，X/23k2 53k2 1uuur 所以MAuuirMB(X13, Y1)(x23,y2)(X13)(X23)k2(x!(1k2)x(x2(7k2)(x12 3k2572(1k )2(k3k213423k416k2549 .)(3k2 1(X1 7)(X21)(X21)X2)4996k23k)x2

7、1.在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆C :线I交椭圆C于A , B两点，线段AB的中点为E ,D( 3,m).7)k2499y2k21.如图所示，斜率为k(k>0)且不射线OE交椭圆C于点G ,交直线过原点的直x 3于点35联邦理科高二寒假(I)求m2 k2的最小值；2(n)若OG OD ? OE，求证：直线I过定点;解：(I)由题意：设直线I : ykx n(n 0),6联邦理科高二寒假#联邦理科高二寒假y kx n由兰3消y得:(112 23k )x26knx 3n0,#联邦理科高二寒假#联邦理科高二寒假36k2n2 4(1 3k2)x 3(n2 1) 12(3k2 1 n2)

8、0设A(X1,y1)、B(X2,y2),AB的中点E(xo, yo),则由韦达定理得:6kn 血3kn,x1即x0 y kx0 n所以m2证明：由题意知又因为yE3kn1 3k2所以中点 E的坐标为(一 , n -1 3k2 1 3k2因为O E、D三点在同一直线上，所以k°EKod，即1m3k3，),k2=- k2k22 ,当且仅当1时取等号:n>0,因为直线y所以由 2x3n1 3k2,yDOD的方程为得交点1m,且 OGm x,3G的纵坐标为OD ?OEyGn1 3k2 ,即m2k2的最小值为2.2m2m 3，所以rmm2n2 ,1 3k1又由(I)知：m ,所以解得kk

9、n,所以直线l的方程为kx即有l: y k(x1),令x 1得,y=0,与实数k无关,#联邦理科高二寒假#联邦理科高二寒假所以直线l过定点(-1,0).2.已知点2N为曲线y 4x(x 0)上的一点,若A(4,0)，是否存在垂直x轴的直线l被以AN为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.#联邦理科高二寒假#联邦理科高二寒假解：设AN的中点为B，垂直于x轴的直线方程为x a ,以AN为直径的圆交I于C, D两点，CD的中点为H .#联邦理科高二寒假7联邦理科高二寒假Q CB1一2(x2Z4) y ,BH2CH |CB14(4a所以,2都有|CH|BHq(x

10、4)24212)x 4a 16a (a3，则对任意满足条件的y23)x9 12 3 （与x无关），2a 4)22a 4a即CD|2 3为定值.#联邦理科高二寒假#联邦理科高二寒假已知撻物烷二裁的饉点冥直、片是抛物践上的两动直，且X7=XF5（JL>0）两直分别作抛物线的切绞，谩其交<51.< I）证明云7石为走信*（U ）的面穆为弘写出狂f （A）的襄达式，笄求£的克小値，谓菩：贻 U 说JH冷，珀八E 5計？/x tgr J，隹査f <0' i > *蛊耀方II曲尸-1 | 評輕f/利车忤在旦尅F（0- 1?谡具巨站力理ZJ尸和+】：艮立直戸孑

11、轴占朋：x:-4kx-4-u， 判豹式A=lfi （V+L > >03E |+X.=4k P 韓 |离1 1 . 1' + J-, * 耳中打，二X ' b+昙旺红二h疋上任直一点穷辜対丁 ' =y AI S ®切皱aJI*盯方程曲別対尸f g）k （,） +y严y二G > h*升/立冇程帚解得京点M里标，丁訐f=7' WJl <- -1 f J JITv- < j J 一2 肓（叫Vi'YI11-F0 *石 飞（s+*k;） （k；-!, ） -2 Cy；-7f >厲：”-®*】-2_u* 走值）

12、<n ) A < I ) n£AABH4>. F丄仙 8niS-|AB| |FM|. 访=175(x>o)-奇4了一牛：， 兀1时=£吋-Wifii-（V）2+（-a）2- £因再|M|，|BF|甘羽誥于A"剥拋枸幘逝垓尸“的如卧 所从 1=1" 1)AE | 二 |±?|*|胡|二矜+兀+2二彳工十严 +2=k-h-b2= 于mUuei |fb|4 <沁知主，2当k=i对EElftJ'1-沖莞二慣）抵吃*已扭勵国口舸高心车为刍 乱柄同:的左顶点眈国0作同T：口亠犷上k+2> 2+y:-E3

13、 （t>Q） 设厨I勺咄區匚交于点I岂点阳11 TlffiSr 的方：2：朮云7云的最小直工乖匕时圉丁惓方腔；C3设点F是椭同：上异于MH的吒老一点K?勺别与工物玄于点"5- Q为坐标原点求EI DR| |OS|M<-J*! I解：抉题卧桜T，应二匚二半，/. -J3h 1i-j4-3sl *挾捕gr的方秘对厂 】F. ”.，朽甘4<?i方咗一；占it与占w关干m轴內怖, Mr 片八H 5十-珀TlftiSy,>D.2曲干吉Mil樹酿上，忡以> 2=1-J_<O”也曲）14由已知T 1-2- 3> Rin/ 二（打+5 比卜云=f->

14、-jjh IM *TN 二旳+苏 丁詁吒珂+“ -J'P=（斗+2：打？=0严产0 _丄尸轧J工严4«）A -2<1,0 »披当=+时'TM 吊恥得呂小価泊由（»）式I >'j '| > r）*朋畦區二代入耳射方起醤別" =曲馴的方瑋力；（X'-2）2+>-2 = '（8分）I 3 ）方送一:iSP （ Kr f Jr, > *训耳纸肝箭方琨为；>-y0=k7 兀0 X W疋、尹IJt. L' *1'冋盘： *' H分、3 抡F九->/57占K弓亡F在霸同二，-(11)齟X二礼 1-yfh k. -1(l-jj )，* 2H> 传人<*')式-何廿）航til讪卜|3|二1+卜|工二|"彰|二4为定值. 方法二 t IkM ( 2ceff8 r cmfl) fl ( 2aoa t -ein.9) * TlhiSsin.3>0* P < zcosa-* 扶中sina - ir.y -则直弑册的方程内：K'5ina=(x-2cota) 亠_ ,B _2C£iiittco