含绝对值符号的不等式的解法与证明

1、本周容含绝对值符号的不等式的解法与证明重点难点1 .实数绝对值的定义：|a|=这是去掉绝对值符号的依据，是解含绝对值符号的不等式的根底。2 最简单的含绝对值符号的不等式的解。假设a0时，那么|x|a _axa xa。注:这里利用实数绝对值的几何意义是很容易理解上式的，即|x|可看作是数轴上的动点P(x)到原点的距离。3 常用的同解变形|f(x)|vg(x) -g(x)vf(x)vg(x)；|f(x)|g(x) f(x)g(x);2 2|f(x)|g(x)| f (x)g (x)。4三角形不等式：|a|-|b| |a 士 b| |a|+|b|。2 2例题选讲:例1 .解不等式|x +4x-1|4

2、 解:-4x +4x-14-5x-3 或-1x2x 解: x 2-32x x 2+2x-30-3x1 或 x3 x3。即原不等式的解集-, 1U 3, +。例3.解不等式| 1 解:2 2 2 2(2) |2x+3| |x -1|(2x+3)-(x-1) 0 (2x+3 -x+1)(2x+3+x-1) 0(x+4)(3x+2) 0, -4 x -。x工1。原不等式的解集为-4，-例4 .解不等式|x+1|+|x-2|5 分析：为了去掉绝对值符号，首先找到两式的零点-1和2，它们把-%, +x分成了三个区间；-X, -1，-1 , 2 , 2, +x。从而可将不等式化为三个不等式组。求它们的解集

3、的并集即可。解:将不等式化为三个不等式组I-2vxv-1;II- Kx2;III2x3。原不等式的解集为(-2,-1) U -1,2 U (2,3)，即-2 , 3。例 5.解不等式 |x+1|+|x-2|(x+1) -(x-2)|=3, 原不等式无解。说明：此题没有采用例4的解法，而是利用三角形不等式直接判断岀结果。它提示我们今后解这一类问题，应先判断。例6. :|a|1, |b|1 。求证:|1 证法1:欲证，只需证 1,只需证 |a+b|1+ab|, 只需证(a+b) 2(1+ab) 2,只需证(a+b) 2-(1+ab) 20,只需证(a 2+b2-a 2b2-1)0,只需证-(a 2

4、-1)(b 2-1)0 / |a|1,|b|1。二 a21,b21，即 a2-10, b 2-10。式成立，原不等式成立。证法2:欲证，只需证-11,只需证+1 -10,只需证 0,只需证0,只需证 0 / |a|1, |b|1, a 21, b 21,即 a2-10, b 2-10,式成立,原不等式成立。例7.求证： +。证法 1: / |a+b|(1+|a|+|b|) (|a|+|b|)(1+|a+b|)|a+b| 0, 1+X i0, 1+X 20, 0。 - 0,即?,设 xi=|a+b|, x 2=|a|+|b| |a+b| w |a|+|b|, w。参考练习：21 .解不等式 |x

5、 +3x- 8| w 10。2 解不等式 |x+7|-|x-2|1。4. 解不等式 |log 3x|+|log 3(3- x)| 1。5. 求y=的值域。6设f(x)=x 2+ax+b是整系数二次三项式，求证：|f(1)|v, |f(2)|v, |f(3)|v,不可能同时成立。7. |x|v, |y|v, |z|v, (E 0)。求证 :|x+2y- 3z| E。参考答案：1. -6, -2 U -1,3;2. (-出,-1)；3. , 2) U (6, + 出);4. 提示：首先求定义域0, 3。其次求岀二零点1, 2。分三个区间0, 1 , 1 , 2 , 2,3解即可。解集0, U , 3。5. 提示：可用反解法解岀sinx=，那么解不等式| 1得y -4,-。6 提示：用反证法略证：假设 |1+a+b|v, |4+2a+b|v, 与 |9+3a+b| 同时成立。由题设 a, b Z, 1+a+b Z, 1+a+b=0