微积分复习及解题技巧

1、微积分复习及解题技巧第一章函数一、据定义用代入法求函数值：典型例题：综合练习第二大题之2二、求函数的定义域：（答案只要求写成不等式的形式，可不用区间 表示）对于用数学式子来表示的函数，它的定义域就是使这个式子有意 义的自变量x的取值范围（集合）主要根据： 分式函数：分母工0 偶次根式函数：被开方式0 对数函数式：真数式0 反正（余）弦函数式：自变量 1在上述的函数解析式中，上述情况有几种就列出几个不等式组成 不等式组解之。典型例题：综合练习第二大题之1f A补充：求y= .； 2；的定义域。（答案：一2 -2）三、判断函数的奇偶性：典型例题：综合练习第一大题之3、4第二章极限与连续求极限主要根

2、据：ixm-xe1、常见的极限：1lim 丁 =0（：0）XX2、利用连续函数：lim f （x） = f （X。）J.xo初等函数在其定义域上都连续。例:1呵厂13、求极限f（x） 1的思路：limf（zC130 常数）Xjotlxm0 g（x） = C2（C2 式 0常数）可考虑以下9种可能:0型不定式（用罗彼塔法则）=0C2-=00c2C1亠0CO00=OOC2二型不定O0式（用罗彼塔法则）特别注意：对于f (X)、g (x)都是多项式的分式求极限时，解法见 教材P70下总结的“规律”。以上解法都必须贯穿极限四则运算的法则!典型例题：综合练习第二大题之3、4;第三大题之1、3、5、7、8

3、补充1：前加“)!，则a= - 2,b= 1x-1 2x补充2：2呦芮丿二 e2补充3：-1 .inm辰+式1=2limn )：:1 -2n 12；1 C 1 1 1+ j = I i m 1 + +(2n-1)(2n+1)啤 2 I 3 35亠丄2n -1 2n 1补充-4：in xlimXr1X -10型10im f =1(此题用了“罗彼塔法则”)第三章导数和微分一、根据导数定义验证函数可导性的问题：典型例题：综合练习第一大题之12二、求给定函数的导数或微分：求导主要方法复习：1、求导的基本公式：教材 P1232、求导的四则运算法则：教材 P110-1113、复合函数求导法则（最重要的求导

4、依据）4、隐函数求导法（包括对数函数求导法）6、求高阶导数（最高为二阶）7、求微分：dy=y/ dx即可典型例题：综合练习第四大题之1、2、7、9I补充：设 y= I x21 （arctgx）2，求 dy.解：T 八丄2x+2arctgx 亠2 vW1+x2 右+x21+x2/ X 亠 2arctgx、二妒丫 dX珂1 “2第四章中值定理，导数的应用一、关于罗尔定理及一些概念关系的识别问题：典型例题：综合练习第一大题之16、19二、利用导数的几何意义，求曲线的切、法线方程：典型例题：综合练习第二大题之5二、函数的单调性（增减性）及极值问题：典型例题：综合练习第一大题之18,第二大题之6,第六大

5、题之2第五章不定积分第六章 定积分I理论内容复习：1、原函数:F(X)二 f (x)则称F(X)为f (X)的一个原函数。2、不定积分：概念：f ( X )的所有的原函数称f ( X )的不定积分。f(x)dx 二 F(x) C注意以下几个基本事实：Ff (x)dx = f(x)f (x)dx = f(x) Cd f (x)dx 二 f (x)dxdf (x) - f (x) C性质：a f (x)dx = a f (x)dx(注意a = 0)! f (x)二 g(x) dx = f (x)dx 二 g(x)dx基本的积分公式：教材P2063、定积分：定义几何意义性质：教材 P234 235性

6、质1 3求定积分方法：牛顿一莱布尼兹公式H习题复习：一、关于积分的概念题： 典型例题：综合练习第一大题之22、24、25、第二大题之11、14二、求不定积分或定积分:可供选用的方法有直接积分法：直接使用积分基本公式换兀积分法：包括第一类换元法（凑微分法）、第二类换元法分部积分法典型例题：综合练习第五大题之2、3、5、6关于“换元积分法”的补充题一：dx2x112x 1d(2x 1)=丄1 n2x + 1 +C2关于“换元积分法”的补充题二:解：设 x 3=t2, 即 卩X-3 二t,则 dx=2tdt.2.xdx = (t 3) 2=2 .丄t21 6t C、x-3t2 1二一t3 6t C

7、= (、x - 3)3 6、x - 3 C33关于“换元积分法”的补充题三：8 dx013 x解：设 x=t3，即 3x = t，则 dx=3t2dt当 x=0 时，t=0；当 x=8 时，t=2.所以8 dx 2 3t 2dtB + VX = 0 1 +tf2 |3(t _1) + 2 I0i + t一dt = 3(t 1)2+ In 1 +=3ln3，即变量（此题为定积分的第二类换元积分法，注意“换元必换限” x换成变量t后，其上、下限也从0、8变为0、2）关于“分部积分法”的补充题一：xeXdx 二 xdeX 二 xeX - eXdx = (x - 1)ex C关于“分部积分法”的补充题

8、二:arctgxdx = xarctgx - x112 dx = arctgx - 一 In 1 + x1 + x2关于“分部积分法”的补充题三:exln xdx1=1 In xdx22 1x2 In x- ：x2d|nxx2 In x-xdx1e11 2 -x22二(e2 丄22 21)（此题为定积分的分部积分法）三、定积分的应用（求曲线围成的平面图形面积）：典型例题：综合练习第六大题之4注意：此题若加多一条直线 y=3x，即求三线所围平面图形的面积, 则解法为一一（草图略）13S= (3x x)dx + J (3x_x2)dx二；2xdx：(3x _x2)dx=2-x221 3x2 乙3023 3=1 +即_冷卜!罰上=y（平方单位）使用指南 本 复习参考资料 应当与人手一册的综合练习题 配套使用并服从于 综合练习题。另外， 请注意如下几点： 本 复习参考资料 中的蓝色字体的“补充”题是以往年级的部分应试复习题，对今年9月份考试的同志来说，仅仅作为参考补充。 综合练习题是我们复习重点中的重点，请对照答案将 所有题目完整地做一遍（使题目与 答案相结合而不要相分离，以便需要时加快查 找的速度和准确度）。 请将上述做好的 综合练习题 随身