利用空间向量解决立体几何中的垂直问题

1、利用空间向量解决立体几何中的垂直问题 p1.1.共面向量定理共面向量定理: :如果两个向量如果两个向量 不共线不共线, ,则向量则向量 与向量与向量 共面的充要条件是存在实数对共面的充要条件是存在实数对x,y,x,y,使使, a b, a bPxayb p2、空间向量的基本定理、空间向量的基本定理 如果三个向量如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量不共面，那么对空间任一向量 ，存，存在一个唯一的有序实数对在一个唯一的有序实数对x x、y y、z z，使，使, ,a b c p pxaybzc1)1)数量积性质数量积性质 求向量的长度求向量的长度( (模模) )的依据的依据对于非零向量对于非零

2、向量 ，有：，有：,a b 二、数量积的性质二、数量积的性质(1) a e=|a|cos a,e (2) aba b=0 2(3) |a| =a a 证明向量垂直的依据证明向量垂直的依据2)2)数量积满足的运算律数量积满足的运算律 分配律）交换律）()(3()2)()() 1cabacbaabbababa注意：注意： 数量积不满足结合律，即数量积不满足结合律，即)()cbacba（a b(4) cos a,b =|a|b| 求向量夹角的依据求向量夹角的依据g gmn l例例1：已知已知m, n是平面是平面 内的两条相交直线，直线内的两条相交直线，直线 l 与与 的交点为的交点为B，且，且l m

3、 ，l n，求证：，求证：l 分析：由定义可知，只需证分析：由定义可知，只需证l与平面内任意直线与平面内任意直线g 垂直。垂直。l g n m 要证要证l与与g g垂直，只需证垂直，只需证 l g = 0= 0而而 m , n 不平行，由共面向量不平行，由共面向量定理知，存在唯一的有序实数定理知，存在唯一的有序实数对对(x, y), 使得使得 g =x m + y n 要证要证 l g = 0,= 0,只需只需 l g = x= xl m + y + y l n = 0= 0故故 l g = 0= 0而而 l m = 0 = 0 ，l n = 0= 0例2：已知：在空间四边形OABC中，OAB

4、C，OBAC，求证：OCABACOBCBOA，证明：由已知ABCO0)(0)(0,0OAOCOBOBOCOAACOBBCOA所以OAOBOCOBOBOAOCOA所以00)(0OCBAOCOBOAOCOBOCOA所以ABOC 所以(1)(1)已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于 ，点分别是边的中点。，点分别是边的中点。求证：。求证：。ABCDaMN、ABCD、,MNABMNCD 1ACAB2MNAD （）MNAB 同理，同理，MNCD 21MN AB(AB AC+AB AD AB )2 21a +aa=22 22 21 11 1 （- -） 0 02

5、22 2NMABDC变式训练（一）例例3DCBDABCA60ABCDA B C DA ABA ADBAD 在平行六面体中，底面是菱形，。（1）求证：AABD；AB（2）当AC平面A BD时，求的值。AA2 （ ）已知在平行六面体ABCD-A B C D 中，有AA =AB=AD，且 A AD= A AB= BAD= ，求证：AC平面A BD。DCBDABCA00ABADAABDABADA BABAABDABADAAABADA BABADAAABAA 证明： AC所以AC（） （）AC（） （）又因为A BBD=B所以AC平面A BD变式训练（二）课堂小结：课堂小结：l1.会用平面内不共线的两向量表示同一平面内其它向量；l2.结合