圆形分布资料的统计分布

1、第十二章圆形分布资料的统计分析 上海第二医科大学生物统计教研室第一节 角度资料概论 圆形分布(circular distribution)统计方法用于处理角度资料 。医学中有些观察数据常用角度表示,例如心向量图的方位角,脑血流图的上升角,主峰角等；与环境卫生有关的风向也常用罗盘的方向角度来表示。有些数据以一年中的月,日或一昼夜中的时,分来表示,前者如正常人血压值在一年中各月份的变动; 某病的发病率在一年中是否有好发时间,后者如婴儿的出生时刻,心脏病人的发病时刻, 在一天中的任何时刻均有可能,可以研究是否有集中于某一时刻的倾向,这一类时间性的资料可化成角度资料来处理。 圆形分布中的角度,指的都是

2、圆心角, 其特点是周而复始,没有真正的零点,也没有大小之分。习惯上把正北方向定为0,一昼夜中的正午夜(0点0分)也定为0,一年中的1月1日午夜也定为0,但这完全是人为规定的。 圆形分布中最常见的是Von Mises分布, 这是一个单峰圆形分布,相当于线性资料的正态分布,本章所讨论是的都是这类分布。当角度资料在圆上的分布有集中于一个方向的趋势, 所求得的平均角(mean angle)经检验不是均匀分布, 且为一个集中方向时就称之为单峰圆形分布。反之,当角度资料在圆上的分布均匀(uniform circular distribution),无明显的集中趋势,就认为平均角不存在。 第二节 角的均数及

3、其假设检验 二角离差S和集中趋势r 样本统计量r在圆形分布中是描述离散程度的一种统计指标,它与的标准差s的关系如下: s=(180/) 度 当一组数据中所有i都等于同一数值时,则这组数据无变异, s =0,而r=1, 当一组数据中的i均匀地分布在圆周上,则r=0,而s则因平均角不存在而无法计算,但当r趋向于0时,s趋向于无穷大。r值的范围在01之间, s值的范围在0无穷大之间,s可称为圆标准差 rln2三平均角的假设检验 1. 所有i都均匀分布在圆周的一个总体,其集中趋势量度值=0,但在此总体中随机抽一个样本,所得的估计值r不一定为0,因此, 当同一个样本资料算得平均角与r后,此是否意义(即是

4、否来自=0的总体)必须进行假设检验,称为均匀性检验(test of uniformity)。此时，H0:=0,即为均匀分布,不存在平均角；H1:0,即不是均匀分布,存在平均角。 2. 均匀性检验方法很简单,根据样本大小n和算得的r或rc查附表十五,如r(或rc)大于或等于表中界值,则P,即在相应的水准上拒绝H0,表示存在集中趋势,平均角有意义。如r小于表中界值,则P,即在水准上不拒绝H0,认为是均匀分布, 不存在集中趋势,故均匀角无意义。检验表12.2二十名妇女的分娩时间所得的均匀角有无意义? 解:H0:=0 H1:0 该例中已求得r=0.71645,n=20,查附表十五,n=20时,r0.0

5、5=0.3846,r0.01= 0.4718，r0.001=0.5687,现rr0.001故P0.001,即在=0.001水准上拒绝H0,认为存在集中趋势,此平均角有意义。第四节 两个或多个样本平均角的比较 两个或多个样本的平均角各自经均匀性检验,如果都拒绝 H0, 则可用 Watson-William检验,判断它们是否来自总体平均角都为的总体,即比较平均角之间是否有显著差别。 二两样本平均角比较的U2检验 用U2检验法对均匀性及合并r大小等无特殊要求, 故不必作平均角的均匀性检验及求合并r值。 患A病的6个病人,晚上入睡时间分别为20:30,21:00,21:15,21:20,21:45,2

6、2:00;患B病的7个病人,入睡时间分别为21:30,21:45,22:05,22:15,22:20,22:45,22:50,问两种病病人入睡时间的迟早有无差别?（1）将两样本中的时间化为角度,再按角度大小从上向下排列,但仍分两组, 各自编序号i与j,排列结果见表12.8第2,4列。 （2）两组分别计算i/n1及j/n2,见表12.8第3,6列,A,B两组各有12个可标i或j的格子,而A组有6格填了i,有6个空格,B组有7格填了j,有5个空格,有空格的各行,也要计算i/n1,和j/n2,其i,j的决定方法为: i或j等于1以前各空格其值为0,例如表中第6列14行,j/n2的计算方法为0/7即等

7、于0。 如i或j等于C之后有空格,这些空格在计算i/n1或j/n2时,i或j的值以C代之,如表中i=4与i=5之间有一空格行,它的i/n1为4/6=0.6667。 在i等于6后的各空格,其i/n1,为6/6=1,B组j/n2的空格处, 其j/n2计算方法同上。 （3）计算各行的d值,置于第7列,d2置第8列,并得d=4.8811,d2=2.5302。 （4）用(12.18)式计算U2值 U2=(n1n2)2d2-(d)2/n/n2 本例得U2=672.5302-(4.8811)2/13/132=0.1733 查附表十八,U20.05(6,7)=0.1941，U20.05，不拒绝H0,认为两组分

8、布的差别无统计意义。 三多个样本平均角的比较 仍用Watson-William法,计算过程与两样本时相仿,但须求F值。设有 K个样本,以ni,ri,Ri分别表示第i个样本的有关统计量。 H0:1=2=k H1:i不全相等。kiikiiRNkRRkNKF11)(1/( )(df1=k-1，df2=N-k，本法也要求各平均角必须经均匀性检验认为有意义才能进行比较,并且合并的r须大于0.45，效果才较满意。 第五节 圆-圆相关 当观察到n对角度数据(i,i)时,可以研究与之间的相关性,称为圆- 圆相关(Angular-Angular Correlation)。其计算方法与圆形统计量是否均匀分布有关。

9、当与都呈均匀分布时, 可用H检验法,如与中至少有一个为非均匀分布时,就只能计算秩相关。 二圆-圆秩相关 当n对圆形分布资料中的和中的一个或二个不是均匀分布时,H检验不适用,此时,须用秩相关,有关公式有: E=360/n (12.30) =jE (12.31) =kE (12.32) 其中j,k分别为i和i的秩次 r2=-ln(1- )/(n-1) (12.33)P1 （1）先对i依次编秩,起点可任择,现取61.5为起点,按61.5360(0)61.4顺序排列,分别给以秩k为1,2,3,4,5,6,记于表12.12第3列。 （2）同样对i依次编秩,选37.0为起点,按37.0360(0)36.9

10、顺序排列,分别给以秩j为1,2,3,4,5,6,记于表12.12第5列。 （3）由(12.30)得 E=360/n=60 （4）由(12.31)，(12.32)算得i,i,将其列于表12.12第6,7列。 如:j=1时，i=60；K=3时，i=180等。 （5）求各对数据之差,记为i,各对数据之和,记为i,置于表12.12第8,9列。 （6）求sini,cosi,sini,cosi,并求和,得 sini=1.7321 cosi=2.0000 sini=1.7321 cosi=2.0000 （7）由(12.21)，(12.22)式,得 =2.0000/6=0.33333 =1.7321/6=0.28868 第六节 圆-线相关 当观测到的成对数据中,一个是圆形分布,另一个是线性量时, 也可研究两者间的相关性,称为圆-线相关(angular-linear cor