导数与函数的零点讲义非常好有解析

1、【题型一】函数的零点个数【解题技巧】用导数来判断函数的零点个数，常通过研究函数的单调性、极值后，描绘出函数的图象，再借助图象加以判断。【例1】已知函数求的单调区间； 若在处取得极值，直线y=m与的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。变式：已知定义在R上的奇函数，满足，且在区间0,2上是增函数，若方程在区间上有四个不同的根，则【答案】 -8【解析】因为定义在R上的奇函数，满足，所以，所以, 由为奇函数，所以函数图象关于直线对称且，由知，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为在区间0,2上 是增函数，所以在区间-2,0上也是增函数如图所示，那么方程f(x)=m(m>0) 在区间上有四个不同

2、的根，不妨设，由对称性知，所以-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y x f(x)=m (m>0) 【题型二】复合函数的零点个数复合函数是由内层函数与外层函数复合而成的，在处理其零点个数问题时，应分清内层和外层函数与零点的关系。【解题技巧】函数的零点个数的判断方法可借助换元法解方程的思想分两步进行。即令，则 第一步：先判断的零点个数情况 第二步：再判断的零点个数情况【例2】已知函数 设，其中，求函数的零点个数1（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）已知函数.若方程在l,2恰好有两个相异的实根,求实数a的取值范围(注:1n20.69):【题型三】如何运用导数求证函数“

3、存在、有且只有一个”零点【解题技巧】（1）要求证一个函数存在零点，只须要用“函数零点的存在性定理”即可证明。即：如果函数在区间上是一条连续不断曲线，并且，则函数在区间上至少有一个零点。即存在一点，使得，这个也就是方程的根.（2）要求证一个函数“有且只有一个”零点，先要证明函数为单调函数，即存在零点；再用“函数零点的存在性定理”求证函数零点的唯一性。其依据为：如果函数在区间上是单调函数，并且，则函数在区间上至多有一个零点。【例3】设函数（1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围变式：设函数，。若方程在区间上有唯一实数解，求实数的取值范围；解析：方程在区间上

4、有唯一实数解等价于方程在区间上有唯一实数解。记，则， 令，得：，当时，递增；当时，递减。所以。易求得：，。为使方程在区间上有唯一实数解，则直线与函数的图象有唯一交点，根据的图象可知： 或 。故的取值范围是。【例4】已知函数在上没有零点，求的取值范围；【题型四】如何运用导数来判断与求证含参函数的零点【例5】（2013·江苏卷）设函数，其中为实数若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论基础练习：1己知，其中常数（1）当时，求函数的极值；2已知函数f（x）m（x1）22x3lnx ，mR当m0时，若曲线yf（x）在点P（1，1）处的切线l与曲线yf（x）有且只有一个公共点，求实数

5、m的值3已知函数(,为自然对数的底数).若直线与曲线没有公共点,求的最大值.4已知函数f（x）=x3+x2-ax-a,xR,其中a>0若函数f（x）在区间（-2,0）内恰有两个零点,求a的取值范围；5设，函数 (1) 求的单调区间 ； (2) 证明：在上仅有一个零点；参考答案与解析【例1】解析：（1）当时，对，有当时，的单调增区间为当时，由解得或；由解得，当时，的单调增区间为；的单调减区间为。（2）因为在处取得极大值，所以所以由解得。由（1）中的单调性可知，在处取得极大值，在处取得极小值。因为直线与函数的图象有三个不同的交点，又，结合的单调性可知，的取值范围是。【例2】令，则：(1)先讨

6、论关于 的方程即根的情况：在区间上单调递增，在区间单调递减，在区间单调递增。描绘出函数的草图，并据草图可得：方程根的情况如下表所示：C的取值范围根的个数根或根的范围2个根或3个根 、2个根或(2)下面考虑方程即根的情况：据上述表格及图形和的根的情况如下表根的个数根的范围根的个数2个根、3个根5个根2个根3个根、3个根9个根3个根3个根2个根、3个根5个根2个根综上所述：当时，函数有5 个零点；当时，函数有9 个零点。【例3】解：(1) , 因为, 即 恒成立, 所以 , 得，即的最大值为(2) 因为 当时, ;当时, ;当时, ; 所以 当时,取极大值 ; 当时,取极小值 ; 故当 或时, 方

7、程仅有一个实根. 解得 或.【例4】 方法一：当，可得，因为，所以，当时，函数在上单调递增，而，所以只需，解得，从而 当时，由，解得，当时，单调递减；当时，单调递增所以函数在上有最小值为，令，解得，所以 综上所述， 方法二：当，当时，显然不成立；当且时，令，则，当时，函数单调递减，时，函数单调递减，当时，函数单调递增，又，由题意知【例5】0在上恒成立，则ex，故：（）若0，令0得增区间为（0，）；令0得减区间为（，）当x0时，f（x）；当x时，f（x）；当x时，f（）lna10，当且仅当时取等号故：当时，f（x）有1个零点；当0时，f（x）有2个零点（）若a0，则f（x）lnx，易得f（x）有

8、1个零点（）若a0，则在上恒成立，即：在上是单调增函数，当x0时，f（x）；当x时，f（x）此时，f（x）有1个零点综上所述：当或a0时，f（x）有1个零点；当0时，f（x）有2个零点练习1、【答案】（1）有极小值0，没有极大值 【解析】函数的定义域为，（1）当时， 而在上单调递增，又，当时，则在上单调递减；当时，则在上单调递增，所以有极小值，没有极大值 2、【解析】由f（x）mxm2，得f（1）1，所以曲线yf（x）在点P（1，1）处的切线l的方程为yx2由题意得，关于x的方程f（x）x2有且只有一个解，即关于x的方程m（x1）2x1lnx0有且只有一个解令g（x）m（x1）2x1lnx（x

9、0）则g（x）m（x1）1（x0）当0m1时，由g（x）0得0x1或x，由g（x）0得1x，所以函数g（x）在（0，1）为增函数，在（1，）上为减函数，在（，）上为增函数又g（1）0，且当x时，g（x），此时曲线yg（x）与x轴有两个交点故0m1不合题意当m1时，g（x）0，g（x）在（0，）上为增函数，且g（1）0，故m1符合题意当m1时，由g（x）0得0x或x1，由g（x）0得x1，所以函数g（x）在（0，） 为增函数，在（，1）上为减函数，在（1，）上为增函数又g（1）0，且当x0时，g（x），此时曲线yg（x）与x轴有两个交点故m1不合题意综上，实数m的值为m13、【答案】解: 当时,

10、令, 则直线:与曲线没有公共点, 等价于方程在上没有实数解. 假设,此时, 又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故. 又时,知方程在上没有实数解. 所以的最大值为. 解法二: ()()同解法一. ()当时,. 直线:与曲线没有公共点, 等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程: (*) 在上没有实数解. 当时,方程(*)可化为,在上没有实数解. 当时,方程(*)化为. 令,则有. 令,得, 当变化时,的变化情况如下表:当时,同时当趋于时,趋于, 从而的取值范围为.所以当时,方程(*)无实数解, 解得的取值范围是. 综上,得的最大值为.5、【答案】（1）；（2）见解析；【解析】（1）依题，在上是单调增函数；（2），且，在上有零点，又由（1）知在上是单调增函数，在上仅有一个零点；【考点定位】导数与函数单调性、零点、不