实验误差分析与数据处理

1、 (2.7.4)3 综合误差(总误差)上面分别讨论了直接测量中偶然误差合成和系统误差合成，而实际测量过程中往往同时存在系统误差和偶然误差，应将其进行综合，以求得最后测量结果的总误差。计算若干系统误差和偶然误差的综合误差(总误差)，一般需通过以下步骤。3.1 分析各项测量误差的来源及误差性质分析误差性质即分析误差是属于系统误差、偶然误差还是粗大误差。如果是系统误差，还要看它是已定系统误差还是未定系统误差；3.2 确定每一项误差的数值或极限变动范围；3.3 由式(2.7.3)计算已定系统误差；3.4 由式(2.7.4)计算未定系统误差的极限变动范围；3.5 由式(2.7.2)计算偶然误差的极限变动

2、范围3.6 测量结果的综合误差可表示为对单次测量: (2.7.5)对平均值： (2.7.6)但是，系统误差和偶然误差的最大值也并不一定同时出现，显然上述总误差估计偏大了，故有时也用几何合成方法：对单次测量： (2.7.7)对平均值： (2.7.8)式中已定系统误差，可以由测量结果来修正； n测量次数；±未定系统误差的极限变动范围；±偶然误差的极限变动范围；应当指出：未定系统误差的合成方法与偶然误差相同，都用计算平方和的平方根方法来合成，但二者具有根本区别。偶然误差具有抵偿性，多次测量的平均值趋于零；未定系统误差不具有抵偿性。偶然误差随测量次数的增加而减少，未定系统误差与测量

3、次数无关。根据以上特点可以区分偶然误差与未定系统误差,如相同条件下，使用同一台仪器对同一被测值重复测量多次，仪器的指示值可能不完全相同，即仪器示值变化，它是偶然误差，具有抵偿性，增加测量次数，取测量结果的平均值，可以减少它对测量结果的影响。而环境因素（如温度、湿度）对仪器的影响引起的误差属未定系统误差，具有不抵偿性，与测量次数无关。增加测量次数，并不减少它们对测量结果的影响。§2.8 间接测量误差合成工程实际中所要获得的被测量的数值，许多都不能用仪器直接测得。往往是直接测量另外一些参数，然后通过公式计算间接求出即间接测量。如电功率就是通过测量电流和电压或电流和电阻后求得。由此可见，间

4、接测量误差不仅与直接测量量的误差有关，而且还和两者之间函数关系有关，通常把由直接测量量的误差来计算间接测量量的误差称为误差传递。1 误差传递一般公式1.1 间接测量中系统误差传递公式设间接测量中的被测量为y，直接测量量为x， z， w，它们间的函数关系为： (2.8.1)令分别为直接测量量在测量过程中造成的系统误差，为间接测量量y的系统误差，则有：将上式右端按泰勒级数展开，并略去高阶微量后得：故函数的绝对误差为： (2.8.2)函数的相对误差为： = (2.8.3)式(2.8.2)、(2.8.3)为间接测量中系统误差的传递公式。表2-7给出了常用函数的系统误差传递公式。1.2 间接测量中偶然误

5、差传递公式实验中对直接测量量作了n次测量，可算出n个值：根据已导出的公式(2.8.2)，每次测量的误差为：两边平方得：表2-7 常用函数的绝对误差和相对误差序号函数绝对误差相对误差123456789101112根据高斯定律，正负误差的数目相等，故非平方项相互抵消，得：将各次测量的误差代入上式，得：将上列各式两边分别相加，得：两边同乘，则被测量y的标准误差为：= =(2.8.4)2 误差传递公式的应用2.1.计算被测量误差由直接测量量的系统误差，即可根据式(2.8.2)、(2.8.3)计算被测量系统误差；由直接测量量的标准误差(，可根据式(2.8.4)计算被测量y的标准误差。例测量某发动机的功率

6、，测得其输出扭矩和转速分别为：±1% （N·m）n±2% （rpm）试写出测量结果。解：发动机输出功率函数式如下 Ne= (KW)则 Ne=12.57 (KW)根据式(2.8.3)有代入Me和的相对误差,即得功率Ne的相对误差为=±(1%+2%)=±3%功率Ne的绝对误差为=Ne××3%=0.38(Kw)发动机输出功率为：±0.38 (Kw)2.2 根据被测量误差范围确定直接测量量之间的误差分配实验方案设计中，往往总是先对被测量误差范围作出规定然后计算各个直接测量量的允许误差，这就是误差分配问题。误差分配应考虑测量

7、过程中所有误差组成项的分配原则。为便于说明误差分配原理，这里只研究间接测量的函数误差，但其基本原理也适用于一般测量的误差分配。对于函数的已定系统误差，可用修正方法来消除，不必考虑各个测量值已定系统误差的影响，而只需研究随机误差和未定系统误差的分配问题。根据式（）这两种误差在误差合成时可同等看待，因此在误差分配时也可同等看待，其误差分配方法完全相同。设间接测量的一般函数关系式为（）据前述误差传递公式有= (2.8.6)现在的问题是在已知函数式（）和给定的情况下，如何求、，这在数学上是一个多解的问题，也就是说各个直接测量值的允许误差，可以有多种分配组合方案来满足要求。这就有了选择地余地，即可根据实

8、验要求、实验条件和所使用的仪器等具体情况合理地确定各直接测量量的允许误差。2.2.1 按等效原则分配误差等效原则认为各直接测量量对间接测量量引起的误差均相等，即：=由(2.8.6)有= = = (2.8.7)式中 N直接测量量个数。由式（）得：，（）2.2.2 按可能性分配误差应用等效原则时，没有考虑各直接测量量测量工作的难易，所以按式（）求得的、不一定是合理的。有必要根据具体情况进行误差分配，即对那些容易实现测量精度的测量值，误差项尽可能缩小，对难以实现测量精度的测量值，误差项适当扩大。误差分配后，应按误差合成公式计算实际总误差，若超出给定的允许误差范围，应选择可能缩小的误差项再予缩小。若实

9、际总误差较小，可适当扩大难以测量的误差项的误差。按等效原则分配误差需注意：当有的误差已经确定而不能改变时（如受测量条件的限制，必须采用某种仪器测量某一项目时），应先从给定的允许总误差中去掉，然后再对其余误差项进行误差分配。例1 某圆柱体直径d约为25毫米，高h约为60毫米，要求测量体积的相对误差不超过1%，试分配d和h的测量误差。解：圆柱体的体积 V=，直接测量量个数为2根据式（）有根据等效原则有=0.5% ，=0.5%则d=25×0.25%=0.0625 毫米h=60×0.5%=0.3 毫米由此可见，直径d的测量要求较高，用一般游标卡尺难以满足要求，于是作如下调整：取=0

10、.8% ，=0.2%则d=25×0.4%=0.1 毫米h=60×0.2%=0.12 毫米这时d和h均可用一般游标卡尺测量，保证体积V的相对误差不超过1%。例 2 利用公式通过测量I和R来计算功率P，其中I=8A，R=15，要求测量功率P的标准误差不超过40W，试分配I和R的标准误差。解：，直接测量个数为2根据式(2.8.8)有=0.12 （A）=0.44 （）按式(2.8.4)校验：=（W）确定最佳测量方案由误差传递公式(2.8.3)和(2.8.4)可以看出：直接测量量个数越少，函数误差就会越小。所以间接测量中如果可用不同的函数公式来表示，则应选直接测量量个数最少的函数公式

11、；从式（）和(2.8.4)还可看出：，越小，函数误差也越小。不同函数公式所包含的直接测量量个数相同时，则应选取，较小的函数公式。根据这些原则，视具体情况即可指出达到最佳测量方案的趋向。例：测量消耗在电阻R中的电功率P。测量方案一：分别测量电阻R和加在电阻R两端的电压V，其测量结果为±±1%则根据电功率的计算式代入式(2.8.3)得电功率P的相对误差为=由于绝对误差V和R均可正可负，而不能确定其符号，故电功率测量误差应按最大误差计算，即=2×1%+1%=3%则P=P×3%=28.8 W测量方案二：分别测量流过电阻R的电流I和电阻R两端的电压V，测量结果分别

12、为 I=8.0 A±1% V=120.0 V ±1%则根据电功率计算式P=IV代入式(2.8.3)得电功率P的相对误差为=1%+1%=2%则P=P×2%=19.2 W测量方案三：分别测量流过电阻R的电流I和电阻R，测量结果分别为±±1%则根据式子有=±(2×1%+1%)=±3%则P=×3%=28.8 W 通过上述例子可以看出:（1）为了测量某一被测量的数值(如电功率)，可以通过不同途径来获得(即通过直接测量不同物理量，如I和V；或I和R；或V和R)。（2）由于使用的测量方法不同，尽管各直接测量量的相对误差

13、相同（如I、R、V的相对误差均为1%），但最终被测量的误差却不同，因此在选用测量方法时应注意选择最终误差小的测量方案（如本例中的方案二），这样就可以在满足允许误差的条件下选择准确度稍差的仪表，从而提高经济性，这就是所谓的最佳测量方案的选择。（3）使用直接测量某几个物理量而再通过函数关系来计算被测量的数值的测量方法，那末有时每一个直接测量量对被测量最终误差的影响程度是不同的（如本例中测量方案一和三，前者V的影响大，后者是I的影响大），因此就应把注意力集中在降低对被测量的最终误差影响大的那个直接测量量的误差。§2.9 线性参数的最小二乘法处理 1 概述讨论随机误差时，说过对某同一量进行一

14、列等精度测量所得测量值，可求得算术平均值以及各测量值的偏差；并且还提到偏差具有两个重要的特性，即，最小不等精度测量中，也可由一系列的测量值求得加权平均值，得到的偏差也具有两个特性，即，最小偏差的上述特性十分简单，但却是最小二乘法的理论基础。在工程实验和实际测量中，应用最小二乘法原理进行测量数据处理，所得到的测量结果的偏差平方和为最小。即是在满足最小条件下来求得的一个数值，这一数值必然是最可信赖的，这就是最小二乘法要研究的内容。最小二乘法在工程实际和实验技术中获得了广泛应用，诸如实验曲线的拟合，组合测量的数据处理等。下面就来讨论最小二乘法原理。2 最小二乘法原理最小二乘法是为了解决如何从一组测量

15、值中寻求最可信赖值的问题。对于等精度测量，已如前述，最可信赖值应该是各测量值相应的偏差平方和为最小的那个值。这个道理不难从随机误差的正态分布规律导出。首先，对测量误差可以作如下的假设：测量误差不存在系统误差（即无偏性），相互独立，且服从正态分布；标准误差为。设一组等精度测量值为，其最可信赖值为（平均值），相应的偏差分别为，则偏差落入 +d的概率为：由于各次测量是互相独立进行的，所以偏差同时出现的概率分别为各测量值出现的概率的乘积，即：在一组等精度测量值中，最可信赖值应该是出现机会最多的那个数值，也就是出现的概率P为最大时所求得的数值。可以这样来理解，根据随机误差特性，小误差出现概率将大于大误差

16、出现概率，因而出现机会越多，也就是说，概率越大的测量值，其真误差就越小，自然就被认为最可信赖。由上面式子不难看出，欲使P为最大，就应使VV=最小（）式中 高斯求和符号。这就证明了取出现概率为最大时的数值（最可信赖值，即通常所说的算术平均值）作为测量结果时，其相应的偏差平方和为最小。对于不等精度测量，有一列测量值，对应的标准误差分别为，最可信赖值为加权算术平均值，相应的偏差分别为；则偏差落入 +d的概率为：所以偏差同时出现的概率为：欲P为最大，就应满足：=最小因，用相应的权数表示时，上式可写成：=最小也即 PVV=最小（）式（）、（）表明，测量结果的最可信赖值对不等精度测量，应该在PVV=最小的

17、条件下求出；而对等精度测量，应该在VV=最小的条件下求出，这就是最小二乘法原理。通常最小二乘法既可应用于线性函数，也可应用于非线性函数。一般来说，非线性函数可以在某一区域内展成线性函数来处理，故在本节中主要是对线性函数的最小二乘法处理进行讨论。设有t个未知量（被测量）为：，直接测量n个量得测量值。测量量Y与被测量X之间的函数关系：） (2.9.3) ）方程式(2.9.3)称为测量方程组,它由拟定的测量方法所决定。若n=t，则可由式（）直接求得未知量X。但由于测量过程中不可避免地存在误差，所求得的结果也必然含有一定误差。为获得更可靠的结果和相应的精度估计，测量值Y的个数n一般总是大于未知量X的个

18、数t，即n>t，但此时不能由方程式(2.9.3)直接解得，怎样才能由测量数据获得最可信赖的结果？最小二乘法原理指出：最可信赖值应在使偏差平方和最小的条件下求得。若为直接测量量的估计量，则有：) ) ) 测量数据的偏差为：（）即： (2.9.5)方程式(2.9.4)和(2.9.5)叫做误差方程。对于线性函数的测量方程可表示为：(2.9.6)而相应的估计量为:(2.9.7)误差方程为: (2.9.8)线性参数的最小二乘法借助于矩阵进行讨论将有许多便利之处。下面给出最小二乘原理的矩阵形式。设列向量和n×t阶矩阵（n>t）为式中各矩阵元素n个直接测量结果（已获得的测量数据）；t个

19、待求的被测量的估计量；n个直接测量结果的偏差；n个误差方程的n×t个系数（i=1，2，n；j=1，2，t）。则线性参数的误差方程（）可表示为 - =即- =V （）等精度测量时,偏差的平方和最小这一条件的矩阵形式为 =最小即=最小或 (-)(-)=最小不等精度测量时,最小二乘原理的矩阵形式则为=最小或 ( -)P(-)=最小式中P为n×n阶权矩阵而，分别为测量值的权；为单位方差；，分别为测量值的方差。线性参数的不等精度测量可以转化为等精度测量的形式，从而可以利用等精度测量时测量数据的最小二乘法处理的全部结果。3 正规方程为获得更可靠的结果和相应的精度估计，测量次数n总是要大

20、于待求量个数t，这样，若采用一般解代数方程的方法是无法求解的，而要运用最小二乘法，从误差方程组求得最可信赖值。线性参数的最小二乘法处理程序为：利用求极值方法，根据最小二乘法原理将误差方程组转化为正规方程，解算正规方程，得到待求的估计值；给出精度估计。 3.1 等精度测量线性参数最小二乘估计的正规方程由线性参数误差方程（）有：根据最小二乘原理，在等精度测量中，应满足： VV= 最小为求得满足VV=最小时的估计量，可以利用求极值的方法来满足最小二乘原理，即对VV求导数，且令其等于0，于是有=-2 -2 - -2 =2（） +（） +（）-（）=0用高斯求和符号表示有 = = = =即=2+=0得

21、+=同理=0，=0s得 += += 又注意到上式中各二阶导数恒正，即>0>0>0可知，上面各方程求得的极值是最小值，满足最小二乘条件，于是可得： +=+= （） += 方程组（）即为等精度测量的线性参数最小二乘估计的正规方程组，它具有以下特点：沿主对角线分布着平方项系数，全为正值；沿主对角线两侧对称分布的各系数彼此两两相等，如与相等，与相等，；方程式个数等于未知量个数，即它是一个t元线性方程组，当其系数行列式不等于零时，有唯一确定解。现将线性参数的正规方程（）表示成矩阵形式。把正规方程组中第r个方程式（r=1，2，t） +=0改写成如下形式 + +=+=+=0由此，正规方程可

22、写成+v2+=0+=0 (2.9.11)+=0因而它可表示为 =即=0 (2.9.12)这就是等精度测量情况下以矩阵形式表示的正规方程。又因所以正规方程又可表示为即 (2.9.13) 设则正规方程又可写成 (2.9.14) 若A的秩等于t，则矩阵C是满秩的，即其行列式，那么必定有解，且有唯一解。式（）两边同乘以,得正规方程解的矩阵表达式: (2.9.15) 所得解的数学期望为E(=式中Y、X为列向量（n×1阶矩阵和t×1阶矩阵）式中矩阵元素为直接测量的真值，而为待求的被测量的真值。可见是X的无偏估计。例观察作匀速直线运动的物体，实验数据如下表，试估计运动方程。i 1 2 3

23、 4 5 6时间(s)距离(m)0 5 10 15 20 25 0 30.4 62.0 90.1 124.6 解: 假设直线运动方程为 S = a + bt写出误差方程: S- (a + b) =式中S在时间为时距离的测量值；a时间为时的初始距离； b物体作匀速直线运动的速度。为计算方便，将数据列表如下：iSS12345605101520250251002254006250015262024727513758358根据误差方程，按式(2.9.10)列出正规方程将表中计算的相应系数代入上式得 75a +1375b=8358解得因此该物体作匀速直线运动的方程为 s = 6.1 t3.2不等精度测量

24、线性参数最小二乘估计的正规方程由线性参数误差方程（）可有：根据最小二乘原理在不等精度测量中应满足 PVV=最小为求得满足PVV=最小的估计值，同样利用求极值的办法来满足最小二乘原理，即对PVV求导数，并令其等于0，则有=0 ，=0，=0经整理得如下方程 += += （） += 式中 r=1，2，t ； s =1，2，t式（）就是不等精度测量时最小二乘法处理的正规方程，它仍有前述等精度测量时正规方程的特点，即主对角线为系数的平方项，为正的，以主对角线为对称线的其它各相应项两两相等。为把正规方程（）化成等精度的形式，为此作代换 i=1，2，n ； r=1，2，t ；将其代入正规方程（），整理得到下

25、面正规方程 += += （） += 可以看出，上列正规方程在形式上已与等精度测量时的正规方程（）完全一致，将正规方程（）各式展开，整理后可得与式（）类似的结果。+=0+=0 (2.9.18)+=0用矩阵表示为 =即=0 (2.9.19)而所以式(2.9.19)又可表示为即该方程的解，即参数的最小二乘估计为 (2.9.20) 这就是不等精度测量时，线性参数的最小二乘估计。因为 E可见是X的无偏估计。3.3 非线性参数最小二乘估计的正规方程一般情况下，函数(i=1，2，n)为非线性函数，测量误差方程为 (2.9.21)是非线性方程组。一般来说，直接由它建立正规方程并求解是困难的，因此对于非线性函数

26、，则先采用线性化的方法，将其转化为线性函数，而后按线性函数的处理方法进行解算。取为待估计量的近似值，则其估计量可表示为： 式中 估计量与所取近似值的偏差，因此只需求得偏差即可。将函数在处展开。因为对于偏差，的二次方以上的高次项的值很小，可以忽略不计，故只取其一次项就能满足实际要求。+ (2.9.22)令 = ， = ， ， =将其代入(2.9.22)得：=（）+ +而=+ +=即-+ + = (2.9.23)这样非线性函数的误差方程(2.9.21)化成了线性函数的误差方程（）。故+ +=+ +=+ +=这时，即可按线性函数的情况列出正规方程并求解出。在非线性函数进行线性化的过程中，为了得到函数

27、的展开式，确定待求量X的近似值是一个很实际的问题，通常有两种方法：一是进行直接测量，所得结果可作为待求量的近似值；二是通过计算，从误差方程中选取最简单的t个方程，并令=0 ，得到t元齐次方程组，便可解得即为未知量的近似值。综上所述，不管是等精度测量还是不等精度测量，线性函数或非线性函数，经过数学上的处理，最后都可将它们转化和归结为线性函数等精度测量，然后按等精度测量的情况，建立正规方程，并解算之。4 精度估计对于直接测量值最小二乘法处理的最终结果，不仅要给出待求量的最可信赖值估计值，而且还要确定其可信赖的程度，即应给出所得估计量的精度。4.1 直接测量值的精度估计 为了确定最小二乘估计量的精度

28、，首先需要给出直接测量量的精度。直接测量量的精度也以标准误差来表示，因为无法求得的真值，故只能依据有限次的测量结果给出的估计值，即进行精度估计。 假设对包含有t个未知量的n个线性参数方程组（2.9.3）进行了n次独立的测量，获得n个测量值，其相应的测量误差分别为，它们是互不相关的随机误差。因一般情况下真误差是不可能知道的，而只能由偏差求出的估计值。当n适当大时，可写成 (2.9.24)可以证明VV/是自由度为（n-t）的变量。根据变量的性质，有(2.9.25)由式（2.9.25）可知，若按式(2.9.24)计算的来作为将有系统偏移，即不是的无偏估计量，而是有偏估计量。因为由此可见才是的无偏估计

29、量，所以应取作为的无偏估计量，即一般写成 (2.9.26)上述为等精度直接测量值的精度估计，而对于不等精度直接测量值的精度估计，与等精度测量时相似，只是将式(2.9.26)中偏差的平方和换成加权的偏差平方和，即直接测量值单位权的标准误差为： (2.9.27)4.2被测量的估计量的精度估计按最小二乘法所确定的未知量（被测量）的估计量的精度取决于直接测量值的精度和函数关系。对给定的方程组，若已知测量值的精度，就可求得被测量的估计量的精度。若有正规方程 += += += 为了给出由上述正规方程所确定的估计量的精度，可利用不定乘数法求出估计量的精度与直接测量值精度的关系，便可求得估计量精度估计的表达式

30、。 选取不定乘数：，；，；，；共个。 为求得，以，分别乘以上面正规方程组中各方程式可得+=+= (2.9.28) += 将方程组(2.9.28)各式相加得：+= 在选择，时，应使的系数为1，其它系数为0，即满足下述条件： =1 =0 (2.9.29) =0当满足条件(2.9.29)时,式(2.9.28)可写成：=+ =+ + +令则=因为为相互独立的正态随机变量，且为等精度的，即=，故+=（+）将等式右端的系数展开，并适当地全并同类项，注意到不定乘数，的选择条件式（2.9.29），最后可得同样，以，分别乘正规方程组中各方程式，然后相加，按合并同类项，而且在选择，时，应使 的系数为1，其它各系数为0，即使之满足下述条件： =0 =1 (2.9.30) =0则可求得的表达式，由此得依此类推，可得，。式中为直接测量值的标准误差。由上述计算可以发现，所选取的个不定乘数，；，；，；分别为下列各方程的解 + =1 + =0+ =0 + =0 + =1 (2.9.31)+ =0 + =0 + =0 + =1各不定乘数的系数与正规方程的系数完全一样，因此在实际计算时，可以利用解正规方程的中间结果来求取不定乘数，则各估计量的方差为：相应的标准误差为：不