第八章第9讲第1课时直线与圆锥曲线的位置关系

1、第 9 讲圆锥曲线的综合问题1直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程 C1与直线方程 l 联立消去 y，整理得到关于 x 的方程 ax2bxc0.方程 ax2bxc0 的解l 与 C1的交点a0b0无解(含 l 是双曲线的渐近线)无公共点b0有一解(含 l 与抛物线的对称轴平行(重合)或与双曲线的渐近线平行)一个交点a00两个不相等的解两个交点0两个相等的解一个交点0无实数解无交点(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系2直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为 k(k0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A，B 两点，

2、A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB| 1k2|x1x2| 1k2（x1x2）24x1x211k2|y1y2|11k2（y1y2）24y1y2.做一做1已知直线 xy10 与抛物线 yax2相切，则 a 等于()A.12B.13C.14D4解析：选 C.由xy10，yax2，消去 y 得 ax2x10，所以a0，14a0，解得 a14.2双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点为 F，直线 l 过焦点 F，且斜率为 k，则直线 l 与双曲线 C 的左，右两支都相交的充要条件是()AkbaBkbaCkba或 kbaDbakba解析：选 D.由双曲线渐近线的几何意义知bakba

3、.1辨明两个易误点(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行或重合时也相交于一点2 “点差法”求解弦中点问题的步骤设点设出弦的两端点坐标代入代入圆锥曲线方程作差两式相减，再用平方差公式把上式展开整理转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解做一做3过点(0，1)作直线，使它与抛物线 y24x 仅有一个公共点，这样的直线有()A1 条B2 条C3 条D4 条解析：选 C.结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有 3 条：直线 x0，过点(0，

4、1)且平行于 x 轴的直线以及过点(0，1)且与抛物线相切的直线(非直线 x0)4椭圆x22y21 的弦被点(12，12)平分，则这条弦所在的直线方程是_解析：设弦的两个端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x21，y1y21.A，B 在椭圆上，x212y211，x222y221.（x1x2） （x1x2）2(y1y2)(y1y2)0，即y1y2x1x2x1x22（y1y2）12，即直线 AB 的斜率为12.直线 AB 的方程为 y1212(x12)，即 2x4y30.答案：2x4y30第 1 课时直线与圆锥曲线的位置关系考点一_直线与圆锥曲线的位置关系_在平面直角坐标系 xOy

5、 中， 已知椭圆 C1：x2a2y2b21(ab0)的左焦点为 F1(1，0)，且点 P(0，1)在 C1上(1)求椭圆 C1的方程；(2)设直线 l 同时与椭圆 C1和抛物线 C2：y24x 相切，求直线 l 的方程解(1)因为椭圆 C1的左焦点为 F1(1，0)，所以 c1.将点 P(0，1)代入椭圆方程x2a2y2b21，得1b21，即 b1，所以 a2b2c22.所以椭圆 C1的方程为x22y21.(2)由题意可知，直线 l 的斜率显然存在且不等于 0，设直线 l 的方程为 ykxm，由x22y21，ykxm，消去 y 并整理得(12k2)x24kmx2m220.因为直线 l 与椭圆

6、C1相切，所以116k2m24(12k2)(2m22)0.整理得 2k2m210.由y24x，ykxm，消去 y 并整理得 k2x2(2km4)xm20.因为直线 l 与抛物线 C2相切，所以2(2km4)24k2m20，整理得 km1.综合，解得k22m 2或k22，m 2.所以直线 l 的方程为 y22x 2或 y22x 2.规律方法直线与圆锥曲线位置关系的判断方法：用直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数， 可以研究直线与圆锥曲线的位置关系，即用代数法研究几何问题，这是解析几何的重要思想方法直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点问题，实际上是研究方程组解的个数问题1.已知中心在原点

7、，焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为12，其中一个顶点是抛物线 x24 3y 的焦点(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若过点 P(2，1)的直线 l 与椭圆 C 在第一象限相切于点 M，求直线 l 的方程和点 M 的坐标解：(1)设椭圆 C 的方程为x2a2y2b21(ab0)，由题意，得 b 3.又ca12，解得 a2，c1，故椭圆 C 的方程为x24y231.(2)因为过点 P(2，1)的直线 l 与椭圆 C 在第一象限相切，所以 l 的斜率存在，故可设直线 l 的方程为 yk(x2)1.由x24y231，yk（x2）1，得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80.因为直线

8、 l 与椭圆相切，所以8k(2k1)24(34k2)(16k216k8)0.整理，得 32(6k3)0，解得 k12.所以直线 l 的方程为 y12(x2)112x2.将 k12代入式，可以解得 M 点的横坐标为 1，故切点 M 的坐标为1，32 .考点二_弦长问题_(2014高考辽宁卷)圆 x2y24 的切线与 x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为 P(如图)(1)求点 P 的坐标；(2)焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 P，且与直线 l：yx 3交于 A，B 两点若PAB 的面积为 2，求 C 的标准方程解(1)设切点为 P(x0，y0)(x00，y00)

9、，则切线斜率为x0y0，切线方程为 yy0 x0y0(xx0)，即x0 xy0y4， 此时， 两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S124x04y08x0y0.由 x20y2042x0y0知当且仅当 x0y0 2时，x0y0有最大值，即 S 有最小值，因此点 P 的坐标为( 2， 2)(2)设 C 的标准方程为x2a2y2b21(ab0)，点 A(x1，y1)，B(x2，y2)由点 P 在 C 上知2a22b21，并由x2a2y2b21，yx 3，得 b2x24 3x62b20.又 x1，x2是方程的根，因此x1x24 3b2，x1x262b2b2.由 y1x1 3，y2x2 3，得|A

10、B| 2|x1x2| 24824b28b4b2由点 P 到直线 l 的距离为32及 SPAB1232|AB|2，得 b49b2180，解得 b26 或3.因此 b26，a23(舍去)或 b23，a26.从而所求 C 的方程为x26y231.规律方法弦长的计算方法求弦长时可利用弦长公式， 根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后进行整体代入弦长公式求解注意注意两种特殊情况： (1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直； (2)直线过圆锥曲线的焦点2.设 F1，F2分别是椭圆 E：x2y2b21(0b1)的左、右焦点，过 F1的直线

11、l 与 E 相交于 A，B 两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列(1)求|AB|；(2)若直线 l 的斜率为 1，求 b 的值解：(1)由椭圆定义知|AF2|AB|BF2|4，又 2|AB|AF2|BF2|，得|AB|43.(2)设直线 l 的方程为 yxc，其中 c 1b2.A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 两点坐标满足方程组yxc，x2y2b21.化简得(1b2)x22cx12b20.则 x1x22c1b2，x1x212b21b2.因为直线 AB 的斜率为 1，所以|AB| 2|x2x1|，即43 2|x2x1|.则89(x1x2)24x1x24（1b2）（1b

12、2）24（12b2）1b28b4（1b2）2，因为 0b1.所以 b22.考点三_中点弦问题_(2014高考江西卷)过点 M(1，1)作斜率为12的直线与椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)相交于 A，B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于_解析设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21a2y21b21，x22a2y22b21，（x1x2） （x1x2）a2（y1y2） （y1y2）b20，y1y2x1x2b2a2x1x2y1y2.y1y2x1x212，x1x22，y1y22，b2a212，a22b2.又b2a2c2，a22(a2c2)，a22c2，ca22.

13、答案22本例条件变为：过点 M(1，1)的直线 l 与椭圆 C：x24y221(ab0)相交于A，B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，求直线 l 的方程解：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x214y2121，x224y2221，（x1x2） （x1x2）4（y1y2） （y1y2）20，y1y2x1x212x1x2y1y2.x1x22，y1y22，y1y2x1x212，直线 l 的方程为：y112(x1)，即 x2y30.规律方法处理中点弦问题常用的求解方法：1点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有 x1x2，y1y2，y1y2x1x2三个未知量

14、，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率2根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解注意中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足3.(2015广东肇庆模拟)已知双曲线 C 的两个焦点坐标分别为 F1(2，0)，F2(2，0)，双曲线 C 上一点 P 到 F1，F2距离差的绝对值等于 2.(1)求双曲线 C 的标准方程；(2)经过点 M(2，1)作直线 l 交双曲线 C 的右支于 A，B 两点，且 M 为 AB 的中点，求直线 l 的方程解：

15、(1)依题意，得双曲线 C 的实半轴长为 a1，焦半距为 c2，所以其虚半轴长 b c2a2 3.又其焦点在 x 轴上，所以双曲线 C 的标准方程为 x2y231.(2)设 A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则3x21y213，3x22y223，两式相减，得 3(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.因为 M(2，1)为 AB 的中点，所以x1x24，y1y22.所以 12(x1x2)2(y1y2)0，即 kABy1y2x1x26.故 AB 所在直线 l 的方程为 y16(x2)，即 6xy110.1(2015河南郑州市质量预测)过抛物线 y28x 的焦点 F 作

16、倾斜角为 135的直线交抛物线于 A，B 两点，则弦 AB 的长为()A4B8C12D16解析：选 D.抛物线 y28x 的焦点 F 的坐标为(2，0)，直线 AB 的倾斜角为 135，故直线 AB 的方程为 yx2，代入抛物线方程 y28x，得 x212x40.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦 AB 的长|AB|x1x2412416.2已知双曲线x2a2y2b21 与直线 y2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为()A(1， 5)B(1， 5C( 5，)D 5，)解析：选 C.双曲线的一条渐近线方程为 ybax，则由题意得ba2，eca1（ba）2 14 5.3 (2015昆阳

17、市调研)已知斜率为 2 的直线 l 与双曲线 C：x2a2y2b21(a0， b0)交于 A、B 两点，若点 P(2，1)是 AB 的中点，则 C 的离心率等于()A2 2B2C. 3. 2解析：选 D.设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入双曲线方程得x21a2y21b21，x22a2y22b21，两式相减得（x1x2） （x1x2）a2（y1y2） （y1y2）b2，y1y2x1x2b2（x1x2）a2（y1y2），2b2a221，ab.故双曲线是等轴双曲线，则离心率为 2.4经过椭圆x22y21 的一个焦点作倾斜角为 45的直线 l，交椭圆于 A，B 两点设O 为坐标原点，则OAO

18、B等于()A3B13C13或3D13解析：选 B.依题意，当直线 l 经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为 y0tan 45(x1)，即 yx1，代入椭圆方程x22y21 并整理得 3x24x0，解得 x0 或 x43，所以两个交点坐标分别为(0，1)，(43，13)，OAOB13，同理，直线 l 经过椭圆的左焦点时，也可得OAOB13.5 过抛物线 y22px(p0)的焦点 F， 斜率为43的直线交抛物线于 A， B 两点， 若AFFB(1)，则的值为()A5B4C.43D.52解析：选 B.根据题意设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AFFB，得(p2x1，y1)(x2p2，y2)

19、，故y1y2，即y1y2.设直线 AB 的方程为 y43(xp2)，联立直线与抛物线方程，消元得 y232pyp20.故 y1y232p，y1y2p2，（y1y2）2y1y2y1y2y2y1294，即1294.又1，故4.6(2015东北三省联考)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)，F( 2，0)为其右焦点，过 F且垂直于 x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为 2.则椭圆 C 的方程为_解析：由题意得c 2，b2a1，a2b2c2，解得a2，b 2，椭圆 C 的方程为x24y221.答案：x24y2217过点 M(2，2p)作抛物线 x22py(p0)的两条切线，切点分别为 A，B，若线

20、段 AB的中点的纵坐标为 6，则 p 的值是_解析：设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意得，yxp，切线 MA 的方程是 yy1x1p(xx1)，即 yx1pxx212p.又点 M(2，2p)位于直线 MA 上，于是有2px1p2x212p，即 x214x14p20；同理有 x224x24p20，因此 x1，x2是方程 x24x4p20 的两根，则 x1x24，x1x24p2.由线段 AB 的中点的纵坐标是 6，得 y1y212，即x21x222p（x1x2）22x1x22p12，168p22p12，解得 p1 或 p2.答案：1 或 28(2015郑州模拟)已知双曲线 x2y23

21、1 上存在两点 M，N 关于直线 yxm 对称，且 MN 的中点在抛物线 y218x 上，则实数 m 的值为_解析：设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN 的中点 P(x0，y0)，则x21y2131，x22y2231，x1x22x0，y1y22y0，由得(x2x1)(x2x1)13(y2y1)(y2y1)，显然 x1x2.y2y1x2x1y2y1x2x13，即 kMNy0 x03，M，N 关于直线 yxm 对称，kMN1，y03x0，又y0 x0m，P(m4，3m4)，代入抛物线方程得916m218(m4)，解得 m0 或8，经检验都符合答案：0 或89设抛物线 C：y24x，F 为

22、C 的焦点，过 F 的直线 L 与 C 相交于 A，B 两点(1)设 L 的斜率为 1，求|AB|的大小；(2)求OAOB的值解：(1)F(1，0)，直线 L 的方程为 yx1，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由yx1，y24x，得 x26x10，x1x26，x1x21.|AB| （x2x1）2（y2y1）2 2 （x1x2）24x1x2 2 3648.(2)设直线 L 的方程为 xky1，由xky1y24x，得 y24ky40，y1y24k，y1y24，OA(x1，y1)，OB(x2，y2)OAOBx1x2y1y2(ky11)(ky21)y1y2k2y1y2k(y1y2)1y1y24

23、k24k2143.10(2015衡水中学调研)已知椭圆 C 的对称中心为原点 O，焦点在 x 轴上，左、右焦点分别为 F1和 F2，且|F1F2|2，点(1，32)在该椭圆上(1)求椭圆 C 的方程；(2)过 F1的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，若AF2B 的面积为12 27.求以 F2为圆心且与直线 l 相切的圆的方程解：(1)由题意知 c1，2a32（32）2224，a2，故椭圆 C 的方程为x24y231.(2)当直线 lx 轴时，可取 A(1，32)，B(1，32)，AF2B 的面积为 3，不符合题意当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 yk(x1)，代入

24、椭圆方程得：(34k2)x28k2x4k2120，显然0 成立，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x28k234k2，x1x24k21234k2.可得|AB|12（k21）34k2，又圆 F2的半径 r2|k|1k2，AF2B 的面积为12|AB|r12|k| k2134k212 27，化简得：17k4k2180，得 k1，r 2，圆的方程为(x1)2y22.1(2015昆明三中、玉溪一中联考)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为32，右焦点到直线 xy 60 的距离为 2 3.(1)求椭圆的方程；(2)过点 M(0，1)作直线 l 交椭圆于 A，B 两点，交 x 轴于

25、 N 点，满足NA75NB，求直线 l 的方程解：(1)设右焦点为(c，0)，则|c 6|22 3，c 62 6，c 6或 c3 6(舍去)又离心率ca32，即6a32，解得 a2 2，则 b a2c2 2，故椭圆的方程为x28y221.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x0，0)，因为NA75NB，所以(x1x0，y1)75(x2x0，y2)，y175y2，易知当直线 l 的斜率不存在或斜率为 0 时，不成立，于是设 l 的方程为 ykx1(k0)， 联立ykx1x24y28消去 x 得(4k21)y22y18k20，因为0，所以直线与椭圆相交于是 y1y224k21，y1y218k24k21，由得，y254k21，y174k21，代入整理得 8k4k290，k21，k1.所以直线 l 的方程是 yx1 或 yx1.2已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)，其焦点为 F1，F2，离心率为22，直线 l：x2y