线性代数 向量的线性相关性ppt课件

1、12,nrR 定义定义给定向量给定向量，对于任何一组数，对于任何一组数12,， ，rkkkR , ,称向量称向量1122rrkkk为向量组为向量组的一个线性组合的一个线性组合Linear CombinationLinear Combination. . 12,rkkk， ，为组合的组合系数为组合的组合系数Combination Combination CoefficientCoefficient. . 12,r 定义定义设向量组设向量组及向量及向量有关系有关系1122rrkkk那么那么称为向量组的一个线性组合，或称称为向量组的一个线性组合，或称可由向量组可由向量组线性表示线性表示( (线性表出

2、线性表出) )Linear Linear ExpressionExpression. .12,rkkk， ，称为称为在该线性组合下的组合系数在该线性组合下的组合系数. 12,r 假设假设kk，那么称向量，那么称向量与与成比例成比例零向量是任一向量组的线性组合零向量是任一向量组的线性组合任一任一n n维向量维向量 12naaa 1100 ， 2010 ， ， 001n ，都是根本向量组都是根本向量组的一个线性组的一个线性组合合1122.nnaaa 向量向量可由可由12,m 线性表示，线性表示， 1212mmxxx 即方程组即方程组现实上，有现实上，有向量组中每一向量都可由该向量组线性表示向量组中

3、每一向量都可由该向量组线性表示有解有解. . 12:,rA 定义定义设设n n维向量组维向量组为零的数为零的数12,rkkk， ，使得，使得1122rrkkk 0 0, ,那么称向量组那么称向量组, ,假设存在不全假设存在不全 12:,rA 线性相关线性相关Linear DependentLinear Dependent. .反之，假设当且仅当反之，假设当且仅当120rkkk = = =，才有，才有1122rrkkk 0 0, ,那么称向量组那么称向量组12:,rA 线性无关线性无关Linear IndependentLinear Independent. .单独一个向量线性相关当且仅当它是零

4、向量单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量一向量组中存在一个向量，那么一定线性相关一向量组中存在一个向量，那么一定线性相关对于一个向量组，不是线性相关就是线性无关对于一个向量组，不是线性相关就是线性无关一个向量组中假设部分向量线性相关，那么整个一个向量组中假设部分向量线性相关，那么整个向量组也线性相关；一个向量组假设线性无关，那么向量组也线性相关；一个向量组假设线性无关，那么它的任何一个部分组都线性无关它的任何一个部分组都线性无关几何上：两向量线性相关几何上：两向量线性相关两向量共线；两向量共线；两向量线性相关两向

5、量线性相关两向量对应成比例两向量对应成比例三向量线性相关三向量线性相关三向量共面三向量共面.两向量线性无关两向量线性无关两向量不对应成比例两向量不对应成比例留意：向量组留意：向量组 12,m 线性相关性完全由线性相关性完全由 12120mmxxx 方程组方程组的处理定的处理定. .定理向量组线性无关定理向量组线性无关齐次线性方程组只需零解；齐次线性方程组只需零解；定理向量组线性相关定理向量组线性相关齐次线性方程组有非零解齐次线性方程组有非零解.推论推论 n个个n维向量线性相关维向量线性相关.0ija 推论推论n个个n维向量线性无关维向量线性无关.0ija 向量组线性无关向量组线性无关任何一个向

6、量都不能由其向任何一个向量都不能由其向量线性表示量线性表示定理定理向量组线性相关向量组线性相关至少有一个向量可由其他向至少有一个向量可由其他向量线性表示量线性表示定理定理证证 1:,irA110iirrkkk线性相关，线性相关，0ik 111111iiiirriikkkkk 111111iiriiiriiiikkkkkkkk 得证得证至少有一个系数不为零，无妨设至少有一个系数不为零，无妨设定理定理 假设向量组假设向量组线性相关，那么线性相关，那么可由独一线性表示可由独一线性表示. . 12:,rA 12:,rB 线性无关，而向量组线性无关，而向量组证证11220rrkkkk 设设线性无关，而向

7、量组线性无关，而向量组B B线性相关，线性相关，k，否那么与线性无关矛盾，否那么与线性无关矛盾1122rrkkkk 1212rrkkkkkk 可由线性表示可由线性表示.下证独一性：下证独一性：1122;rr 1122rr 两式相减有两式相减有 1112220rrr 线性无关，线性无关，11220,0,0rr 1122,rr 即表达式独一即表达式独一. .即有即有设设定理定理 设向量组设向量组 12,：rA 121 :,rrB 假设线性相关假设线性相关, ,那么向量组那么向量组B B也线性相关；反之，假设也线性相关；反之，假设向量组向量组B B线性无关，那么向量组也线性无关线性无关，那么向量组也

8、线性无关. . 121,Tiiimimiaaaa 定理定理 设向量组设向量组(1,2, )in 12Tiiimiaaa 假设线性无关，那么向量组假设线性无关，那么向量组B B也线性无关；反之，假设也线性无关；反之，假设向量组向量组B B线性相关，那么向量组也线性相关线性相关，那么向量组也线性相关. . 12,：nA 12,.：nB 其中其中(1,2, )in 留意：以上两个定理完全不同，千万不要混淆，第留意：以上两个定理完全不同，千万不要混淆，第一个定理中是向量的个数变，在方程组中表达在未知数一个定理中是向量的个数变，在方程组中表达在未知数的个数变；第二个定理中是向量的维数变，在方程组中的个数变；第二个定理中是向量的维数变，在方程组中表达在方程的个数变表达在方程的个数变. .1 1、设向量组、设向量组 130,Tk 212,Tk 3021 线性相关，那么线性相关，那么 . .2 2、设向量组、设向量组 10,Tac 20 ,Tbc 30Tab 线性无关，那么线性无关，那么, ,a b c必满足必满足 . .那么那么 A A、必可由线性表示；、必可由线性表示；1 212, B B、必可由线性表示；、必