柯西积分公式及高阶导数公式

1、第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分第第3 3节节 柯西积分公式柯西积分公式柯西积分公式柯西积分公式高阶导数公式高阶导数公式00( ).f zzzz 在 不解析在 不解析 设设B为单连通域为单连通域, f(z)在在B内解析内解析, z0B, 在在C内部作内部作CR: |z z0|=R (取其正向取其正向) 绕绕z0的任一正向简单闭曲线的任一正向简单闭曲线, 则则设设C为为B内内BC0z00()dRCf zzzz 0( )dCf zzzz 0( )dRCf zzzz 0R 02().if z 一、柯西积分公式一、柯西积分公式00001( )( )()d .d2()2CCf zf zf zz

2、zif zizzzz或或 定理定理(柯西积分公式柯西积分公式)：如果：如果f(z)在区域在区域D内处处解析内处处解析, C为为D内的任何一条正向简单闭曲线内的任何一条正向简单闭曲线, 它的内部完全它的内部完全含于含于D, z0为为C内部内部的任一点的任一点, 则则DC0z证明证明: 由于由于f(z)在在z0连续连续, DCCR zz0R 且且 R0, 存在存在d d 0, 当当|z z0|d d 时时, |f(z) f(z0)|0).z aazaza 例例2：求求221d ,()zCzzezz其中其中C为包含圆周为包含圆周|z|=1在内的任意正向简单闭曲线在内的任意正向简单闭曲线.001( )

3、()d .2Cf zf zzizz 如果各阶导数存在如果各阶导数存在, 并且导数运算可在积分号下并且导数运算可在积分号下进行进行, 则则0201( )()d ,2()Cf zfzzizz 由由 , 解析函数的积分表达式为解析函数的积分表达式为0302 1( )()d ,2()Cf zfzzizz ( )010!( )()d .2()nnCnf zfzzizz (1) 解析函数是否存解析函数是否存在各阶导数在各阶导数? (2) 导数运算可否在导数运算可否在积分号下进行积分号下进行?高阶导数公式高阶导数公式.二、高阶导数公式二、高阶导数公式( )010!( )()d2()nnCnf zfzzizz

4、 高阶导数公式高阶导数公式D 0zC定理定理(高阶导数公式高阶导数公式) 设函数设函数f (z)在区域在区域 D内解析内解析, z0 在在D内，内，C是是D内绕内绕z0的任一的任一正向正向简单闭曲线简单闭曲线, 且且C的内部全含于的内部全含于D,则则f (z)在在z0处存在各阶导数处存在各阶导数, 并且并且 (1,2,3,),n 说明说明:1) 解析函数具有任意阶导数；解析函数具有任意阶导数；可用函数可用函数 f(z)在边界上的值通过积分唯一在边界上的值通过积分唯一2)( )0()nfz确定。确定。说明说明:3) 高阶导数公式的应用高阶导数公式的应用: 可求积分可求积分10( )d()nCf

5、zzzz a) f(z)在简单闭曲线在简单闭曲线C及其内部解析及其内部解析, b) z0在在C的内部的内部.要注意要注意:高阶导数公式的作用高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导不在于通过积分来求导, , 而在于通过求导来求积分而在于通过求导来求积分. .001( )()d .2Cf zf zzzizzz zzfzzf )()(00证明证明 首先考虑首先考虑n=1的情形的情形. 因为因为z0在在C的内部的内部, 故当故当 | z| 适当小时适当小时, z0+ z也也在在C的内部的内部. 所以应用所以应用于是于是001( )( )dd2CCf zf zzzi zzzzzz 可知可知 Czzz

6、zzzzfid)()(2100 CCzzzzzzzzfizzzzfid)()()(21d)()(2102020I CzzzzzzzzfId)()()(21020 Cszzzzzzfzd)(21020因为因为f ( (z) )在在C上解析上解析, 所以在所以在C上连续上连续, 故有界故有界.00,2Rzzzzzz 012. zzzR 于是存在于是存在M 0, 使得使得|f (z)| M . 又因为又因为z0 是是C内部区域内的点内部区域内的点, 所以存在所以存在R 0, 使使 0z zzR 在在C的的内部区域内部区域.DC 0z R因此当因此当z在在C上时上时,0.zzR, 2Rz取取则则3,M

7、LIzR 所以所以其中其中L是曲线是曲线C的弧长的弧长. zzfzzfzfz )()(lim)(0000201( )d .2()Cf zzizz 利用类似的方法可求得利用类似的方法可求得因此因此, 当当 时时,0z 0.I 从而从而000300()()2!( )()limd ,2()Czfzzfzf zfzzzizz 证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数. .d)()(2!)(100)( Cnnzzzzfinzf 243d)1(1zzzz131! 32 zzi2. i 例例1. 求积分求积分3421d .(1)zzzz 解解 因为函数因为函数 在复平面解

8、析在复平面解析, 3( )1 f zz( )010!( )()d ,2()nnCnf zfzzizz 01z 在在 内内, n=3, 根据根据2z 12dcoszzzzze0)cos(! 12 zzzei0sincos2 zzzzezei.2 i 21cosd .zzezzz 例例2. 求积分求积分解解 因为函数因为函数 在复平面解析在复平面解析, ( )coszf zez 00z 在在 内内, n=1, 根据根据1z 例例3. 求积分求积分 22 d ,1zCezz 1C2Cxyo iCi Czzzed)1(22122222dd .(1)(1)zzCCeezzzz解解. 函数函数 在在C内的

9、内的 处不解析处不解析.22(1)zez zi 在在C内分别以内分别以i 和和 -i 为中心作正向圆周为中心作正向圆周 C1 和和 C2,由由其中其中C是正向圆周是正向圆周1zr 1d)1(22Czzze 1d)()(22Czzizizeizzizei 2)()!12(2(1).2ii e Czzzed)1( 22 2)1(iei 2)1(iei于是于是)(1(2iiieei ).1cos1(sin i222d(1)zCezz 同理同理(1).2ii e 222()d()zCezizzi1C2Cxyo iCi 柯西柯西-古萨古萨(CauchyGoursat)基本定理基本定理 设设B为为单单连通

10、域，则连通域，则0( ),Cf z dz f (z)在在B内解析内解析 C为为 B内任何一条闭曲线。内任何一条闭曲线。Morera定理定理 设设B为为单单连通域，连通域， 如如f (z)在在B内连续，内连续， 且对且对 B内任内任 何一条简单闭曲线何一条简单闭曲线C, 有有0( ),Cf z dz 则则 f (z)在在B内解析内解析 。典型例题 )1(12zz)(1izizz izizz )(1)(zf ,0iz 212d)1(1izzzz12( )dz if zzzi izizzi )(12. i 例例4. 4. 计算积分计算积分 2121d .1z izz z 解解 由由 , 2( )23

11、71zf zi 22371 .izz 例例5. 5. 设设C表示正向圆周表示正向圆周223,xy2371( )d ,Cf zz 求求(1).fi 于是于是 而而1+i 在在C内内, 所以所以( )2(67),fziz (1)2 ( 613 ).fii 解解 根据根据 , 当当z在在C内时内时,2112sin4d1zzzz 211d114sinzzzzz114sin2 zzzi2.2i 例例6. 6. 计算积分计算积分 其中其中2sin4d ,1Czzz 1(1) : 1;2Cz 1(2) :1;2C z (3) : 2.Cz 解解 (1) 根据根据 ,2112sin4d1zzzz 211d11

12、4sinzzzzz114sin2 zzzi2.2i (2) 根据根据 , 22d14sinzzzz 2112d14sinzzzz 2112d14sinzzzzii 2222.2 i (3) 根据根据 以及前面的结果以及前面的结果,解解1d0.znzezz 1dznzzze0)(2 zzei2. i 例例7. 7. 求积分求积分1d ,znzezz 其中其中n为整数为整数.(1) n 0时时, 函数函数 在在 上解析上解析.znez1z (2) n=1时时, 由由 得得由由 得得( )010!( )()d ,2()nnCnf zfzzizz 1dznzzze0)1()()!1(2 znzeni.)!1(2 ni可得可得(3) n1时时, 根据根据例例8. 8. 计算积分计算积分 其中其中C是正向圆周