数值分析上机实验报告

1、结果分析和讨论：1. 用二分法计算方程在1，2内的根。(,下同)计算结果为x= 1.423；f(x)= -3.7972e-007；k=18；由f(x)知结果满足要求，但迭代次数比较多，方法收敛速度比较慢。2. 用二分法计算方程在1，1.5内的根。计算结果为x= 1.32471847534180；f(x)= 2.2815e-006；k=17；由f(x)知结果满足要求，但迭代次数还是比较多。3. 用Newton法求解下列方程a) x0=0.5；计算结果为x= 0.56714329040978；f(x)= 2.2213e-016；k=4；由f(x)知结果满足要求，而且又迭代次数只有4次看出收敛速度很

2、快。b) x0=1；c) x0=0.45, x0=0.65； 当x0=0.45时，计算结果为x= 0.49999999999983；f(x)= -8.362754932994584e-014；k=4；由f(x)知结果满足要求，而且又迭代次数只有4次看出收敛速度很快，实际上该方程确实有真解x=0.5。当x0=0.65时，计算结果为x= 0.500；f(x)=0；k=9；由f(x)知结果满足要求，实际上该方程确实有真解x=0.5，但迭代次数增多，实际上当取x00.68时，x1，就变成了方程的另一个解，这说明Newton法收敛与初值很有关系，有的时候甚至可能不收敛。4. 用改进的Newton法求解，

3、有2重根，取 x0=0.55；并与3.中的c)比较结果。当x0=0.55时，程序死循环，无法计算，也就是说不收敛。改时，结果收敛为x=0.586；f(x)=4.385198907621127e-007；k=16；显然这个结果不是很好，而且也不是收敛至方程的2重根上。当x0=0.85时，结果收敛为x= 1.489；f(x)= 2.394337647718737e-023；k=4；这次达到了预期的结果，这说明初值的选取很重要，直接关系到方法的收敛性，实际上直接用Newton法，在给定同样的条件和精度要求下，可得其迭代次数k=15，这说明改进后的Newton法法速度确实比较快。结论： 对于二分法，只

4、要能够保证在给定的区间内有根，使能够收敛的，当时收敛的速度和给定的区间有关，二且总体上来说速度比较慢。Newton法，收敛速度要比二分法快，但是最终其收敛的结果与初值的选取有关，初值不同，收敛的结果也可能不一样，也就是结果可能不时预期需要得结果。改进的Newton法求解重根问题时，如果初值不当，可能会不收敛，这一点非常重要，当然初值合适，相同情况下其速度要比Newton法快得多。结果分析和讨论：例 用最小二乘法处理下面的实验数据.xi3456789fi2.012.983.505.025.476.027.05并作出的近似分布图。分别采用一次，二次和五次多项式来拟合数据得到相应的拟合多项式为：y1

5、=-0.38643+0.82750x；y2=-1.03024+1.06893x-0.02012x2；y5=-50.75309+51.53527x-19.65947x2+3.66585x3-0.32886x4+0.01137x5；分别作出它们的曲线图，图中点划线为y1曲线，实线为y2曲线，虚线为y5曲线。x为给定的数据点。从图中可以看出并不是多项式次数越高越好，次数高了，曲线越能给定点处和实际吻合，但别的地方就很差了。因此，本例选用一次和两次的多项式拟合应该就可以了。结果分析和讨论：本实验采用函数进行数值插值，插值区间为-1，1，给定节点为xj=-1+jh,h=0.1，j=0,，n。下面分别给出

6、Lagrange插值，三次样条插值，线性插值的函数曲线和数据表。图中只标出Lagrange插值的十次多项式的曲线，其它曲线没有标出，从数据表中可以看出具体的误差。表中，L10(x)为Lagrange插值的10次多项式，S10(x)，S40(x)分别代表n=10，40的三次样条插值函数，X10(x)，X40(x)分别代表n=10，40的线性分段插值函数。x f(x) L10(x) S10(x) S40(x) X10(x) X40(x) -1.000 0.154 0.154 0.154 0.154 0.154 0.154 -0.950 0.239 1.92363114971920 0.040 0.

7、239 0.910 0.239 -0.900 0.941 1.57872099034926 0.458 0.941 0.665 0.941 -0.850 0.344 0.71945912837982 0.979 0.344 0.421 0.344 -0.800 0.176 0.176 0.176 0.176 0.176 0.176 -0.750 0.378 -0.23146174989674 0.744 0.378 0.882 0.378 -0.700 0.321 -0.22619628906250 0.866 0.321 0.588 0.321 -0.650 0.649 -0.418 0.8

8、49 0.649 0.294 0.649 -0.600 0.100 0.100 0.100 0.100 0.100 0.100 -0.550 0.11678832116788 0.257 0.11783833017713 0.11678832116788 0.125 0.11678832116788 -0.500 0.276 0.25375545726103 0.140 0.276 0.000 0.276 -0.450 0.16494845360825 0.23496854305267 0.16722724315883 0.16494845360825 0.175 0.164948453608

9、25 -0.400 0.200 0.200 0.200 0.200 0.200 0.200 -0.350 0.246 0.196 0.244 0.246 0.275 0.246 -0.300 0.331 0.23534659131080 0.29735691695860 0.331 0.350 0.331 -0.250 0.392 0.34264123439789 0.387 0.392 0.425 0.392 -0.200 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 -0.000 0.640 0.67898957729340 0.65746969368431 0.

10、640 0.625 0.640 -0.100 0.800 0.84340742982890 0.828 0.800 0.750 0.800 -0.000 0.94117647058824 0.95862704866073 0.94832323122810 0.94117647058824 0.875 0.94117647058824 0 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.000 0.94117647058824 0.95862704866073 0.94832323122810 0.94117647058824 0.875 0.941176470588

11、24 0.100 0.800 0.84340742982890 0.828 0.800 0.750 0.800 0.000 0.640 0.67898957729340 0.65746969368431 0.640 0.625 0.640 0.200 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.250 0.392 0.34264123439789 0.387 0.392 0.425 0.392 0.300 0.331 0.23534659131080 0.29735691695860 0.331 0.350 0.331 0.350 0.246 0.196 0.2

12、44 0.246 0.275 0.246 0.400 0.200 0.200 0.200 0.200 0.200 0.200 0.450 0.16494845360825 0.23496854305267 0.16722724315883 0.16494845360825 0.175 0.16494845360825 0.500 0.276 0.25375545726103 0.140 0.276 0.000 0.276 0.550 0.11678832116788 0.257 0.11783833017713 0.11678832116788 0.125 0.11678832116788 0

13、.600 0.100 0.100 0.100 0.100 0.100 0.100 0.650 0.649 -0.418 0.849 0.649 0.294 0.649 0.700 0.321 -0.22619628906250 0.866 0.321 0.588 0.321 0.750 0.378 -0.23146174989674 0.744 0.378 0.882 0.378 0.800 0.176 0.176 0.176 0.176 0.176 0.176 0.850 0.344 0.71945912837982 0.979 0.344 0.421 0.344 0.900 0.941 1

14、.57872099034926 0.458 0.941 0.665 0.941 0.950 0.239 1.92363114971920 0.040 0.239 0.910 0.239 1.000 0.154 0.154 0.154 0.154 0.154 0.154 从以上结果可以看到，用三次样条插值和线性分段插值，不会出现多项式插值是出现的Runge现象，插值效果明显提高。进一步说，为了提高插值精度，用三次样条插值和线性分段插值是可以增加插值节点的办法来满足要求，而用多项式插值函数时，节点数的增加必然会使多项式的次数增加，这样会引起数值不稳定，所以说这两种插值要比多项式插值好的多。而且在给

15、定节点数的条件下，三次样条插值的精度要优于线性分段插值，曲线的光滑性也要好一些。结果分析和讨论： 进行具体的积分时，精度取R=1e-8。1. 求积分。精确解I= 24999676。运行程序得Romberg积分法的函数表为1.0e+007 * 4.700 3.000 2.63753307500000 2.49996760000000 2.49996760000000 0 2.49996760000000 0 0由函数表知Romberg积分给出的结果为2.4999676*107，与精确没有误差，精度很高。2. 求积分。精确解I=ln3= 1.811。运行程序得Romberg积分法的函数表为1.33

16、333333333333 1.16666666666667 1.11666666666667 1.168 1.303 1.846 1.5591.11111111111111 1.100 1.535 1.048 1.027 1.130 01.926 1.371 1.749 1.625 1.937 0 01.600 1.533 1.306 1.164 0 0 01.313 1.850 1.179 0 0 0 01.593 1.046 0 0 0 0 01.019 0 0 0 0 0 0从积分表中可以看出程序运行的结果为1.019，取8位有效数字，满足要求。3. 求积分。直接按前面方法进行积分，会发

17、现系统报错，出现了0为除数的现象。出现这种情况的原因就是当x=0时，被积函数分母出现了0，如果用一个适当的小数（最好不要小于程序给定的最小误差值，但是不能小于机器的最大精度）来代替，可以避免这个问题。本实验取，可得函数表为：0.929 0.93979327500190 0.94451351171417 0.94569085359489 0.94598501993743 0.946 0.946 0.946 0.946 0 0.946 0.946 0.946 0 0 0.946 0.946 0 0 0 0.946 0 0 0 0故该函数的积分为0.946，取8位有效数字。4. 求积分本题的解析解很难给出，但运用Romberg积分可以很容易给出近似解，函数表为：0.425 0.334 0.322 0.31168023948094 0