MATLAB优化工具箱在机械优化设计中的应用-

1、 文章编号:1002-6886(200906-0011-03MATLAB 优化工具箱在机械优化设计中的应用曹保金,秦小屿(西华大学机械工程与自动化学院,四川成都610039作者简介:曹保金(1982-,男,山东人,硕士研究生,主要研究方向:计算机辅助工程。秦小屿(1959-,男,副教授,主要研究方向:现代机械设计理论、机械CAD 、基于网络化的工程设计。收稿日期:2009-6-1摘要:研究了以人字架机构的质量最小为目标函数,应用现代优化设计理论技术建立其优化设计模型的方法,详细论述了MAT -LAB 优化工具箱在机械优化设计中的应用,特别是对MATLAB 优化工具箱中的有约束规划应用给出了比较

2、详细的介绍。优化结果表明该设计方法对于解决机械优化设计问题非常有效。关键词:优化设计 MATLAB 非线性约束 机械 人字架中图分类号:TP202+.7 文献标识码:BApplicati onMAT LAB Optimizati on Toolb ox inMechanic al Opti m iz ati on Desi gnCAO Baoji n ,QIN X i ao yuAbstract :Thi s paper ,regardi ng them i n m i u m m ass of propeller strut structure as the objecti ve funct

3、i on ,uses the theory and techni que of modern optm i al desi gn to buil d t heway of optm i all y desi gni ngm odels and i n detaild i scusses the app licati on ofMATLAB Optm i izati on Tool boxto the optm i al design ofm achi ne ,especiall y discussi ng amore detailed constrai ned p l anni ng app

4、licati on ofMATLAB Optm i izati on Tool box .The res u lt s ho w s that t h i s optm i al desi gn method is very effecti ve to solve t he optm i al desi gn of mach i ne .Key words :optm i al desi gn ;MATLAB ;non -li near constrai n ;m achi nery ;propell er strut0 前言机械优化设计,就是在给定的载荷或环境条件下,在对机械产品的形态、几何

5、尺寸关系以及其他因素的限制(约束范围内,以机械系统的功能、强度和经济性等为优化对象,选取设计变量,建立目标函数和约束条件,并使目标函数获得最优值的一种现代设计方法1。目前,已有很多成熟的优化方法程序可供选择,但它们各有自己的特点和适用范围;实际应用时必须注意因为优化方法或初始参数选择而带来的收敛性问题及机时问题。而MATL AB 语言的优化工具箱则选用最佳方法求解,初始参数输入简单,语法符合工程设计语言要求,编程工作量小,优越性明显。1 MATL AB 语言及其优化工具箱简介MATL AB 是由美国M at h W or ks 公司开发的集科学计算、数据可视化和程序设计为一体的工程应用软件,被

6、广泛应用于自动控制、机械设计、流体力学和数理统计等工程领域。工程技术人员通过使用MATL AB 提供的工具箱,可以高效的求解复杂的工程问题,并可以对系统进行动态的仿真,用强大的图形功能对数值计算结果进行显示。其中优化工具箱的应用包括:线性、非线性最小化,方程求解,曲线拟合,二次规划等问题中大型课题的求解方法,为优化方法在工程中的实际应用提供了更方便、快捷的途径。2 MATLAB 优化工具箱中有约束规划应用工程优化设计问题绝大多数属于约束非线性规划问题3。目前,对于非线性约束优化问题的解法很多,但这些算法仅仅能解决一类特殊的非线性规划问题。早期的方法通常是通过构造惩罚函数来将有约束的最优化问题转

7、化为无约束最优化问题进行求解。现在,这些方法已经被更有效的基于K-T(Kuhn Tucker方程解的方法所取代。K -T 方程是有约束最优化问题求解的必要条件,是非线性规划算法的基础,这些算法直接计算拉格朗日乘子。通过拟牛顿法更新过程,给K T 方程积累二阶信息,可以保证有约束拟牛顿法的线性收敛。这些方法称为序列二次规划法(S QP 法,因为在每次主要的迭代中都求解一次二次规划问题。MATL AB 优化工具箱的命令函数f m i nc on 可以处理有约束非线性多元函数的优化问题。多变量约束非线性规划问题的数学模型可表示为:m i nf(x S .t C (x 0(非线性不等式约束ce q(x

8、 =0(非线性等式约束Ax b (线性不等式约束Aeq x =beq (线性等式约束L b x U b (边界约束f m i ncon 函数的使用格式如下:xop,t f xop,t exitflag ,ou-t pu,t gr ad ,hessi on=f m i nco n(f un ,x0,A ,b ,Aeq ,beq ,Lb ,Ub ,.#11#设计#研究#分析N lc .,opti ons ,P1,P2,其中,输出参数:xopt 为目标函数的最优解;f xopt 为目标函数在最优点X 的函数值;e xitflag 是返回算法的终止标志;o utpu t 负责返回优化结果信息,主要有迭

9、代次数、最后一次迭代计算次数、步长、算法、一阶导数等;grad 返回目标函数在最优点X 的梯度值,hessia n 返回目标函数在最优点X 的hessia n 矩阵。输入参数:f un 是调用目标函数的函数文件名;x 0为初始点;A 和b 分别为线性不等式约束条件的系数矩阵与常数矩阵;Aeq 和beq 分别为线性等式约束条件的系数矩阵与常数矩阵;L b 为设计变量X 的下界向量,U b 为上界向量;-N lc .是定义非线性约束条件的函数名;o ptio ns 为设置优化选项参数;P 1、P 2等是传递给函数fun 的附加参数。利用MATL AB 解决工程中的实际问题,其具体步骤如下:1根据设

10、计要求和目的定义优化设计问题,判断优化问题的类型。分析时要区分:单目标与多目标问题;线性与非线性问题;是否为线性规划问题等几种情况;2根据优化问题的类型建立数学模型,选定优化函数。例如,本例属于单目标多变量非线性约束优化问题,故选定f m inc on 优化模块;3确定必要的数据和设计初始点;4根据目标函数的性态,预设优化选项;5在所有的输入参数定义后,调用优化函数进行优化程序调试;6根据优化过程的具体提示信息,修改优化选项的设置,直到达到满足优化函数所需的优化条件为止;7对所得优化数据和设计方案进行合理性和适应性分析。3 采用MATL AB 软件进行优化分析311优化问题示例如图1所示的人字

11、架由两个钢管组成, 其顶点受外力2F =3105N 。已知人字架跨度2B =152c m,钢管壁厚T=0.25c m,钢管材料的弹性模量E =2.1105M Pa ,材料密度Q =7.8103kg /m 3,许用压应力R y =420M Pa 。求钢管压应力R 不超过许用压应力R y 和失稳临界应力R e 的条件下,人字架的高h 和钢管平均直径D 使钢管总质量m 为最小3-4。根据以上描述可以把人字架的优化设计问题归结为:求x =D,hT,使结构质量m (x y m i n 但是应满足强度约束条件R (x R y 和稳定约束条件R (x R e 。1确定设计变量由于需求人字架的高h 和钢管的平

12、均直径D 才能求出钢管的质量,所以可把人字架的高h 和钢管的平均直径D 作为设计的变量:X =x 1,x 2T=D,h T2确定目标函数要求钢管的质量m 最小,则可建立如下的目标函数:m (D,h =2P Q TD (B 2+h 21/23确定约束条件强度约束条件R y R ,即:F (B 2+h 21/2P TD h R y稳定性约束条件R R e ,即:F (B 2+h 21/2P TD hP 2E (T 2+D 28(B 2+h 2根据经验可以设置D 和h 的取值范围为10D 120和200D 1000,即边界约束条件:0D -100120-D 0h -20001000- h 4数学模型

13、由以上条件分析可知,这是一个含有六个约束的二维非线性优化问题,将所有函数表达式规范化并代入已知数据,得优化设计的数学模型为:X =x 1,x 2T=D,hTm i n f (x=122.522410-3x 1577600+x 22s #t #g 1(x=420-6104577600+x 22P x 1x 20g 2(X =259078.3272(x 21+6.25577600+x 22-v w6104577600+x 221x 20g 3(X =x 1-100g 4(X =120-x 10g 5(X =x 2-2000g 6(X =1000-x 20312用MATLAB 实现数学模型求解1编写

14、目标函数的M 文件(rzj qh .m functi on f=rzjqh(x;B =1520;T=2.5;Q =7.8e-3;#12#现代机械 2009年第6期f=2*p*i Q*x(1*T*sqrt(B/22+x(22;2编写约束函数的M文件(rzjyh.mfuncti ong,ceq=rzjy h(x;B=1520;T=2.5;P=300000;E=2.1e5;F1=420;Q=0.5*P*sqrt(B/22+x(22/x(2;st=Q/(p*i T*x(1;g(1=st-F1;F2=0.125*p i2*E*(x(12+T2/(B/22+x(22;g(2=st-F2;ceq=;3在命令

15、窗口中编写调用主程序x0=100;700;lb=10;200;ub=120;1000;a=zeros(4,2;a(1,1=-1;a(2,1=1;a(3,2=-1;a(4,2=1;b=-10;120;-200;1000;op ti ons=optm i set(c d i sp lay c,c iter c,c largescale c,c off c;x,f va,l exitfl ag,outpu t=f m i ncon(rz j zh,x0,a,b, ,l b,ub,rzj yh,opti ons;g=r z j yh(xd isp c人字架质量优化设计最优解cfpri ntf(1,c钢

16、管平均直径D=%3.4f mm/n c,x(1fpri ntf(1,c人字架高度h=%3.4f mm/n c,x(2fpri ntf(1,c人字架质量m=%3.4f g/n c,fval4运行结果表1迭代次数、函数值表迭代次数k012,1011 f(X12659.69923.059098.35,8468.578468.57人字架质量优化设计最优解:钢管平均直径D=64.3083mm人字架高度h=760.0000mm人字架质量m=8468.5714g根据上面的计算结果可以得到,优化程序经过11次迭代计算收敛于最优解。所以,当人字架的高h和钢管的平均直径D分别取760.0000mm、64.3083

17、mm时人字架质量最小为8468.5714g。把所得到的参数代入各约束条件,可以证明各稳定约束条件都能得到满足,而且,计算精度比参考文献3高,所以D和h在设计平面的可行域内,且是使机构最佳的参数。4结论通过以上实例可以看出,应用MATLAB优化工具箱能很好地实现优化设计的算法过程,且求解方便快捷,程序简明,结果稳定可靠、精度高,收敛效率高,大大提高了工作效率,有着较大的优越性,是解决机械优化设计问题的重要工具。尤其是对于某些人工无法解决的问题, MATLAB无疑是设计人员的有利工具。参考文献1王凤岐,张连洪,邵宏宇.现代设计方法M.天津:天津大学出版社,20042张志涌,徐彦琴等.MATLAB教程M.北京:北京航空航天大学出版社,20053孙靖民,梁迎春.机械优化设计M(4版.北京:机械工业出版社,20074郭仁生.基于MATLAB和Pro/ENGI NEER优化设计实例解析M.北京:机械工业出版社,2007(上接第10页靠性,可以考虑在支架两侧面增加支撑板,以改善支架拐角处的