2019年揭阳市高考一模试题(理数)

1、6 .2019 年揭阳市高考“一模”试题数学（理科）本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位 号填写在答题卡上.2 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液， 不按以上要求作答的答案无效.4考生必须保持答题卡的整洁，考试结

2、束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么n次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率Pn（k）=C：Pk（1 -PT.、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的.5 . 一质点受到平面上的三个力尺丁2怎（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态. 已知F1,F2成120角，且匕丁2的大小分别为 1 和 2,则有fifhrtA.F1,F3成90角 B .F1, F3成150角C .F2,F3成90角D .F2,F3成60角1.已知集合A =1,2?, B =a, b,若API B =,则AUB为.

3、2.1A?,1,b1C. 込1.-1,-,1设函数f（x）二cos（2x -禦） ,则f (x)是A .最小正周期为二的奇函数C .最小正周期为一的奇函数2已知随机变量服从正态分布.最小正周期为.最小正周期为二的偶函数-的偶函数2N(2,-2),P( _ 4) =0.84，贝U P( -0)=A . 0.16B.0.32C.0.68D.0.844.数列an是公差不为 0 的等差数列，且a1,a3,a7为等比数列bn的连续三项，则数列bn的公比为A.、2B.4C.2D1 23.表示的平面区域为ByD D7.一物体 A 以速度v=3t +2（t的单位：s,v的单位：m/s）,在一直线上运动，在此直

4、线上在物体 A 出发的同时，物体 B 在物体 A 的正前方 8m 处以 v=&（t的单位：s,V的单 位：m/s）的速度与 A 同向运动，设ns 后两物体相遇，则n的值为、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分.（一）必做题（9- 13 题）f (x 1),x：4.13 .下图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图， 已知图甲A.4帀 B .2103&平面内称横坐标为整数的点为“次整点”线，则倾斜角大于 45的直线条数为.A. 10B. 11C . 4D. 5.过函数y二一9X2图象上任意两个次整点作直C

5、. 12D. 139.已知函数y二lg（4 -x）的定义域为A，集合B二x| x：a，若 P：Q：“B”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围 _.x2y210 .双曲线1上一点 P 到右焦点的距离是实轴两端点到右焦169点距离的等差中项，贝 yP点到左焦点的距离为_ .11.某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其直观图的三视图如右图示（单位长度：cm,图中水平线与竖线垂直），则制作该工件用去的 铁皮的面积为 _cm2.（制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）12 .已知函数f (x)二1X(2)心则f(log23)=中从左向右第一组的频数为4000.在样本中记月收入在 1000,1500，1500,2

6、000）, 2000,2500）,2500,3000）,3000,3500）,3500, 4000的人数依次为A、A、代.图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图， 则样本的容量n；图乙输出的S二_ .（用数字作答）图甲（二）选做题（14、15 题，考生只能从中选做一题）X = 1 +114.（坐标系与参数方程选做题）设直线1,的参数方程为（t为参数），以坐标原y = a + 3t点为极点，X轴为极轴建立极坐标系得另一直线12的方程为sin v-3cos4 = 0.若直线h与12间的距离为、10，则实数a的值为_ .15.（几何证明选做题） 如图，已知P是L O外一点，PD为L

7、 O的切线，D为切点，割线 PEF 经过圆心O,若PF =12,PD=纸3,则.EFD的度数为_ 三解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本题满分 12 分）z2二m (m -3cos2 x)i ( ,m,XR,),且 乙二z?.（1 ）若= 0且0：x：二，求X的值;某品牌的汽车 4S 店，对最近 100位采用分期付款的购车者进行 统计，统计结果如右表所示：已知分 顾客分 1 期付款，其利润为 1 万元;（2）设-=f（X），已知当 x = 时,1兀=2，试求cos（4）的值./输入 A1?A2,A6/IS= 0,i = 2|i=i+1是+

8、 是S=S+AJ图乙已知复数 乙=sin2x：；i17.（本题满分 12 分）付款方式分 1 期分 2 期分 3 期分 4 期分 5 期频 数4020a10b频率组距开始/输出 S/结束3 期付款的频率为 0.2 , 4S 店经销一辆该品牌的汽车， 分 2期或 3 期付款其利润为 1.5 万元；分 4 期或 5 期付款，其利润为 2 万元用表示经销一辆汽车的利润（1）求上表中的a,b值；（2）若以频率作为概率，求事件 期付款”的概率P（A）;（3）求 的分布列及数学期望 18.（本题满分 14 分）右图为一简单组合体，其底面EC / PD，且PD =2EC, 求证：BE/平面 PDAN为线段P

9、B的中点，求证：EN_平面PDB;PD二A2，求平面 PBE 与平面 ABCD 所成的二面角的大小.(1)(2)(3)ADA: “购买该品牌汽车的 3 位顾客中，至多有 1 位采用 3ABC:为正方形，PD _平面ABCD,B19 (本题满分 14 分)2 2已知如图，椭圆方程为xI- =1(4 b 0).P 为椭圆上的动点16 b2Fi、F-为椭圆的两焦点，当点P 不在 x 轴上时，过 R 作/ F1PF-的外角平分线的垂线 F1M,垂足为 M 当点 P 在 x 轴上时，定义 M 与 P 重合.(1)求 M 点的轨迹 T 的方程；(2)已知0(0,0)、E(2,1)，试探究是否存在这样的点Q

10、:Q是轨迹内部的整点(平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点)S0EQ2?若存在，求出点 Q 的坐标，若不存在，说明理由.20.(本题满分 14 分)设函数f (x) = x| x _1| m,g(x) = In x.(1)当m . 1时，求函数y = f (x)在0, m上的最大值；(2)记函数p(x) = f (x)-g(x)， 若函数p(x)有零点， 求 m 的取值范围 21 .(本题满分 14 分)x1已知：x1, x2（%：x2）是方程x2-6x 5=0的两根，且yn口 ,xn.2= （5）xnd.*xnynn N.（门求, y2,y3的值；n(2)设Zn= y.yn卅，求证：送z狂2

11、6n；i=1(3)求证：对十N有|y2n-ynJ_1_625 26n W.，且 OEQ 的面积yP参考答案及评分说明一.选择题： DBAC ACCB11 1解析：1 由Q B=得2a=-1,b，故选 D.2.f (x) = cos(2x-二)-cos2x，可知答案选 B.3由正态分布的特征得P乞0)=1 - P乞4) =1 - 0.84 =0.16，选 A.经=2，选 C.5.由匸F?F3=0=F3- -(FF2)二F32=(FF2)2= F21F222| F1| | F2|cos120-14 4|F3|= . 3由|吒| = 1,| F2|= 2,| F31=、3知，F.j, F3成90角，

12、故选 A.C.nQn7依题意得 (3t22)dt = 8亠I 8tdt,n32n = 8 4n2=(n -4)(n22) = 0=n = 4,选 C.&如图，设曲线 y =J9-X2的次整点分别为P,R,川P7,过点P倾斜角大于 45的直线有RP2,PP3，过点B的有BB,过点F3有PR、P3P7，过点巳有P4P、P4P5、47，过点P有PsRRB,过点P6的有P6P7,共 11 条，故选 B.1二、填空题：9.aA4； 10. 13_、； 11.100(3+75); 12. 一 ；24科网 13. 10000、6000; 14.9 或- 11; 15. 30 .解析：9.A=x|xv

13、4，由右图易得a4.4.设数列an的公差为d(d式0),由af =a1a7得(a +2d)2=印(耳+6d)n a =2d6.不等式组f(x)-f(y) _0;1 _x _4.x_y _0;即x y-5_0;或x y 5乞0;1x乞4.1乞x乞4.故其对应平面区域应为图F210.由a =4,b =3得c = 5设左焦点为F1,右焦点为F?,则IPF2(a + c + c a)= c = 5,由双曲线的定义得：| PF1|=2a |PF2戶8 13.11.该几何体的形状如图，它是底面为正方形，各个侧面均为直角三角形的四棱锥，用去的铁皮的面积即该棱锥的表面积12.由已知得f (log23) = f

14、 (log23 1) = f (log23 2) = f (log23 3) = f(log224)log2(24 )丄12二2413.v月收入在1000,1500）的频率为0.0008 500 =0.4，且有 4000 人样本的容量 n =4000= 10000,由图乙知输出的s = A2A3 HIAs=10000 0.44000=6000.14.将直线h的方程化为普通方程得3x-y，a-3 = 0，将直线I?的方程化为直角坐标方程得a一11由切割线定理得PD2二PEPF = PE=空=4PF 121二EF =8,OD =4, /OD _ PD,OD PO . . P =30 ,2POD =

15、60；PDE = EFD =301.解答题:16 解：(1)TZ|= Z2sin 2x = m二m；3cos2x=sin 2x - - 3 cos2x若=0贝V sin2x -、3cos2x = 0得tan2x二 3/ 0 x：二,.0 .2x : 2二c兀.2x,或2x二332二x或 -63-1.,3.(1)|092243x -y -4 =0，由两平行线的距离公式得1二4 1=：怖二|a 1| = 10二a = 9或15.4:S = 100(3、5)PA(2)T二f(x)二sin 2xi 可3 cos2x = 2(sin2xcos2x)22分c/ c兀c 兀 JI=2(sin 2xcos c

16、os2xsin ) =2sin(2 x)-8分3331当x =:时，=2H1兀1兀1二2sin(2),sin(2 ),sin(2 )-93234343663cos(4 )=2 (-) -1- .-2分348a17解：(1)由0.2得a =20100 40 20 a 10 b =100.b =10-2分(2)记分期付款的期数为，依题意得：.40蛙20卫P( =1)0.4,P( =2)0.2,P( =3)72,100 100=10卫10PC：=4)0.1,PC：=5)0.1-5分100 100则“购买该品牌汽车的3 位顾客中至多有 1 位采用 3 期付款”的概率：P(A)=0.83+C3o.2x(

17、1O.2)2=0.896-7分(3)的可能取值为：1, 1.5 , 2 (单位万元)P( =1) = P( =1)=0.4-8分P( =1.5) = P( =2) P( =3) =0.4-9分P(=2) =P(：=4) P(F：=5) =0.10.1 =0.2-10分.的数学期望E=1 0.4 1.5 0.4 2 0.2 =1.4(万元)-12 分.18.解：(1)证明：EC / PD,PD平面PDA,EC二 平面PDA.EC/ 平面PDA,同理可得 BC/平面PDA-2/ EC 平面 EBC,BC 平面 EBC 且ECp|BC =C.平面BEC/平面PDA-3又 BE 二 平面 EBC .

18、BE/ 平面 PDA- 4(2)证法 1 :连结 AC 与 BD 交于点 F,连结 NF, F 为 BD 的中点，n11.52P0.40.40.22昇2: cos(4 )=cos2(2 )=2cos (2)-1=2sin (2：)-1-11 分. 的分布列为分.NF / PD且NF二丄PD ,-6分27分13分10分设平面 PBE 与平面 ABCD 所成的二面角为二，1又EC / PD且ECPD2NF / EC且NF =EC四边形 NFCE 为平行四边形-NE / FCDB _ AC,PD_ 平面ABCD,AC _ PD,AC二面ABCD又PD BD = DAC_ 面PBD证法 2:如图以点设

19、该简单组合体的底面边长为NE_ 面PDB-D 为坐标原点，以 AD 所在的直线为1,PD = ax 轴建立空间直角坐标系如图示:则B(1,1,0),C(0,1,0), P(0,0, a),a1 1aE(0,1,-),N(-,-,-)22 2 21 1EN =( ,0),PB=(1,1,a),DB =(11,0)2 211-EN PB11 - a 0=0,2211EN DB11 0 0 =022 EN _ PB,EN _ DB(3)/ PB、DB面PDB，且PBDB=BNE_ 面PDB-解法 1 ：连结 DN 由(2)知NE丄面PDBADDN为平面 PBE 的法向量，设/ DP为平面 ABCD

20、的法向量,DB f；2ADPDAD =1，则N(1,-2)DN=(-,2 2 2 2 2)-11DP =(0,0,、2),127分13分10分贝y COS二|DN | |DP |72解法 2:延长 PE 与 DC 的延长线交于点 G,连结 GB则 GB 为平面 PBE 与 ABCD 勺交线 -/ PD =2ECCD二CG =CB即平面 PBE 与平面 ABCD 所成的二面角为 45149分11分 D B、G 在以 C 为圆心、以 BC 为半径的圆上，DB PD_ 平面ABCD,BG面ABCDPD _ BG且PDDB =DBG_ 面PDB / PB二面PDBBG _ PB .PBD为平面 PBE

21、 与平面 ABCD 所成的二面角的平面角 -在Rt . PDB中/ PD =DB乙PBD= 45即平面 PBE 与平面 ABCD 所成的二面角为 45 - 其它解法请参照给分19.解：（1）当点 P 不在 x 轴上时，延长 FM 与 F2P 的延长线相交于点11分1314N,连结 0M . NPM二.MPF1, NMP二.PMF1PNMPF1M|PN|=|PF1|1OM二一F2N22点 P 在椭圆上1F2p +|PN )=；qF2P +|PFjPF2+ PR=8 OM= 4,当点 P 在 x 轴上时，M 与 P 重合2 2 2 M 点的轨迹 T 的方程为：x y=4 .NF1的中M 是线段分分

22、分（2）连结 0E 易知轨迹 T 上有两个点A(-4,0),B(4,0)满足SOEA二SOEB=2,分别过 A、B 作直线 0E 的两条平行线l1、l2.同底等高的两个三角形的面积相等符合条件的点均在直线分koE设点Q(x, y)(x,y Z分别解y2161与y =_ (x +4)212的方程分别为：y=l（x，4）、丫 =丄&-4）2 2) Q在轨迹T内，x2y216x2x2y216y E(X-4)22得 一4：x 2与 一2 x：4559分11分分即函数p(x)有零点时m014分2 Zx为偶数，在(4气)上2,2对应的心232在(-2 ,4)上x = -2,0, 2，对应的y =

23、-3,-2, -15满足条件的点Q存在，共有 6 个，它们的坐标分别为:(-2,1),(0,2),(2,3),(-2,-3),(0, -2),(2, -1).20.解:(1) 当X 0,1时，f (x) =x(1_x) m= _X2X m二_(x_)22当时，f(X)max二m1242121当x (1,m时，f(x)=x(x_1) m=x-xm = (x ) m24由m2_ m1得m2- m-丄 _0又m 1 =44当m1时，f(XU后，当1”宁时，f(X)max(2)函数p(x)有零点即方程f (x) - g(x) = x | x-1| -1 nx，m = 0有解即m =ln x-x|x1|有解- 7分令h(x) = ln x -x | x