2003年第1届创新杯数学邀请赛初中2年级第2试试题参考答案w

1、2003 年第一届“创新杯”数学邀请赛初中二年级第二试答案一. 选择题1.B1 1 原式=- +尸=42+73 2-32.D设x3+ax2+bx+8=(x+1)(x+2)(x+c)分别取x= 1及x= -2,有3.C由MA=MB=MC,可得/ACB=90o。于是AC +BC =AB,即AC +BC =100。 又AC+BC+AB=24，即AC+BC=14。1 12 2 212SMBC=AC-BC = (AC+BC)2-(AC2+BC2) =(142-100)=24。2444. A1由0*m (m n) mnn,故有2(1+m%)(1-n%)(1+ mn )(1. mn)11#1+(m n)%1

2、-(m n)%22(1+ n%)(1m%)5. C显然为等边三角形，/ADC+/ADB=600。又厶DAB, DAC都是等腰三11角形，于是/DAC=-(180o/ADC), /DAB=1(180o/ADB)。22111/BAC=(180o-ZADC)+(180o/ADB)=180G(/ADC+/ADB)222=150o6.B2222222由14(a+b +c )=(a+2b+3c)，可得(2a-b) +(3a-c) +(3b-2c) =0,于是2a-b=3a-c=3b-2a,从而b=2a,c=3a,所以a:b:c=1:2:3.7. B原式=a3(c_b) +b3(a_c)+c3(b_a)丿原

3、工J =222a (c b) +b (a c) +c (b a)I1 a - b 8 = 0-84a - 280解得a =7b/4，于是a+b=21.其中分子=a (c-b)-a(c3-b3)+bc(c2-b2) = (c-b)a3-a(c2+bc+b2)+bc(b+c)=(c-b)b2(c-a)+bc(c-a)-a(c?-孑)=(c-b)(c-a)(b2+bc-a2-ac)=(c-b)(c-a)c(b-a)+(b-a)(b+a) = (c-b)(c-a)(b-a)(a+b+c)分母=a2(c-b)-a(c2-b2)+bc(c-b)=(c-b) a2-(c+b)a+bc=(c-b)(a-c)(

4、a-b)所以，原式=a+b+c9.C由x =2 - .2，得x-2=-、.2，两边平方后整理得X2-4X+2=0;x4-3x3-4x215x -7=(X2-4X+2)(X2+X-2)+5X+3=5X+3=5(2-、2 )-3=7-5、210.C111设 2x -一=t(t为整数)，贝U x=-t -，故3x+1-t= t -t =-1 -224所以0t 75X12所以，d=213.(x-2003)(2003x+1)2 2原式=2003x -2003 x+x-2003=2003x(x-2003)+(x-2003)= (x-2003)(2003x+1)14.x=166,y=3,z=2将xyz+xy

5、+yz+zx+x+y+z=2003两边同时加1后，再将左边因式分解得：(x+1)(y+1)(z+1)=2004=167X4X3,因x+1y+1z+12,于是x+仁167, y+仁4,z+仁3,从而x=166,y=3,z=215.31 3如图，设等边三角形ABC的边长为a,过A作AF丄BE于F.易知CD= _a2-49,CE= . a2-121,AF=、a2-16。因DC+CE=DE=AF, 故.a2匚49+、a2匚121=、a2二16, 解得a2=124于是等边ABC的面积为 仝a2=31 -.3416.2401设n+99=a2, n+200=b2(a,b是正整数， 且ba),两式相减得b2-

6、a2=101，即 b +a=101b = 51o(b+a)(b-a)=101,因101是质数，故，解得，所以n= a -99=2401.i b _ a = 1a = 50仃.30o过A作DA丄AC交BC于D,则/DAB=/CAB-90o=/B,于是DA=DB;设DA=DB=DB=x,AC=y,则BC=、3y;于是x2+y2=(、3y-x)2, 所以x=3y。3因为 CD2=AC2+AD2=y2+( y)2=4y2,g卩CD= y,所以CD=2AD，故333/C=30oo18.5如下图构造一个几何图形：AB=4,AC丄AB且AC=1,BD丄AB，且BD=2 P是AB上任意一点，设AP=x, BP

7、=y,则CP=. x2_1,DP= , y4显然当P是AB和CD的交点时，CP+DP即 x21、.、y24 最小，最小值为CD。作CE丄BD于D，不难求得CD=、.CE2DE2= ,42一32=5。佃.1，16，0设分别买由20，35,59朵花组成的花束x,y,z束，先算出平均每朵花的价格：20朵花组成的花束每朵价 =0.2元，36朵花组20成的花束每朵价0.16元,50朵花组成的花束每朵价=0.18元.3550所以为了买到最多的花朵，20朵花组成的花束买得越少越好，但是当x=0时，6y+9z=100的左边是3的倍数，而右边不是，它没有整数解。故取x=1，方 程整理后得2y+3z=32, y是

8、越大越好，故取y=16,z=0.22222222220. 362+372+382+392+402=412+422+432+442设最小的一个正整数为x-4,22222 2 2 2 2则(x-4) +(x-3) +(x-2) +(x-1) +x = (x+1) +(x+2) +(x+3) +(x+4)解得x=0(舍去)或x=40。三. 解答题21.证明：将已知等式变形，得Vaaab 1 bbc rcCca-0，A(1-abc)2=0,所以abc=1 22.证明：过G作GQ丄BP于Q,因为四边形BCFG是正方形，故BC=BG,/ GBC=90Q从而/1 +Z3=90Q因为/BAC=90o,从而/2+Z3=90o,故/ 仁/2。所以GQBABAC,GQ=AB,BQ=AC。因为ABDE四边形是正方形，所以/DBA=90o, AB=BD,又/DBP=90o=ZGQP,Z4=Z5,所以DBPGQP,于是BP=QP。11所以