三角函数的有关概念、同角三角函数的关系式与诱导公式

1、 第四章三角函数第1讲三角函数的有关概念、同角三角函数的关系式及诱导公式考纲展示命题探究1三角函数的有关概念(1)终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合|2k，kZ(2)角度与弧度的互化360°2 rad；180° rad；1° rad；1 rad°57.30°.(3)弧长及扇形面积公式弧长公式：l|r；扇形面积公式：Slr|r2.其中l为扇形弧长，为圆心角，r为扇形半径(4)任意角的三角函数的定义设是一个任意角，的终边上任意一点P(与原点不重合)的坐标为(x，y)，它到原点的距离是r.三角函数定义定义域sinRcosRt

2、an(5)三角函数在各象限的符号记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦(6)三角函数线角所在的象限第一象限第二象限第三象限第四象限图形2同角三角函数基本关系式(1)平方关系：sin2cos21.(2)商数关系：tan.3诱导公式及记忆规律(1)诱导公式组数一二三四五六角2k(kZ)正弦sinsinsinsincoscos余弦coscoscoscossinsin正切tantantantan(2)诱导公式的记忆规律诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限“奇”“偶”指的是诱导公式k·中的整数k是奇数还是偶数“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k为奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则

3、函数名称不变“符号看象限”指的是在k·中，将看成锐角时k·所在的象限注意点应用三角函数定义和平方关系求值时注意正负号选取(1)利用三角函数的定义求解问题时，认清角终边所在的象限或所给角的取值范围，以确定三角函数值的符号(2)利用同角三角函数的平方关系求三角函数值，进行开方时要根据角的范围，判断符号后正确取舍. 1思维辨析(1)120°角的正弦值是，余弦值是.()(2)同角三角函数关系式中的角是任意角()(3)六组诱导公式中的角可以是任意角()(4)诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”与的大小无关()(5)锐角是第一象限角，反之亦然()(6)终边相同

4、的角的同一三角函数值相等()答案(1)×(2)×(3)×(4)(5)×(6)2已知角的终边经过点(4,3)，则cos()A. B.C D答案D解析由三角函数的定义知cos.故选D.3(1)角870°的终边所在的象限是()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限(2)弧长为3，圆心角为135°的扇形半径为_，面积为_答案(1)C(2)46解析(1)因为870°2×360°150°，又150°是第三象限角，所以870°的终边在第三象限(2)弧长l3，圆心角，由弧长公式l|&#

5、183;r，得r4，面积Slr6.考法综述对于角的概念、三角函数的定义单独命题的概率很小，多与其他知识相结合如三角恒等变换、同角关系式及诱导公式等，题型一般为选择题、填空题形式，属于中低档题目，考查学生的基本运算能力及等价转化能力命题法三角函数的概念，同角三角函数关系式，诱导公式的应用典例(1)已知sincos，且<<，则cossin的值为()A B.C D.(2)若角的终边经过点P(，m)(m0)且sinm，则cos的值为_(3)已知扇形周长为40，当它的半径r_和圆心角_分别取何值时，扇形的面积取最大值？(4)已知cos，则sin_.解析(1)<<，cos<0

6、，sin<0且|cos|<|sin|，cossin>0.又(cossin)212sincos12×，cossin.(2)点P(，m)是角终边上一点，由三角函数定义可知sin.又sinm，m.又m0，m25，cos.(3)设圆心角是，半径是r，则2rr40.又Sr2r(402r)r(20r)(r10)2100100.当且仅当r10时，Smax100，此时2×101040，2.当r10，2时，扇形的面积最大(4)，sinsin，cos.答案(1)B(2)(3)102(4)【解题法】同角关系式的应用技巧和诱导公式使用原则步骤(1)同角关系式的应用技巧弦切互化法：

7、主要利用公式tan化成正弦、余弦函数和积转换法：如利用(sin±cos)21±2sincos的关系进行变形、转化巧用“1”的变换：1sin2cos2cos2(1tan2)sin2.(2)使用诱导公式的原则和步骤原则：负化正、大化小、化到锐角为终了步骤：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为0之间角的三角函数，然后求值1.若tan2tan，则()A1 B2C3 D4答案C解析3，故选C.2设asin33°，bcos55°，ctan35°，则()Aa>b>c Bb>c>aCc>b>a Dc>a>b答

8、案C解析asin33°，bcos55°sin35°，ctan35°，>sin35°>sin33°.c>b>a，选C.3已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是()A2 B1C. D3答案A解析设此扇形的半径为r，弧长为l，则2rl4，面积Srlr(42r)r22r(r1)21，故当r1时S最大，这时l42r2.从而2.4已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角终边上一点，且sin，则y_.答案8解析若角终边上任意一点P(x，y)，|OP|r，则sin，cos，ta

9、n.P(4，y)是角终边上一点，由三角函数的定义知sin，又sin，且y<0，解得y8.5.若，则的最大值为_答案解析，tan>0，当且仅当tan2时取等号6在平面直角坐标系xOy中，已知向量m，n(sinx，cosx)，x.(1)若mn，求tanx的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值解(1)mn，m·n0.故sinxcosx0，tanx1.(2)m与n的夹角为，cosm，n，故sin.又x，x，x，即x，故x的值为.已知角的终边在直线2xy0上，求角的正弦、余弦和正切值错解错因分析直接在直线上取特殊点的方法，导致漏解正解在直线2xy0上取点(m,2m)(m0)则r|m

10、|，当m>0时，rm，sin，cos，tan2.当m<0时，rm，sin，cos，tan2.心得体会时间：45分钟基础组12016·冀州中学期中已知角的终边过点P(a，3a)，a0，则sin()A.或 B.C.或 D.或答案D解析当a>0时，角的终边过点(1，3)，利用三角函数的定义可得sin；当a<0时，角的终边过点(1,3)，利用三角函数的定义可得sin.故选D.2. 2016·衡水中学仿真若sincos(0<<)，则tan等于()A B.C D.答案C解析由sincos，两边平方得12sincos，2sincos，又2sincos&

11、lt;0,0<<.<<.sincos>0.(sincos)212sincos，sincos.由得tan.32016·枣强中学预测设集合M·180°45°，kZ，Nxx·180°45°，kZ，那么()AMN BMNCNM DMN答案B解析M，故当集合N中的k为偶数时，MN，当k为奇数时，在集合M中不存在，故MN.42016·冀州中学一轮检测已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线2xy0上，则()A2 B2C0 D.答案B解析由角的终边在直线2xy0上，可得tan2，原

12、式2.52016·武邑中学一轮检测已知sincos，(0，)，则tan()A1 BC. D1答案A解析解法一：由sincossin，(0，)，解得，tantan1.解法二：由sincos及sin2cos21，得(sincos)212sincos2，即2sincos1<0，故tan<0，且2sincos1，解得tan1(正值舍)62016·武邑中学月考已知角x的终边上一点的坐标为，则角x的最小正值为()A. B.C. D.答案B解析sin，cos，角x的终边经过点，tanx，x2k，kZ，角x的最小正值为.7. 2016·衡水中学热身已知函数f(x)si

13、nxcosx，且f(x)2f(x)，则tan2x的值是()A B.C D.答案C解析因为f(x)sinxcosx，所以f(x)cosxsinx，于是有cosxsinx2(sinxcosx)，整理得sinx3cosx，所以tanx3，因此tan2x，故选C.82016·衡水二中期中已知sin()log8 ，且，则tan(2)的值为()A B.C± D.答案B解析sin()sinlog8，又因为，则cos，所以tan(2)tan()tan.92016·武邑中学预测在三角形ABC中，若sinAcosA，则tanA()A. BC D±答案B解析解法一：因为sin

14、AcosA，所以(sinAcosA)22，所以12sinAcosA，所以sinAcosA.又A(0，)，所以sinA>0，cosA<0.因为sinAcosA，sinAcosA，所以sinA，cosA是一元二次方程x2x0的两个根，解方程得sinA，cosA，所以tanA.故选B.解法二：由解法一，得sinA>0，cosA<0，又sinAcosA>0，所以|sinA|>|cosA|，所以<A<，所以tanA<1，故选B.102016·枣强中学模拟已知为第二象限角，则cossin_.答案0解析原式cossincossin，因为是第二象

15、限角，所以sin>0，cos<0，所以cossin110，即原式等于0.11. 2016·武邑中学猜题设f()，则f_.答案解析f()，f.能力组12.2016·冀州中学仿真已知扇形的面积为，半径为1，则该扇形的圆心角的弧度数是()A. B.C. D.答案B解析S扇|r2|×1，所以|.132016·武邑中学预测已知sin(3)2sin，则sincos等于()A B.C.或 D答案A解析因为sin(3)sin()2sin，所以sin2cos，所以tan2，所以sincos.142016·衡水二中模拟已知(0，)且sincosm(0<m<1)，则cossin的值()A为正 B为负C为零 D为正或负答案B解析若0<<，如图所示，在单位圆中，P(cos，sin)，OMcos，MPsin，所以sincosMPOM>OP1.若，则sinco