圆锥曲线离心率问题

1、圆锥曲线的离心率问题离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数a,c之间的联系。一、基础知识：1、离心率公式：ec(其中c为圆锥曲线的半焦距)a(1)椭圆：e0,1(2)双曲线：e1,+2、圆锥曲线中a,b,c的几何性质及联系(1)椭圆:a2b2c2,2a：长轴长，也是同一点的焦半径的和：PEPF22a2b:短轴长2c:椭圆的焦距(2)双曲线：c2b2a22a：实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值：|PF1PF22a2b:虚轴长2c:椭圆的焦距3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数a,b,c的比例关系(只需找出其中两个参数的关系

2、即可)，方法通常有两个方向：(1)利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形(曲线上的点与两焦点连线组成的三角形)，那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a有关，另一条边为焦距。从而可求解(2)利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用a,b,c进行表示，再利用条件列出等式求解2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：(1)题目中某点的横坐标(或纵坐标)是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用a,b,c表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口(2)若题目中有一个

3、核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可(3)通过一些不等关系得到关于a,b,c的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆:e0,1,双曲线：e1,+二、典型例题：2例1:设Fi,F2分别是椭圆C：3 a211ab0的左、右焦点，点P在椭圆Cb2222 工122 PF1 PF2PF1 PF2PF1PF2 4c 而 PFj IPF2I =2上，线段PF1的中点在y轴上，若PF1F230°,则椭圆的离心率为()A.上B.3C1D.13636思路：本题存在焦点三角形VPF1F2,由线段PF1的中点在y轴上，。为F

4、1F2中点可得PFz/y轴，从而PF2F1F2,又因为PF1F230°,则直角三角形VPF1F2中，|PF|：|PF2|："艮|2:1:J3,且2a|PF|I|PF2|,2c归艮|,所以e-；一12-1 11a2a|PFj|PF2|3答案：A小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意。为F1F2中点是一个隐含条件，如果图中存在其它中点，则有可能与。搭配形成三角形的中位线。22例2:椭圆上与10b273与渐近线为x2y0的双曲线有相同的焦点12bF1,F2,P为它们的一个公共点，且F1PF290°,则椭圆的离心率为思路：本题的突破口在于椭圆与双曲线共用一对焦点，设F1F22c

5、,在双曲线中，,'，2a':b:c2:1:石，不妨设P在第一象限，则由椭圆定义可得：a2PF1PF24囱，由双曲线定义可得：PF1PF22a'义c,因为RPF290°,.5代入可得：48等802C.10ea年6小炼有话说：在处理同一坐标系下的多个圆锥曲线时，它们共同的要素是联接这些圆锥曲线的桥梁，通常以这些共同要素作为解题的关键点。22例3:如图所示，已知双曲线与121ab0的右焦点为F,过F的直线la2b2交双曲线的渐近线于A,B两点，且直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，uuiruuu若AF2FB,则该双曲线的离心率为（）A.0B.Uc.aD.q435

6、2力用a,b,c表示，再寻找一个等量关系解出思路：本题没有焦半径的条件，考虑利用点的坐标求解，则将所涉及的点坐标尽a,b,c的关系。双曲线的渐近线方程为ybx,由直线l的倾斜角是渐近线OAa2b倾斜角的2倍可得：koAa2,.b2a2b212a确定直线l的方程为y4abixc,与ab2aby u2 x 0a bbya2abc22 or y3a2 b2渐近线联立方程得2abeuuinuuu-2将AF2FB转化为坐标语ab言，则Na2yB,即-|abC22一誓2,解得a:b:c73:1:2,从而'-J*JJ*/4I乙乙乙/'ab3abe2m3答案：B22例4:设F1,F2分别为双曲

7、线二-y21(a0,b0)的左、右焦点，双曲线上存ab在一点P使得|PF,|PF213b,|PF)|PF219ab,则该双曲线的离心率为4A.4B.5C.9D.3334思路：条件与焦半径相关，所以联想到|PFi|PF2|2a,进而与9|PFi|IPF2I3b,|PFi|IPF2Iab,找到联系，计算出a,b的比例，从而求得e4解：Q|PF1PF2|2a即9b24a29ab9b29ab4a202cbcbb1/A、fb49940牛彳寸：(舍)或aaa3a3答案：Bx2y2例5:如图，在平面直角坐标系xOy中，A1,A2,Bi,B为椭圆11(ab0)ab的四个顶点，F为其右焦点，直线AB2与直线Bi

8、F相交于点T,线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为思路：本题涉及的条件多与坐标有关，很难联系到参数的几何意义，所以考虑将点的坐标用a,b,c进行表示，在利用条件求出离心。首先直线AB2,BiF的方程含a,b,c,联立方程后交点T的坐标可用a,b,c进行表示(T2ac b a c,a c a c)，则OT中点Mac b a c a c' 2 a c再利用M点在椭圆上即可求出离心率e解：直线AB2的方程为：-i ； a b直线BiF的方程为：x i ,联立方程可得: c bbxcyay ab bx bc总万/日2ac b(a c)解得：T(,-)a c a c则M

9、(aac b(a c)解得：ec' 2(a2,7c)52）在椭圆与a0)上,答案：e2 J72例6:已知F是双曲线与一 a24=1 a 0,b b2的左焦点，E是该双曲线的右顶点,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点，若VABE是锐角三角形，则该双曲线的离心 率e的取值范围为（）A. 1, B. 1,2 C.1,1 V2 D. 2,1 贬思路：从图中可观察到若VABE为锐角三角形,AEB为锐角由对称性可得只需AEF0,即可。4且AF,FE均可用a,b,c表示,AF是通径的一半，得:b2AF 7FE ac,所以tanAEFAFb2FEJ 1 e 2,即 e 1,2 a答案：B小

10、炼有话说：（1）在处理有关角的范围时，可考虑利用该角的一个三角函数值，从而将角的问题转变为边的比值问题（2）本题还可以从直线AE的斜率入手，Ea,0,Ac,b2,利用kAE1,0即a2例7:已知椭圆今 a24 1ab 0的左、右焦点分别 b2为 F c,0 ,F2 c,0,若椭圆上存在点P使sin PF1F2sin PF2F1则该椭圆的离心率的取值范围可求出离心率为（）A. 0, . 2 1B1 C.20,- D. 2 1,1思路：PF1F2, PF2F1为焦点三角形VPF1F2的内角，且对边为焦半径 PF2 , PFi ,所以利用正弦定理对等式变形:acsin PF1F2sin PF2F1S

11、in PF2F2:谓（再由 PF2PF12a解得：|PF2| 9 ,再利用焦半径的范围为 a c,a c可得（由于依题意，P非 a c左右顶点，所以焦半径取不到边界值 a c,a c）：2a2a c a ca c答案：D222a c 2a2222a a 2ac c2e 1 01,1220的左右焦点，若椭圆上存在点P,例8:已知F1,F2是椭圆E:'1abab使得PFPF2,则椭圆离心率的取值范围是（）a52c.52A.,1B.,1C.0,D.0,5252思路一：考虑在椭圆上的点P与焦点连线所成的角中，当P位于椭圆短轴顶点位置时，F1PF2达到最大值。所以若椭圆上存在PF1PF2的点P,

12、则短轴顶点与焦点连线所成的角90°,考虑该角与a,b,c的关系，由椭圆对称性可知，OPF245°,所以tanOPF2O2c1,即220Pbccccc.c211.一2cbc2b2c2a2c2,进而与1即e21,解得e健，再由e0,1a2222可得e,12思路二：由PF1PF2可得F1PF290°,进而想到焦点三角形F1PF2的面积：S/F1PF2b2tanF*b2,另一方面：2：忖低y|c,从而,2 c yP bypb2因为P在椭圆上，所以ypcb.J2ypbbc,再同思路一可解得：e,1c2uuruuur思路三：PFiPF2可想到PFiPF20,进而通过向量坐标化

13、，将数量积转为方uuuruuiruur uuur .PFi PF2 x2程。设Px,y,F1c,0,F2c,0,则有PF1cx,y,PF2cx,y,则y2c20,即P点一定在以。为圆心，c为半径的圆上，所以只需要该圆与椭圆有交点即可，通过作图可发现只有半径rb时才可有交点，所以cb,同思路一可解得e,12注：本题对P在圆上也可由PFiPF2判定出P在以F1F2为直径的圆上，进而写出圆方程思路四：开始同思路三一样，得到P所在圆方程为x2y2c2,因为P在椭圆上,所以联立圆和椭圆方程:,2 22 2b x a y2. 2a b代入消去x可得:b2 c2 y2 a2y2 a2b2,整理后可得：c2y

14、2 b42 b 山y 工由y cb,b可得:b2c b,同思路一即可解得：e£12小炼有话说：本题的众多思路重点区别在：一是从条件中想到椭圆的哪些性质与结论，不同的结论得到不同的突破口；二是在解决离心率时是选择用几何特点数形结合去解还是通过坐标方程用代数方式计算求解2 x例9:设点A,A分别为椭圆-2 a2*1ab0的左右焦点，若在椭圆上存在b异于点A,A2的点P,使得POPA2,其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）a 12A. 0，2 B. 0，-2-C. 1,1 D. ,1思路：本题取值范围的突破口在“椭圆上存在点P”，则P的横纵坐标分别位于a,a,b,b中，所以致

15、力于计算P的坐标，设P%、，题目中A2a,0,由2POPA2可得P也在以OA2为直径的圆上。即Xa2x程：2 xa2 a22y b2b22/x ax b a20,即 3x2aax b2 0 ,由已知可得Aa,0也是圆与椭圆的一个交点，所以由韦达定理可得:axo2,2 a bcX0ab2, ,FaV，再根据x0的范围可得: cab2-2cb2c2a2 c2 c2e2 -,解得 e2,122答案：D小炼有话说：本题运用到了一个求交点的模型：即已知一个交点，可利用韦达定理求出另一交点，熟练使用这种方法可以快速解决某些点的坐标22例10:如图，已知双曲线 与 与1（a 0,b a2 b20）上有一点A

16、,它关于原点的对称点为B ,点F为双曲线的右焦点，且满足AF则该双曲线离心率e的取值范围为（）A. 32 ,3B. . 2, ,3 1C. 、.2,2 、,3D.h3, ,3 1思路：本题与焦半径相关，所以考虑a,c的几何含义,且AB2 OF于原点对称，所以2c,结合 ABF 可得AFBFAF2c cos sin ,AF即为B的左焦半径。所以有2a则e 2c 2a cos11sin ,- 2 cos 一4,即关于 的函数，在一,一求值域即12 65,43 12cos-,1J2cos42,3 1 .2,22所以e,2,.31答案：B三、历年好题精选21、已知双曲线x2 a2y21(ab0,b0）

17、, M , N是双曲线上关于原点对称的两点,P是双曲线上的动点，直线PMPN的斜率分别为kik（ki k2 0）,若K 他的最小值为1,则双曲线的离心率为（）A,亚B.2.比D.32222、（2016,新余一中模拟）已知点A是抛物线x24y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PAmPB,当m取最大值时，点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A.21B.21C.D.5122223、已知Fi,F2分别是双曲线441ab0的左、右焦点，过点Fi且垂直ab于x轴的直线与双曲线交于A,B两点，若VABF2是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）A.2

18、1,B.2 1,2 X4、设Fi,F2分别是双曲线9 auuuur uuuu在一点M ,使得F1MOM该双曲线的离心率为（）A. 3 1B.-32C.1,1 .2 D.3 1,2 y b2UULTOFi1 a 0,b 0的左右焦点，若双曲线左支上存uuuu0, O为坐标原点，且MF1石 |uuuLTfg ,则5、2（2016四川高三第一次联考）椭圆 当 a2y_1 aaI ab2b 0和圆2 bt y 一222c ， （c为椭圆的半焦距）对任意t1,2包有四个交点，则椭圆的离心率e的取值范围为（）A c4 c4c c17 c17 4A. 0, B. ,1C. 0, D. ，551717 56、

19、如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内 层椭圆引切线AC,BD ,设内层椭圆方程为22今冬1 a b 0 ,外层椭圆方程为a b2x2 ma2y2 mb91 a b 0,m 1若AC,BD的斜率之积为 一,16则椭圆的离心率7、（2015,新课标II）已知AB为双曲线E的左右顶点，点M在E上，VABM为等腰三角形，且顶角为120°,则E的离心率为（）A.5B.2C.3D.2228、（2016,宜昌第一中学12月考）已知双曲线与41a0,b0的左、ab勺 F1,F2,心率的最大值为（）A. 4B. 5C. 2D.33点M在双曲线的左支上，且|MF27MF1,则此双曲线离73

20、22xy9、（2015,山东）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1:1a0,b0的渐近线ab2与抛物线C2：x2pyp0交于点O,A,B,若VOAB的垂心为C2的焦点，则C1离心率为P是它们的一个公共点，且10、（2014,湖北）已知FF2是椭圆和双曲线的公共焦点,F1PF2,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）3A.4B.空C.3D.211、（2014 ,浙江）设直线x 3ym 0 m 0与双曲线2y1 a 0,b 0的两条渐近线分别交于点若点P m,0满足PA|PB,则该双曲线的离心率是解得:习题答案：1、答案:B.解析：设M(P,q),N(2p,q),P(s,t),则与a2qb2

21、2.218L*2,2ab1,两式相减得：pqt21,则2qtps2ba,4b24c24a2225a4c2、答案：A解析：由抛物线方程可得:0,B 0,1 ,过P作准线的垂线，垂足为M ,所以PB所以mPAPBsin PAM，可知m取得最大值时， PAM最小,数形结合可知当x2 4y ,即 y kx 1AP与抛物线相切时，PAM最小。设AP:ykx1,联立方程2x4kx40,则0k1,此时P2,1,则916PA2短,PB2,所以2aPAPB2722a尤1,则3、解析：QVABF2为钝角三角形，且AF2BF2,AF2F1450b 2,2 23 22 4. 22, 22 b 1b a k1 x 2m

22、a k1 x m a k1 a b 0,由0 可得：k1 ,问a m 122即AF1F1F2,一2cca2ac0a即e22e10e1.2答案：B4、答案：A思路：已知条件与焦半径相关，先考虑焦点三角形MF1F2的特点，从uuuiruumrumruuuuruuuuuuurF1MOMOF10入手，可得F1MOMOF1，数形结合可得四边形OMPF1为菱形，所以OMOF1OF2,可判定VMF1F2为直角三角形uuuuuuuir3k ,可得MF1:MF273:3MF1V3k,MF2F1F25/lMRj2|MF2|2273k5、答案：B解析：由椭圆与圆有四个不同的交点，则bt2cbt2ca对任意tb1,2包成立，即b 2c2ca,平方变形后可得: b5c22 a4ac 017c2 05e24e11745，16、答案：9解析