垂径定理练习题汇总

1、一.选择题（共7小题）1.（2014?凉山州）已知。O的直径CD=10cm,AB是。O的弦，AB=8cm,且AB±CD,垂足为M,则AC的长为( )A - 2V5cmB - 4V5cmC - 2V 5cm2. (2014?舟山)如图，O O的直径CD垂直弦AB于点E,且CE=2 ,CD或4点 cmD . 243cm或4百5DE=8,贝U AB的长为（）3.（2014?毕节地区）如图，已知。O的半径为13,弦AB长为24,则点O到AB的距离是（OB. 5C. 4D. 3AB是。O的直径，弦 CDXAB于点E,则下列结论正确的是（A . OE=BEB.'：= l'C. B

2、OC是等边三角形D.四边形ODBC是菱形5. （2014?南宁）在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图.若油面的宽AB=160cm ,则油的最大深度为（)AB160 -200OA . 40cmB. 60cmC. 80cmD. 100cm6.（2014?安顺）如图，MN是半径为1的。O的直径，点A在。0上，/AMN=30。，点B为劣弧AN的中点.P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（7. (2014?沛县模拟)如图，在平面直角坐标系中，点与y轴相切于点D,则点A的坐标是()C. 2A在第一象限，O A与x轴交于B (2, 0)、C (8, 0)两点,A. (5, 4)B

3、. (4, 5)C. (5, 3)D. (3, 5)二.解答题(共7小题)8.(2014?佛山)如图，O。的直径为10cm,弦AB=8cm,P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围.CD为。的直径，CDXAB ,垂足为点F, AO ± BC ,垂足为E, BC二2«,9. (2014?盘锦三模)如图, (1)求AB的长；(2)求。O的半径.10. (2009?长宁区二模)如图，点F.(1)求证：OC=OF;(2)求证：AB=DE .C在O O的弦AB上，COXAO,延长 CO交。于D.弦DE LAB，交AO于D11. （2009?浦东新区二模）一根横截面为圆形的下水管道的直

4、径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米.（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度.12. （2008?长宁区二模）如图，在4ABC中，AB=AC,。过点B、C,且交边AB、AC于点E、F,已知/A=/ABO,连接OE、OF、OB.（1）求证：四边形AEOF为菱形；（2）若BO平分/ABC,求证：BE=BC.13. （2007?佛山）如图，O。是4ABC的外接圆，且AB=AC=13,BC=24,求。的半径.14. （2007?青浦区二模）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的弧AB）,点。是这段弧的圆心，点C是弧A

5、B上的一点，OCLAB,垂足为D,如AB=60m,CD=10m,求这段弯路的半径.c参考答案与试题解析一.选择题（共7小题）1.（2014?凉山州）已知。O的直径CD=10cm,AB是。O的弦，AB=8cm,且AB±CD,垂足为M,则AC的长为（ILLLA.2VcmB.4VIjcmC.2Vcm或WcmD.2Vcm或Wcm考点：垂径定理；勾股定理.专题：分类讨论.分析：先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论.解答：解：连接AC,AO,.。0的直径CD=10cm,ABLCD,AB=8cm,AM=-1ab=>8=4cm,OD=OC=5cm,22当c点位置如

6、图1所示时， OA=5cm,AM=4cm,CDLAB,0M=10*_=产也2-产3cm,CM=OC+OM=5+3=8cm,AC=7aH2+CM2=V42+82=4而cm；当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm,OC=5cm,MC=5-3=2cm,在RtAAMC中，AC=Ta再MC可居22=2cm.故选：C.点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.2. （2014?舟山）如图，O O的直径CD垂直弦AB于点E,且CE=2 , DE=8 ,则AB的长为（）C. 6D. 8考点：垂径定理；勾股定理.专题：计算题.分析：根据CE=2,DE=8,得出半径为

7、5,在直角三角形OBE中，由勾股定理得BE,根据垂径定理得出AB的长.解答：解：.CE=2,DE=8,OB=5,OE=3, ABXCD, 在AOBE中，得BE=4,AB=2BE=8.故选：D.点评：本题考查了勾股定理以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握.3.（2014?毕节地区）如图，已知。O的半径为13,弦AB长为24,则点O到AB的距离是（）4. （2014?三明）如图，AB是。O的直径，弦 CDXAB于点E,则下列结论正确的是（)A.6B,5C,4D,3考点：垂径定理；勾股定理.分析：过。作OCLAB于C,根据垂径定理求出AC,根据勾股定理求出OC即可.解答：解：过。作OCLAB于C,OC

8、过O,AC=BC=-AB=12,2在RtAAOC中，由勾股定理得：OC=J铲_产5.故选：B.点评：本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出OC的长.cA. OE=BEC. BOC是等边三角形B.D.四边形ODBC是菱形考点：垂径定理.分析：根据垂径定理判断即可.解答：解：;AB±CD,AB过O,.DE=CE,BD=BC,根据已知不能推出DE=BE,4BOC是等边三角形，四边形ODBC是菱形.故选：B.点评：本题考查了垂径定理的应用，主要考查学生的推理能力和辨析能力.5. （2014?南宁）在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图.若油面的宽AB=160cm,则

9、油的最大深度为（）J60fA.40cmB.60cmC.80cmD.100cm考点：垂径定理的应用；勾股定理.分析：连接OA,过点。作OELAB,交AB于点M,由垂径定理求出AM的长，再根据勾股定理求出OM的长,进而可得出ME的长.解答：解：连接OA,过点O作OELAB，交AB于点M,.直径为200cm,AB=160cm,OA=OE=100cm,AM=80cm,1- OM=VoA-AM2=/1002-SO2=60cm，ME=OE-OM=100-60=40cm.故选：A.-160 7点评：本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.6. （2014?安顺）如图

10、，MN是半径为1的。O的直径，点A在。上，/AMN=30。，点B为劣弧AN的中点.P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）C. 2考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理.分析：作点B关于MN的对称点B',连接OA、OB、OB'、AB根据轴对称确定最短路线问题可得AB与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出/AON=60°,然后求出/BON=30°,再根据对称性可得/BON=ZBON=30°,然后求出/AOB=90°,从而判断出4AOB是等腰直角三角形，再根据等腰直角三

11、角形的性质可得AB=/2OA,即为PA+PB的最小值.解答：解：作点B关于MN的对称点B',连接OA、OB、OB'、AB则AB与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值=AB ./AMN=30°,/AON=2/AMN=2X30o=60°, 点B为劣弧AN的中点， ./BON=-ZAON=->60=30°,22由对称性，/BON=/BON=30°,/AOB=/AON+/BON=60+30=90°,.AOB是等腰直角三角形，AB=TOA=VM=心即PA+PB的最/、值二班.故选：A.2倍的性质，作点评：本题考查

12、了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的辅助线并得到AOB三等腰直角三角形是解题的关键.7. (2014?沛县模拟)如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，OA与x轴交于B(2,0)、C(8,0)两点,与y轴相切于点D,则点A的坐标是()A.(5,4)B,(4,5)C,(5,3)D,(3,5)考点：坐标与图形性质；勾股定理；垂径定理.专题：压轴题.分析：因为点A在第一象限，OA与x轴交于B(2,0)、C(8,0)两点，与y轴相切于点D,所以OB=2,OC=8,BC=6,连接AD,则ADXOD,过点A作AE，OC于E,则ODAE是矩形，由垂径定理可知BE=EC=3

13、,所以OE=AD=5,再连接AB,则AB=AD=5,利用勾股定理可求出AE=4,从而就求出了A的坐标.解答：解：连接AD,AB,AC,再过点A作AELOC于E,则ODAE是矩形， 点A在第一象限，OA与x轴交于B(2,0)、C(8,0)两点，与y轴相切于点D,OB=2,OC=8,BC=6,A与y轴相切于点D,AD±OD, 由垂径定理可知：BE=EC=3,OE=AD=5,AB=AD=5,利用勾股定理知AE=4, A(5,4).故选A.点评： 本题需综合利用垂径定理、勾股定理来解决问题.专题：几何图形问题.二.解答题(共7小题)8. (2014?佛山)如图，O。的直径为10cm,弦AB=

14、8cm , P是弦AB上的一个动点，求 OP的长度范围.考点：垂径定理；勾股定理.过点。作OELAB于点E,连接OB,由垂径定理可知此可得出结论.解答： 解：过点。作OELAB于点E,连接OB,AB=8cm ,AE=BE=工 AB= >8=4cm,22.。0的直径为10cm,OB= >10=5cm ,2OE=VoB2 - 5E 2=5 - 42=3cm，垂线段最短，半径最长，AE=BE=AB,再根据勾股定理求出 OE的长，由23cm<OP 通cm.点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.9.(2014?盘锦三模)如图，CD为。的直径，

15、CDXAB,垂足为点F,AO±BC,垂足为E,BC=2在,(1)求AB的长；(2)求。O的半径.0D2考点：垂径定理；等边三角形的判定与性质.分析：(1)先根据CD为。的直径，CDLAB得出AD=BD,故可得出/C=lzaod,由对顶角相等得出2/AOD=/COE,故可得出/C=1ZCOE,再根据AOLBC可知/AEC=90°,故/C=30°,再由直角三角形2的性质可得出BF的长，进而得出结论；(2)在RtAOCE中根据/C=30°即可得出OC的长.解答：解：(1)CD为。的直径，CDLAB,=_L,AF=BF,/cJ/AOD,2./ C=Az COE/

16、AOD=/COE,2AO±BC,/AEC=90./C=30°,BC=2证，BF=-BC=V3,AB=2BF=2V3；(2)AOXBC,BC=2a/3,CE=BE=-BC=；,C=30°,OC=2=g|=2,即。O的半径是2.cos30°V3'”是解答此题的关键.点评：本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧10.(2009?长宁区二模)如图，点C在。0的弦AB上，COLAO,延长CO交。于D.弦DELAB,交AO于F.(1)求证：OC=OF;(2)求证：AB=DE.考点：垂径定理；全等三角形的判定.专题：证明题.分

17、析：(1)、由同角的余角相等可得，/DFO=/OCA,由AAS证得4ACODFO,故有OF=OC;(2)、证得/DOE=/AOB,再由SAS得至UOABZODE?AB=DE.解答：证明：(1).一/D+/DCA=/D+/DFO=90°,/DFO=/OAC.又OD=OA,/DOF=/AOC=90°,.ACO,DFO.OF=OC.(2)连接OB、OE, OE=OD,OA=OB,.D=/E,/A=/B. ./DOE=180°-2/D,ZAOB=180-2ZA.由1知，AACODFO,有/A=/D./DOE=/AOB.又OE=OD=OA=OB,.OABAODE.AB=DE

18、.点评：本题利用了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，等边对等角求解.11. (2009?浦东新区二模)一根横截面为圆形的下水管道的直径为 宽AB为0.6米.(1)求此时的水深(即阴影部分的弓形高)；(2)当水位上升到水面宽为 0.8米时，求水面上升的高度.1米，管内有少量的污水(如图)，此时的水面|>o考点：垂径定理的应用.分析：作半径OCLAB,连接OA,则CD即为弓形高.根据垂径定理的AD=AB,然后根据已知条件求出CD的长；当水位上升到水面宽MN为0.8米时，直线OC与MN相交于点P,由此可得OP=0.3,然后根据MN与AB在圆心同侧或异侧时两种情况解答.解答：解：(1)作半

19、径OCLAB,垂足为点D,连接OA,则CD即为弓形高 OCXAB,上1AO=0.5,AB=0.6, AD=-1aB=1>O.6=0.3,22-OD=,7,u;"J,'=0.4(2)当水位上升到水面宽 MN为0.8米时，直线OC与MN相交于点PCD=OC-OD=0.5-0.4=0.1米，即此时的水深为0.1米0.1 米;0.7 米.同理可得OP=0.3,当MN与AB在圆心同侧时，水面上升的高度为当MN与AB在圆心异侧时，水面上升的高度为点评：本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力.12. (2008?长宁区二模)如图，在4ABC中，AB=AC,。过点B、C,且交边AB

20、、AC于点E、F,已知/A=ZABO,连接OE、OF、OB.(1)求证：四边形AEOF为菱形；(2)若BO平分/ABC,求证：BE=BC.考点：菱形的判定；平行线的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；圆的认识；垂径定理.专题：证明题.分析：(1)连接AO并延长AO交BC于M过O作OQLAB于Q,连接OC,根据等腰三角形的性质证出/BAC=ZABO=ZACO,推出/BAC=/OEB=/OFC,得出AE/OF,AF/OE,再OE=OF,即可推出答案；(2)根据角平分线定理求出OQ=OM,根据勾股定理求出BQ=BM,根据垂径定理即可推出结论.解答：证明：(1)连接AO并延长AO交

21、BC于M过O作OQLAB于Q,ORXAC于R,连接OC,OB=OC, ./OBC=/OCB, AB=AC,/ABC=/ACB,/ABO=/ACO, /BAC=/ABO,/BAC=/ABO=/ACO, OE=OB,OC=OF,/ABO=/OEB,/ACO=/OFC, ./BAC=/OEB=/OFC,AE/OF,AF/OE, 四边形AEOF是平行四边形， OE=OF,，平行四边形AEOF为菱形.(2)二.圆O过B、C,O在BC的垂直平分线上， AB=AC,AM±BC,BO平分/ABC,OQXAB,OQ=OM,，由勾股定理得：BM=BQ,由垂径定理得：BE=BC.点评：本题主要考查对勾股定理，等腰三角形的判定，菱形的判定，垂径定理，圆的认识