第九章强度理论和组合变形

1、第九章强度理论和组合变形9.1强度理论的概念9.2常用的强度理论9.3强度理论的应用9.4组合变形的概念9.5弯曲与拉伸的组合9.6弯曲与扭转的组合9.19.1强度理论的概念强度理论的概念对于单向应力状态，比如轴向拉对于单向应力状态，比如轴向拉压，其强度条件为：压，其强度条件为： nAN0材料破坏的主要因素与应力状态之间存在何种关系？材料破坏的主要因素与应力状态之间存在何种关系？长期生产实践中，人们提出某些关于材料破坏的假说，长期生产实践中，人们提出某些关于材料破坏的假说，称为强度理论，常用的有称为强度理论，常用的有4种。种。材料破坏的形式主要有两类：材料破坏的形式主要有两类：屈服破坏屈服破坏

2、断裂破坏断裂破坏9.29.2常用的强度理论常用的强度理论第一强度理论第一强度理论观点：观点：破坏条件：破坏条件：强度条件：强度条件：最大拉应力是引起材料断裂破坏的主要因最大拉应力是引起材料断裂破坏的主要因素，即认为无论是单向或复杂应力状态，素，即认为无论是单向或复杂应力状态，第一主应力是主要破坏因素第一主应力是主要破坏因素b1脆性材料的破坏形式是断裂脆性材料的破坏形式是断裂 nb1没有考虑第没有考虑第2、3主主应力的影响应力的影响最大伸长线应变理论（最大伸长线应变理论（第二强度理论第二强度理论）观点：观点：破坏条件：破坏条件：强度条件：强度条件：最大伸长线应变是引起材料断裂破坏的主要因最大伸长

3、线应变是引起材料断裂破坏的主要因素，即认为无论是单向或复杂应力状态，素，即认为无论是单向或复杂应力状态， 是是主要破坏因素主要破坏因素Eb01脆性材料的破坏形式是断裂脆性材料的破坏形式是断裂 nb321考虑第考虑第2、3主应主应力的影响力的影响1极限应变极限应变32111E321bmax231max2222045smaxsins31 31第四强度理论第四强度理论观点观点破坏条件：破坏条件：强度条件：强度条件：fufu221323222126161sfEEu0321,s21323222121s 21323222121 r112123313222412233112rrrr 塑性材料宜采用第三、第四

4、强度理论塑性材料宜采用第三、第四强度理论脆性材料宜采用第一、第二强度理论脆性材料宜采用第一、第二强度理论但是，无论是塑性材料还是脆性材料，在三但是，无论是塑性材料还是脆性材料，在三向拉应力接近相等状态下，都以断裂形式破坏，宜向拉应力接近相等状态下，都以断裂形式破坏，宜采用最大拉应力理论；在三向压应力接近相等状态采用最大拉应力理论；在三向压应力接近相等状态下，都引起塑性变形，宜采用第三、第四强度理论。下，都引起塑性变形，宜采用第三、第四强度理论。 0rnn式中：式中：n-构件的工作安全系数；构件的工作安全系数； n-构件的许用安全系数；构件的许用安全系数； 0- 材料的材料的极限应力；极限应力；

5、 r-相当应力；相当应力；（1）通过受力分析确定构件的外力、内力、危险截面。）通过受力分析确定构件的外力、内力、危险截面。（2）通过应力分析确定危险截面上的危险点。）通过应力分析确定危险截面上的危险点。（3）从构件的危险点处截取单元体，计算主应力。）从构件的危险点处截取单元体，计算主应力。（4）选用适当的强度理论计算相当应力）选用适当的强度理论计算相当应力 eq。（5）确定材料的许用拉应力）确定材料的许用拉应力 ，将其与，将其与 eq比较。比较。9.39.3强度理论的应用强度理论的应用分析步骤：MPaxxxminmax14-1144021002100222222MPaMPaMPa14,114,

6、140321 从某构件的危险点处取出一单元体如图从某构件的危险点处取出一单元体如图7-8a 所示，已知钢所示，已知钢材的屈服点材的屈服点 s = 280MPa.试按最大剪应力理论和形状改变比能试按最大剪应力理论和形状改变比能理论计算构件的工作安全系数。理论计算构件的工作安全系数。82. 1154280MPa154)14(14033313 eqseqn 95. 1143280MPa14321442132322214 eqseqn 例 图示单向与纯剪切组合应力状态，是一种常见的应力状态，试分别根据第三与第四强度理论建立相应的强度条件。可知，该微体的最大与最小正应力分别为2max2min22xyxy

7、x2max2min1(4)2解：由公式相应的主应力为21231(4)220由第三强度理论得： 2234 ) r由第四强度理论得： 2243 ) r例例No20a工字钢梁受力如图，已知材料的许用应力工字钢梁受力如图，已知材料的许用应力 150,95MpaMpa ，校核其强度。，校核其强度。 例例1图图解：解：（一）画梁的剪力图和弯矩图（一）画梁的剪力图和弯矩图 危险截面发生在危险截面发生在C、D截面截面 MC=32KNm QC=100KN （二）强度校核（二）强度校核 a正应力强度校核（正应力强度校核（K1）点点 3max1632 10135150237 10CkZMMpaMpaW 先绘出先绘出

8、C截面正应力分布图和剪应力分布图。截面正应力分布图和剪应力分布图。 C截面截面b剪应力强度校核剪应力强度校核(K2)点点 C截面截面 *3max23100 1083.19517.2 107 10CZZQ SMpaMpaI b 正应力和剪应力强度条件均满足。正应力和剪应力强度条件均满足。 c校核腹板和翼板交接处（校核腹板和翼板交接处（K3）点的强度。点的强度。 K3点处的复杂应力状态，绘出点处的复杂应力状态，绘出K3点的应力状态图。点的应力状态图。 C截面截面MpayIMkZCk120107 .23106 .88103263333 MpabISQZZCk8 .64107107 .231024 .

9、116 .881004 .11101003693*3 223332243341761503164150kkrkkMpaMpaMpaMpa 说明钢梁在说明钢梁在K3点处的相当应力超过许用应力，不能满足点处的相当应力超过许用应力，不能满足强度要求。必须增大工字钢的型号，才能满足钢梁在强度要求。必须增大工字钢的型号，才能满足钢梁在K3点处点处的强度。的强度。 由于钢梁为塑性材料，由于钢梁为塑性材料，K3点处的强度可由第三或第四强点处的强度可由第三或第四强度理论进行校核。度理论进行校核。 在纯剪切应力状态下：在纯剪切应力状态下： 用第三强度理论可得出：塑性材料的许用剪用第三强度理论可得出：塑性材料的许

10、用剪应力与许用拉应力之比应力与许用拉应力之比 用第四强度理论可得出：塑性材料的许用剪用第四强度理论可得出：塑性材料的许用剪应力与许用拉应力之比应力与许用拉应力之比 例：填空题。例：填空题。 解：在纯剪切应力状态下，三个主应力分别为解：在纯剪切应力状态下，三个主应力分别为1230 ,第三强度理论的强度条件为：第三强度理论的强度条件为：132 () 由此得：由此得： 2剪切强度条件为：剪切强度条件为： 按第三强度理论可求得：按第三强度理论可求得： 2第四强度理论的强度条件为：第四强度理论的强度条件为：123122232312()()() 由此得：由此得： 3剪切强度条件为：剪切强度条件为： 按第四

11、强度理论可求得：按第四强度理论可求得： 3 在纯剪切应力状态下：在纯剪切应力状态下： 用第三强度理论可得出：塑性材料的许用剪用第三强度理论可得出：塑性材料的许用剪应力与许用拉应力之比应力与许用拉应力之比 用第四强度理论可得出：塑性材料的许用剪用第四强度理论可得出：塑性材料的许用剪应力与许用拉应力之比应力与许用拉应力之比 例：填空题。例：填空题。 0.50.577 第三强度理论和第四强度理论的相当应第三强度理论和第四强度理论的相当应力分别为力分别为r3及及r4，对于纯剪应力状态，恒有对于纯剪应力状态，恒有r3r4。例：填空题。例：填空题。1230 ,r3132 ()r4122232312123(

12、)()() 危险点接近于三向均匀受拉的塑性材料，危险点接近于三向均匀受拉的塑性材料，应选用应选用 强度理论进行计算，因为此时强度理论进行计算，因为此时材料的破坏形式为材料的破坏形式为 。例：填空题。例：填空题。第一第一脆性断裂脆性断裂 例：例： 圆轴直径为圆轴直径为d，材料的弹性模量为材料的弹性模量为E，泊松比为泊松比为 ，为了测得轴端的力偶之值，但为了测得轴端的力偶之值，但只有一枚电阻片。只有一枚电阻片。 (1) 试设计电阻片粘贴的位置和方向；试设计电阻片粘贴的位置和方向； (2) 若按照你所定的位置和方向，已测得线应若按照你所定的位置和方向，已测得线应 变为变为 0，则外力偶？，则外力偶？

13、CL10TU60mm解：解：(1)将应变片贴于与母线成将应变片贴于与母线成45角的外表面上角的外表面上(2)maxmin 1230 , 11231E()1E1163Emd0md E3016 1 ()RAHATCABP24kN_NB2m1m1.5mPACTxTy12kNm_M叠加原理应用的基本步骤：叠加原理应用的基本步骤： 将载荷进行分解，得到与原载荷等效的几将载荷进行分解，得到与原载荷等效的几组载荷，使构件在每一组载荷的作用下，组载荷，使构件在每一组载荷的作用下，只产生一种基本变形只产生一种基本变形 分析每种载荷的内力，确定危险截面分析每种载荷的内力，确定危险截面 分别计算构件在每种基本变形情

14、况下的危分别计算构件在每种基本变形情况下的危险截面内的应力险截面内的应力 将各基本变形情况下的应力叠加，确定最将各基本变形情况下的应力叠加，确定最危险点危险点 选择强度理论，对危险点进行强度校核选择强度理论，对危险点进行强度校核sinppcosppyxAPxyIMxlPMzy )(在在Px作用下：作用下：在在Py作用下：作用下：zTWMANmaxmaxzCWMANmaxmaxyIMANz TzmaxmaxTWMANczmaxmaxCWMAN kN8 .20kN12kN8 .20577. 01230kN12202, 0 AABBBBAXYtgYXPYlPlYM得得m24000N44240004m

15、ax PlM363242m10402cm402m105 .48cm5 .48 zWA60MPaPaWMzmaxmax6610601040224000故故BNX6208004.3 100.00485BCXNPaAA maxmaxmax4.3 6064.3MPamax4.3 6055.7MPaCzTzMNAWNMAW MPa.maxC364 将立柱假想地截开，取上段为将立柱假想地截开，取上段为研究对象，由平衡条件，求出研究对象，由平衡条件，求出立柱的轴力和弯矩分别为立柱的轴力和弯矩分别为15000N15000 0.46000N mSPMPe max62315000600035 10432TTzSP

16、eAWdd求解求解d的三次方程的三次方程 MPaMPa.maxT354321043232125014360004125014315000632满足强度条件，最后选用立柱直满足强度条件，最后选用立柱直 d = 12.5cmm.d120631035326000dWMz因为偏心距较大，弯曲应力因为偏心距较大，弯曲应力是主要的，故先考虑按弯曲强是主要的，故先考虑按弯曲强度条件度条件 设计截面尺寸设计截面尺寸例6-9 图示梁，承受集中载荷F作用。已知载荷F10kN，梁长l2m，载荷作用点与梁轴的距离el/10，方位角20，许用应力=160MPa。试选择一工字钢型号。解：1梁的内力分析 首先，将载荷F沿x

17、和y轴分 解，得相应分力为然后，将Fx平移到梁的轴线上，得轴向力Fc和附加力偶Me。33cos30 =8.66 10 Nsin305.00 10 NxyFFFF3338.66 10 N8.66 101.732 10 N m10CxexFFMFe2、梁的截面设计 梁处于弯拉组合变形状态，横截面A为危险截面，最大正应力为 在横向力Fy与力偶矩Me作用下，梁产生弯曲变形；在轴向力Fc作用下，梁轴向受拉。梁的弯矩与轴力图分别如图所示。maxNM,maxxAzFMAW 因而强度条件为xAzFMAW在上式中，包含截面面积A与抗弯截面系数Wz两个未知量，而对于工字钢截面，由于二者间不存在确定的函数关系，因此

18、，由上式尚不能确定未知量A与Wz。 考虑到最大弯曲正应力M，max一般均大于或远大于轴向拉伸应力N，因此，可首先按弯曲强度选择截面型号、然后再按弯拉组合受力校核其强度，并根据需要进一步修改设计。在不考虑轴向拉伸应力N的情况下，梁的强度条件为 由型钢规格表中查得，No12.6工字钢的抗弯截面系数Wz7.7510-5m3，截面面积A1.8110-3m2。因此，如果选择Nol26工字钢作梁，则由式(a)得截面A的最大正应力为35368.27 10 N m5.17 10 m 160 10 PaAzMW可见，选择No12.6工宇钢作梁满足强度要求。33max-32-538.66 10 N8.2710 N

19、 m1.81 10 m7.75 10 m81.115 10 Pa=111.5MPa | 3 |，应按第一强度理论校核杆的强度。显然说明杆符合强度要求。1 例例 图示钢制实心圆轴，其齿轮图示钢制实心圆轴，其齿轮C上作用铅直切向力上作用铅直切向力5KN， 径向力径向力1.82KN；齿轮齿轮D上作用有水平切向力上作用有水平切向力10KN，径向力径向力3.64KN。齿轮齿轮C的直径的直径dC=400mm，齿轮齿轮D的直径的直径dD=200mm。圆轴的容许应力圆轴的容许应力 。试按第四强度理论求轴的直径。试按第四强度理论求轴的直径。 100MPa 例例3图图解解（一）外力分析（一）外力分析 例例3图图将

20、各力向圆轴的将各力向圆轴的截面形心简化，截面形心简化，画出受力简图。画出受力简图。 受力简图受力简图扭矩：扭矩： 1nMKN m弯矩：弯矩： 0.3641zyMKN mMKN m 总弯矩为：总弯矩为： 221.06BzyMMMKN m（二）内力分析（二）内力分析 画出内力图如图，画出内力图如图，从内力图分析，从内力图分析，B截面截面为危险截面。为危险截面。B截面上截面上的内力为：的内力为： （三）应力分析（三）应力分析 ,naanMMWWa点的位置则可由下式求解：点的位置则可由下式求解： tanyzMM B截面正应截面正应力分布图力分布图 B截面剪应截面剪应力分布图力分布图 绘出绘出B截面的正

21、应力与剪截面的正应力与剪应力分布图，确定危险点为应力分布图，确定危险点为a、b两点，其应力状态见图。两点，其应力状态见图。 （四）按第四强度理论求轴所需直径（四）按第四强度理论求轴所需直径 由由 22410.75rnMMW可得：可得： 2230.7532nMMdW 解出：解出：d=5.19mm 取一空间坐标系取一空间坐标系Oxyz,将啮合力将啮合力P1、P2分解为切向力分解为切向力P1z 、 P2y和径向力和径向力 P1y 、 P2z ，它们分别平行于，它们分别平行于y轴轴和和z轴。再将两个切轴。再将两个切向力分别向齿轮中心平移，亦即将向力分别向齿轮中心平移，亦即将P1z、P2y平行移至轴上，

22、同平行移至轴上，同时加一附加力偶时加一附加力偶。2;22211DPTDPTyDzC TC和和TD使轴产生扭转，使轴产生扭转，P1y、P2y和和P1z、P2z则分别使轴在平则分别使轴在平面面Oxy和和Oxz内发生弯曲内发生弯曲N.DTPDPTmNnNTTCzzCkDC1823396036122236126510955095501111N.DTPDPTDyyD430016803612222222N1565364.0430020N664364.01823202211 tgPPtgPPyzzyNZNZBA16381750 画出平面画出平面Oxz内的内的弯矩弯矩 My 图，如图图，如图 d 中中的水平图

23、形。的水平图形。 NYNYBA3300166422xyMMM mN294264131mN1931331402222 DCMM由比较知，在截面由比较知，在截面D上的合成上的合成弯矩最大。又从扭矩图知，弯矩最大。又从扭矩图知，此处同时存在的扭矩为：此处同时存在的扭矩为：mN361 TmN294264131mN1931331402222 DCMM MPa55MPa4 .37Pa104 .3705. 01 . 03612946322223 WTMDeq MPa55MPa4 .3405. 01 . 036175. 029475. 0322224 WTMDeq故轴满足强度条件故轴满足强度条件 例：具有切槽的正方形木杆，例：具有切槽的正方形木杆，受力如图。求：受力如图。求： （1）m-m截面上的最大拉应截面上的最大拉应力力t 和最大压应力和最大压应力c； （2）此）此t是截面削弱前的是截面削弱前的t值的几倍？值的几倍？CL11TU22解：解：(1)tcNAMWPaPaaa22242684