第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计B

1、第第6 6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 6.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计6.3 用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器6.4 用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计数字高通、带通和带阻滤波器的设计8. 已知系统的单位脉冲响应为h(n)=(n)+2(n1)+0.3(n2)+2.5(n3)+0.5(n5)试写出系统的系统函数， 并画出它的直接型结构。 解解： 将h(n)进行Z变换， 得到它的系统函数 H

2、(z)=1+2z1+0.3z2+2.5z3+0.5z5画出它的直接型结构如题8解图所示。题8解图9. 已知FIR滤波器的系统函数为)9 . 01 . 29 . 01 (101)(4321zzzzzH试画出该滤波器的直接型结构和线性相位结构。 解解： 画出滤波器的直接型结构、 线性相位结构分别如题9解图(a)、 (b)所示。题9解图直接型结构、 线性相位结构N=5为奇数，第一类15 写出题15图中系统的系统函数和单位脉冲响应。题15图解解：11112112131135)(zzzzzH取收敛域： |z|1/2， 对上式进行逆Z变换， 得到) 1(215319)(6) 1(212)(21) 1(31

3、3)(5)(11nunnunununnhnnnnn21. 假设FIR格型网络结构的参数k1=0.08, k2=0.217, k3=1.0, k4=0.5， 求系统的系统函数并画出FIR直接型结构。解解： 用到的公式重写如下： ，al1)(0lllka)( ) 1()() 1()(lkllllklkaaaa1kl1; l=1, 2, , N（该题N=3）08. 0 ,217. 0 0 . 1 5 . 01) 1 (12)2(23)3(34)4(4kaka，ka，ka，k，l1 2097. 0121)1(1)2(2)1(1)2(1kkkaaaa，k，l2 30.314)2(132)2(1)3(3)

4、2(2)3(2akkaaaa，kl1 ，3314. 0 23)2(1)2(2)3(3)2(1)3(1kkaaaaa最后得到 1 0.314， 0.314， 1)3(33)3(22)3(110aaaaaa，a画出它的直接型结构如题21解图所示。不对系统函数为321314. 0314. 01)(zzzzH 经典滤波器从功能上分又可分为：经典滤波器从功能上分又可分为：低通滤波器（低通滤波器（LP):Low pass filterLP):Low pass filter带通滤波器带通滤波器(BP):Bandpass filter(BP):Bandpass filter高通滤波器高通滤波器(HP):Hig

5、h pass filter(HP):High pass filter带阻滤波器带阻滤波器(BS):Bandstop filter(BS):Bandstop filter 1数字滤波器的分类数字滤波器的分类经典滤波器经典滤波器现代滤波器现代滤波器总起来可以分成两大类：总起来可以分成两大类：6 6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计图6.1.1 理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性 )(ejH)(ejH)(ejH)(ejH0低通0高通0带通0带阻222222226 6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计ps通带阻带过渡带10112p1, 1)

6、(1 ejH通通带带：)(lg20)()(lg200ppjwjwjpeHeHeH )(lg20)()(lg200ssjwjwjseHeHeH s2,)(ejH阻阻带带：阻带应达到的最小衰减阻带应达到的最小衰减 ： s 通带允许的最大衰减通带允许的最大衰减 ： p 实际中滤波器：实际中滤波器：当当=c,幅度降到幅度降到 ，此时，此时 dB，称，称c为为3 dB通带截止频率通带截止频率。2/23p6 6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计pjjp0,dB| )e (|min| )e (|maxlg20HHdB|)e(|min|)e(|maxlg20jjsHHlIIR滤波器

7、设计方法有间接法和直接法滤波器设计方法有间接法和直接法间接法间接法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。 设计步骤是：设计步骤是： 先设计过渡模拟滤波器得到系统函数先设计过渡模拟滤波器得到系统函数Ha (s)，然后将然后将Ha(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H(z)。直接法直接法直接在频域或者时域中设计数字滤波器，由于要解联立直接在频域或者时域中设计数字滤波器，由于要解联立方程，设计时需要计算机辅助设计。方程，设计时需要计算机辅助设计。lFIR常用的设计方法有窗函数法、频率采样法和切比雪夫等波常用的设计方法有窗函数

8、法、频率采样法和切比雪夫等波纹逼近法。纹逼近法。3 数字滤波器设计方法概述数字滤波器设计方法概述6 6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 图6.2.1 各种理想模拟滤波器的幅频特性 )(jaH低通带通带阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c6 6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计四四. .低通巴特沃斯滤波器的设计步骤低通巴特沃斯滤波器的设计步骤 (1)根据技术指标根据技术指标p,p,s和和s，求出滤波器的阶数，求出滤波器的阶数N。(2) 求截止频率求截止频率c(3)求出归一化极点求出归一化极点pk，得到归一化传输函数，得到归一化传输

9、函数Ha(p)。 (4)将将Ha(p)去归一化。将去归一化。将p=s/c代入代入Ha(p)，得到实际的滤波，得到实际的滤波器传输函数器传输函数Ha(s)。 MATLAB信号处理工具箱函数buttap, buttord和butter是巴特沃斯滤波器设计函数。6 6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计6.2.3 切比雪夫滤波器的设计切比雪夫滤波器的设计1 切比雪夫滤波器的设计原理切比雪夫滤波器的设计原理巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带还是阻带都是频率的单调减函数。因此，当通带边界处满足指标要求时，通带内肯定会有较大富余量。因此，更有效的设计方法应该是将逼近精确度均

10、匀地分布在整个通带内，或者均匀分布在整个阻带内，或者同时均匀分布在两者之内。 而通过选择具有等波纹特性的逼近函数，可以使滤波器阶数大大降低。切比雪夫滤波器的幅频特性就具有这种等波纹特性。它有两种形式： 1、振幅特性在通带内是等波纹的、在阻带内是单调下降的切比雪夫型滤波器； 2、振幅特性在通带内是单调下降、在阻带内是等波纹的切比雪夫型滤波器。 采用何种形式的切比雪夫滤波器取决于实际用途。图6.2.7(a)和(b)分别画出不同阶数的切比雪夫型和型滤波器幅频特性。我们这里仅介绍切比雪夫型滤波器的设计方法。其幅度平方函数用|Ha(j)|2表示： 式中，为小于1的正数，表示通带内幅度波动的程度，愈大，波

11、动幅度也愈大; p称为通带截止频率。令=/p，称为对p的归一化频率。CN(x)称为N阶切比雪夫多项式，定义为2a22p1|(j)|1NHC1|)arch(ch1|)arccoscos()(xxNxxNxCN，当N=0时，C0(x)=1； 当N=1时，C1(x)=x； 当N=2时，C2(x)=2x21； 当N=3 时，C3(x)=4x33x。由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为 切比雪夫多项式的特性： (1) 切比雪夫多项式的过零点在|x|1的范围内； (2) 当|x|1时，|CN(x)|1，在|x|1时，CN(x)是双曲线函数，随x单调上升。)()(2)(11xCxxCxCNNN这样，当

12、|x|1时，在0至2之间波动，函数1+的倒数即是幅度平方函数|Ha(j)|2。所以|Ha(j)|2在0，p上有等波纹波动，最大值为1，最小值为1/(1+2)。当p时，|Ha(j)|2随加大，很快接近于零。图6.2.8分别画出了四阶切比雪夫型和巴特沃斯低通滤波器的幅频特性，显然, 切比雪夫滤波器比巴特沃斯滤波器有较窄的过渡带。按照(6.2.24)式，幅度平方函数与三个参数（、p、N）有关。其中与通带内允许的波动幅度有关，定义允许的通带内最大衰减p用下式表示： )(22xCN)(22xCN2app2amax(j)10lg |min(j)HH式中因此这样，根据通带内最大衰减 p，可以求出参数。阶数N

13、影响过渡带的宽度，同时也影响通带内波动的疏密，因为N等于通带内最大值与最小值的总个数(反之N值可由频谱特性定出，后面讲）。设阻带的起始点频率(阻带截止频率)用s表示，在s处的|Ha(j)|2用(6.2.24)式确定： 22aa21max()1 min()1HjHj(6.2.26)(6.2.27)1lg(102p110p1 . 022as22s1()1NpHjC3 dB截止频率计算公式：1arch1chpcN求出极点，为因果稳定，用左半平面的极点构成Ga(p)，即式中, c是待定系数。根据幅度平方函数(6.2.24)式可导出： c=2N1，代入(6.2.38)式，得到归一化的系统函数为Niipp

14、cpG1a)(1)(NiiNpppG11a)(21)(去归一化后的系统函数为按照以上分析，归纳出切比雪夫型滤波器设计步骤： (1) 确定技术指标参数 p、p、 s和s。 p是=p时的衰减， s是 =s时的衰减，它们满足ppaa1p1( )( )2()NsNpNiiHsGpsp这里 p就是前面定义的通带最大衰减，见(6.2.26)式。(2) 求滤波器阶数N和参数。归一化边界频率为p=1, s=s/p。由(6.2.24)式得到：(6.2.41)(6.2.42)p2ap110lg|(j)|Hs2as110lg|(j)|H2p2ap2s2as11()(j)11()(j)NNCHCH 则，因此这样，先由

15、(6.2.43)式求出，代入(6.2.44)式，求出阶数N，最后取大于或等于N的最小整数。按照(6.2.27)式求： 11Archch kNs)(arch)(archs11kN11kp0.12101110110ps1 . 01 . 011k(3) 求归一化系统函数Ga(p)。为求Ga(p)，先按照(6.2.32)式求出归一化极点pk, k=1，2，N。 将极点pk代入(6.2.39)式，得到： NkNkpk2) 12(coschj2) 12(sincha1i11( )2()NNiGppp(4) 将Ga(p)去归一化，得到实际的Ha(s)，即【例例6.2.2】设计低通切比雪夫滤波器，要求通带截止

16、频率fp=3 kHz，通带最大衰减 p=0.1 dB，阻带截止频率fs=12 kHz，阻带最小衰减 s=60 dB。解解 (1) 滤波器的技术要求： paa/( )( )|p sHsGppppsssspsp0.1dB,26krad/s60dB,224krad/s1,4ffff切比雪夫型滤波器设计步骤： (1) 确定技术指标参数 p、p、 s和s。 (2) 求滤波器阶数N和参数。 (3) 求归一化系统函数Ga(p)。 (4) 将Ga(p)去归一化，得到实际的Ha(s) (2) 由(6.2.44)和 (6.2.45)式求阶数N和：1526. 011011056 . 406. 247. 9)4()6

17、553(6553110110)()(01. 01 . 01 . 01 . 011s11ppsNArchArchNkArchkArchN，取(3) 将极点pk、N和代入(6.2.39)式求Ga(p)： 由(6.2.46)式求出N=5时的极点pi，代入上式，得到： (4) 将Ga(p)去归一化，得到：51i) 15(a)(21526. 01)(ipppG)6359. 08720. 0)(1949. 13331. 0)(5389. 0(442. 21)(22appppppG147214627/aa102595. 2106437. 11 )102459. 4102788. 6)(100158. 1(1

18、| )()(pssssspGsHsp2. 用MATLAB设计切比雪夫滤波器MATLAB信号处理工具箱函数cheb1ap，cheb1ord和cheby1是切比雪夫型滤波器设计函数。其调用格式如下: 1） z, p, k= cheb1ap(N, Rp)2） N, wpo= cheb1ord(wp, ws, Rp, As)3） N, wpo= cheb1ord(wp, ws, Rp, As, s)4） B, A= cheby1(N, Rp, wpo, ftype)5） B, A= cheby1(N, Rp, wpo, ftype, s)【例例6.2.3】 设计切比雪夫型和切比雪夫型模拟低通滤波器。要

19、求与例6.2.2相同。解解 设计程序ep623.m如下: 例6.2.3设计程序: ep623.m设计切比雪夫型模拟低通滤波器wp=2*pi*3000; ws=2*pi*12000; Rp=0.1; As=60; 设置指标参数N1, wp1=cheb1ord(wp, ws, Rp, As, s); 计算切比雪夫型模拟低通滤波器阶数和通带边界频率B1, A1=cheby1(N1, Rp, wp1, s); 计算切比雪夫型模拟低通滤波器系统函数系数subplot(2, 2, 1); fk=0:12000/512:12000; wk=2*pi*fk; Hk=freqs(B1, A1, wk); plo

20、t(fk/1000, 20*log10(abs(Hk); grid onxlabel(频率(kHz); ylabel(幅度(dB)axis(0, 12, -70, 5)运行结果: N=5切比雪夫型模拟低通滤波器通带边界频率: wp1 =1.8850e+004切比雪夫型模拟低通滤波器系统函数分子分母多项式系数: B=1.2187e+011A = 1 3.2873e+004 9.8445e+008 1.6053e+013 1.8123e+017 9.7448e+020 滤波器损耗函数如图6.2.9所示。图6.2.9 五阶切比雪夫型模拟低通滤波器损耗函数 （例6.2.3的设计结果 6.2.4 椭圆滤

21、波器的设计椭圆滤波器的设计椭圆（Elliptic）滤波器在通带和阻带内都具有等波纹幅频响应特性。由于其极点位置与经典场论中的椭圆函数有关，所以由此取名为椭圆滤波器。又因为在1931年考尔（Cauer）首先对这种滤波器进行了理论证明，所以其另一个通用名字为考尔（Cauer）滤波器。椭圆滤波器的典型幅频响应特性曲线如图6.2.10所示。图6.2.10 椭圆滤波器幅频响应特性曲线由图6.2.10(a)可见，椭圆滤波器通带和阻带波纹幅度固定时，阶数越高, 过渡带越窄； 由图6.2.10(b)可见，当椭圆滤波器阶数固定时，通带和阻带波纹幅度越小, 过渡带就越宽。所以椭圆滤波器的阶数N由通带边界频率p、阻

22、带边界频率s、通带最大衰减 p和阻带最小衰减 s共同决定。后面对五种滤波器的比较将证实，椭圆滤波器可以获得对理想滤波器幅频响应的最好逼近，是一种性能价格比最高的滤波器，所以应用非常广泛。椭圆滤波器逼近理论是复杂的纯数学问题，该问题的详细推导已超出本书的范围。只要给定滤波器指标，通过调用MATLAB信号处理工具箱提供的椭圆滤波器设计函数，就很容易得到椭圆滤波器系统函数和零极点位置。MATLAB信号处理工具箱提供椭圆滤波器设计函数ellipap、 ellipord和ellip。其调用格式如下: 1） z, p, k= ellipap(N, Rp, As) 2） N, wpo= ellipord(w

23、p, ws, Rp, As) 3） N, wpo= ellipord(wp, ws, Rp, As, s) 4） B, A= ellip(N, Rp, wpo, ftype) 5） B, A= ellip(N, Rp, wpo, ftype, s)【例例6.2.4】 设计椭圆模拟低通滤波器。要求与例6.2.2相同。设计程序ep624.m如下:% 椭圆滤波器设计程序wp=2*pi*3000; ws=2*pi*12000; Rp=0.1; As=60; %设置指标参数N, wpo=ellipord(wp, ws, Rp, As, s); %计算椭圆低通模拟滤波器阶数和通带边界频率B, A=elli

24、p(N, Rp, As, wpo, s); %计算低通模拟滤波器系统函数系数省去以下绘图部分运行结果:椭圆模拟低通滤波器阶数: N=4模拟低通滤波器通带边界频率: wpo=1.8850e+004椭圆模拟低通滤波器系统函数分子分母多项式系数: B=0.0010 8.3913e015 2.9126e+007 8.0051e004 1.0859e+017A= 1 3.3792e+004 9.3066e+008 1.3646e+013 1.0984e+017滤波器损耗函数如图6.2.11所示。虽然本例中椭圆滤波器阶数是4，但从图6.1.11可以看出，四阶椭圆模拟低通滤波器的过渡带宽度小于7 kHz，比

25、指标要求（9 kHz）窄2 kHz。 而例6.2.3中需要五阶切比雪夫模拟低通滤波器，且其过渡带宽度大于7 kHz。对于本例的设计指标，如果用巴特沃斯模拟低通滤波器，计算所要求的阶数N=7。图6.2.11 四阶椭圆模拟低通滤波器损耗6.2.5 五种类型模拟滤波器的比较五种类型模拟滤波器的比较 当阶数相同时，对相同的通带最大衰减当阶数相同时，对相同的通带最大衰减 p和阻带最小衰和阻带最小衰减减 s：l巴特沃思滤波器具有单调下降的幅频特性，过渡带最宽。巴特沃思滤波器具有单调下降的幅频特性，过渡带最宽。l两种类型的两种类型的切比雪夫滤波器切比雪夫滤波器的过渡带宽度相等，比巴特沃思的过渡带宽度相等，比

26、巴特沃思滤波器的过渡带窄，但比椭圆滤波器的过渡带宽。滤波器的过渡带窄，但比椭圆滤波器的过渡带宽。 切比雪夫切比雪夫型型滤波器在通带具有等波纹幅频特性，过渡带和滤波器在通带具有等波纹幅频特性，过渡带和阻带是单调下降的幅频特性阻带是单调下降的幅频特性。 切比雪夫切比雪夫型型滤波器的通带幅频响应几乎与巴特沃思滤波器滤波器的通带幅频响应几乎与巴特沃思滤波器相同，阻带是等波纹幅频特性。相同，阻带是等波纹幅频特性。l椭圆滤波器的过渡带最窄，通带和阻带均是等波纹幅频特性。椭圆滤波器的过渡带最窄，通带和阻带均是等波纹幅频特性。6 6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计相位逼近情况相位

27、逼近情况: 巴特沃思和切比雪夫滤波器在大约3/4的通带上非常接近线性相位特性，而椭圆滤波器仅在大约半个通带上非常接近线性相位特性。贝塞尔滤波器在整个通带逼近线性相位特性，而其幅频特性的过渡带比其他四种滤波器宽得多。复杂性复杂性: 在满足相同的滤波器幅频响应指标条件下，巴特沃思滤波器阶数最高，椭圆滤波器的阶数最低，而且阶数差别较大。所以，就满足滤波器幅频响应指标而言，椭圆滤波器的性能价格比最高，应用较广泛。6 6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计6.2.6 频率变换与模拟高通、带通、带阻滤波器的设计频率变换与模拟高通、带通、带阻滤波器的设计高通、带通、带阻滤波器的幅频

28、响应曲线及边界频率分别如图所示。 低通、高通、带通和带阻滤波器的通带最大衰减和阻带最小衰减仍用 p和 s表示。6 6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计各种经典滤波器的设计公式都是针对低通滤波器的，通各种经典滤波器的设计公式都是针对低通滤波器的，通过频率变换公式，可以将模拟低通滤波器系统函数过频率变换公式，可以将模拟低通滤波器系统函数Q(p)变换变换成希望设计的低通、高通、带通和带阻滤波器系统函数成希望设计的低通、高通、带通和带阻滤波器系统函数Hd(s)。在模拟滤波器设计手册中，提供从低通到其他各种滤波器的在模拟滤波器设计手册中，提供从低通到其他各种滤波器的频率变换公

29、式。频率变换公式。设计高通、带通和带阻滤波器的一般过程是设计高通、带通和带阻滤波器的一般过程是:l(1) 通过频率变换公式，先将希望设计的滤波器指标转换为通过频率变换公式，先将希望设计的滤波器指标转换为相应的低通滤波器指标；相应的低通滤波器指标； l(2) 设计相应的低通系统函数设计相应的低通系统函数Q(p)；l(3) 对对Q(p)进行频率变换，得到希望设计的滤波器系统函数进行频率变换，得到希望设计的滤波器系统函数Hd(s)。 6 6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计l为了叙述方便，定义为了叙述方便，定义p=+j为为Q(p)的的归一化复变量归一化复变量，其，其通带边

30、界频率记为通带边界频率记为p，称为归一化频率称为归一化频率。用。用Hd(s)表示希望设表示希望设计的模拟滤波器的系统函数，计的模拟滤波器的系统函数，s=+j表示表示Hd(s)的复变量。的复变量。l例如，一阶巴特沃斯例如，一阶巴特沃斯低通原型系统函数低通原型系统函数为为l显然显然, 其其3 dB截止频率截止频率p=1, 是关于是关于3 dB截止频率归一化。截止频率归一化。 l模拟滤波器设计模拟滤波器设计手册中给出了手册中给出了各种模拟滤波器归一化低通系各种模拟滤波器归一化低通系统函数的参数统函数的参数（零、极点位置，分子、分母多项式系数等）。（零、极点位置，分子、分母多项式系数等）。 1( )1

31、G pp6 6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计1 模拟高通滤波器设计模拟高通滤波器设计从低通到高通滤波器的映射关系为下面简单介绍各种频率变换公式。从p域到s域映射的可逆变换记为p=F(s)。低通系统函数Q(p)与Hd(s)之间的转换关系为（6.2.48） d( )( )( )p F sHsQ p（6.2.49） 1d( )( )( )s FpQ pHspphps （6.2.50）6 6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计在虚轴(频率轴)上该映射关系简化为如下频率变换公式: 式中，ph为希望设计的高通滤波器HHP(s)的通带边界频率。低通的

32、通带0, p 高通的通带-, -ph低通的通带-p, 0 高通的通带ph, 。低通的阻带s, 高通的阻带-sh, 0低通的阻带-, -s 高通的阻带0, sh。（6.2.51）pph 所以低通滤波器的系统函数Q(p)转换成通带边界频率为ph的高通滤波器系统函数:pphHP( )( )psHsG p 6 6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计【例例6.2.5】 设计巴特沃思模拟高通滤波器，要求通带边界频率为4 kHz，阻带边界频率为1 kHz，通带最大衰减为0.1 dB，阻带最小衰减为40 dB。解解 (1） 将希望设计的高通滤波器的指标转换成相应的低通滤波器Q(p)的

33、指标。为了计算简单，一般选择Q(p)为归一化低通，即取Q(p)的通带边界频率p=1。则可求得归一化阻带边界频率为p=1，phss20004210006 6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计pph 转换得到低通滤波器的指标为：通带边界频率p=1，阻带边界频率s=4，通带最大衰减 p=0.1dB阻带最小衰减 s=40 dB（2） 设计相应的归一化低通系统函数Q(p)。本例调用MATLAB函数buttord和butter来设计Q(p)。6 6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计pphps （6.2.50）（3） 将Q(p)转换成希望设计的高通滤波

34、器的系统函数HHP(s)。 调用MATLAB函数lp2hp实现低通到高通的变换。 BH, AH=lp2hp(B, A, wph) 将系统函数分子和分母系数向量为B和A的低通滤波器变换成通带边界频率为whp的高通滤波器，返回结果BH和AH是高通滤波器系统函数分子和分母的系数向量。实现步骤（2）和（3）的程序ep616.m如下: 6 6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计例6.2.5 设计巴特沃思模拟高通滤波器程序: ep625.mwp=1; ws=4; Rp=0.1; As=40; 设置低通滤波器指标参数N, wc=buttord(wp, ws, Rp, As, s);

35、 计算低通滤波器Q(p)的阶数N和3 dB截止频率wcB, A=butter(N, wc, s); 计算低通滤波器系统函数Q(p)的分子分母多项式系数wph=2*pi*4000; 模拟高通滤波器通带边界频率wphBH, AH=lp2hp(B, A, wph); 低通到高通转换6 6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计由系数向量B和A写出归一化低通系统函数为由系数向量BH和AH写出希望设计的高通滤波器系统函数为Q(p)和HHP(s)的损耗函数曲线如图6.2.13所示。543210.2405( )5.153313.27821.144520.810110.2405Q ppp

36、ppp51245323HP5449313217201.94 105.5146 109.59394.56071.9485 10( )5.1073 101.3042 102.0584 102.0078 109.7921 10sssssHssssss6 6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计图6.2.13 例6.2.5 所得低通、高通滤波器损耗函数曲线6 6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计值得注意的是，实际上调用函数buttord和butter可以直接设计巴特沃思高通滤波器。设计程序ep616b.m如下: 例6.2.5 设计巴特沃思模拟高通滤波

37、器程序: ep625b.mwp=2*pi*4000; ws=2*pi*1000; Rp=0.1; As=40; 设置高通滤波器指标参数N, wc=buttord(wp, ws, Rp, As, s); 计算高通滤波器阶数N和3 dB截止频率BH, AH=butter(N, wc, high, s); 计算高通滤波器系统函数HHP(s)分子分母多项式系数6 6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计程序运行结果: N=5BH=1 0 0 0 0 0AH=1 5.1073e+004 1.3042e+009 2.0584e+013 2.0078e+017 9.7921e+020

38、 由BH和AH写出希望设计的高通滤波器系统函数: 5HP544931321720( )5.1073 101.3042 102.0584 102.0078 109.7921 10sHssssss6 6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计低通到带通的频率变换公式如下: p平面与s平面虚轴上的频率关系为：2 低通到带通的频率变换低通到带通的频率变换式中，式中，Bw=pupl: 通带宽度，通带宽度，pl和和pu分别为分别为下下截止频率和通带截止频率和通带上上截止频率截止频率; 0称为带通滤波器的称为带通滤波器的中心频率中心频率。频率频率=0 频率频率=0;频率频率=p 频率频

39、率pu和和-pl，频率频率=-p 频率频率-pu和和pl。低通通带低通通带-p, p带通通带带通通带-pu, -pl和和pl, pu。频率频率=s 频率频率su和和sl，频率频率=s 频率频率su 和和sl。220pwspB s（6.2.53）220pwB （6.2.54）6 6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计就将Q(p)转换为带通滤波器的系统函数，即 如果原指标给定的边界频率不满足式（6.2.56），就要改变其中一个边界频率, 以便满足式（6.2.56），但要保证改变后的指标高于原始指标。 具体方法:如果plpuslsu，则减小pl（或增大sl）使式（6.2.5

40、6）得到满足。具体计算公式为220pwBP( )( ) spB sHsQ p（6.2.55）2plpuslsu0 （6.2.56）6 6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计减小pl使通带宽度大于原指标要求的通带宽度，增大sl或减小pl都使左边的过渡带宽度小于原指标要求的过渡带宽度； 反之，如果plpufslfsu所以不满足（6.2.56）式。按照（6.2.57）式增大fsl，则 采用修正后采用修正后的fsl，按如下步骤设计巴特沃斯模拟带通滤波器。6plpusl3su28 10 3.1111 kHz9 10f fff 将希望设计的带通滤波器指标转换为相应的低通原型滤波器

41、Q(p)的指标。6 6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 为了设计方便，一般选择Q(p)为归一化低通，即取Q (p)的通带边界频率p=1。 因为=s的映射为sl，所以可求得归一化阻带边界频率为转换得到的归一化低通滤波器指标为: 通带边界频率p=1，阻带边界频率s=1.963，通带最大衰减 p=1 dB，阻带最小衰减 s=20 dB。 2220slsslw283.11111.96303.1111 3fff B6 6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计 设计相应的归一化低通系统函数Q(p)。设计过程与例6.2.1完全相同。 将Q(p)转换成所希

42、望设计的带通滤波器系统函数HBP(s)。本例调用MATLAB函数buttord和butter直接设计巴特沃思模拟带通滤波器。设计程序ep626.m如下: 6 6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计例6.2.6 设计巴特沃思模拟带通滤波器程序: ep626.mwp=2*pi*4000, 7000; ws=2*pi*2000, 9000; Rp=1; As=20; 设置带通滤波器指标参数N, wc=buttord(wp, ws, Rp, As, s); 计算带通滤波器阶数N和3dB截止频率wcBB, AB=butter(N, wc, s); 计算带通滤波器系统函数分子分母

43、多项式系数向量BB和AB6 6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计程序运行结果: 阶数: N=5系统函数分子多项式系数向量: BB=1.0e+021 * 0 0 0 0 0 6.9703 0 0 0 0 0系统函数分母多项式系数向量: AB=1 7.5625e+004 8.3866e+009 4.0121e+014 2.2667e+019 7.0915e+023 2.5056e+028 4.9024e+032 1.1328e+037 1.1291e+041 1.6504e+045 由运行结果可知，带通滤波器是2N阶的。10阶巴特沃思带通滤波器损耗函数曲线如图6.2.1

44、5所示。6 6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计6 6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应数字滤波器的设计3 低通到带阻的频率变换低通到带阻的频率变换低通到带阻的频率变换公式为p平面与s平面虚轴上的频率变换关系为式中，式中，Bw=susl，表示带阻滤波器的阻带宽度，表示带阻滤波器的阻带宽度，sl和和su分别为带阻滤分别为带阻滤波器的阻带下截止频率和阻带上截止频率波器的阻带下截止频率和阻带上截止频率; 0称为带阻滤波器的阻带中心称为带阻滤波器的阻带中心频率。频率。将低通的通带p, p 带阻的阻带su, sl和sl, su。wp220B sps（6.2.58）wp220B （6.2.59）6 6章章 无限脉冲响应数字滤波器的设计无限脉冲响应