课题1焦点三角形性质总结

1、 课题1：焦点三角形的性质椭圆性质一：焦点三角形1（PF1F2，P为椭圆上任意一点，F1，F2为椭圆的焦点）周长=2a+2c；面积SPF1F2= 当即为短轴端点时，的最大值为bc；面积SPF1F2=注意：当最大时，即P为椭圆上下顶点时，面积取得最大值。面积SPF1F2=r(a+c)(r为PF1F2内切圆的半径r;)焦点三角形PF1F2的角平分线定理：P为椭圆上任意一点，F1，F2为椭圆的焦点，I为 PF1F2内切圆的圆心，M为直线PI与F1，F2所在轴的交点；则证明过程：同理可证，在椭圆（0）中，公式仍然成立. 焦点三角形2（ABF2，AB为过椭圆焦点F1的直线与椭圆的交点，F1，F2为椭圆的

2、焦点）周长=AB+AF2+BF2=AF1+BF1+AF2+BF2=4a；面积S=SAF1F2+SBF1F2=+=椭圆焦点三角形的性质性质二：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为性质三：已知椭圆方程为左右两焦点分别为设焦点三角形，若最大，则点P为椭圆短轴的端点证明：设,由焦半径公式可知：，在中， = 性质四：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则证明：设则在中，由余弦定理得： 命题得证。 性质五：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形，则椭圆的离心率。 由正弦定理得：由等比定理得：而，。性质六：以椭圆的两个焦点，及椭圆上任意一点（除长轴上两个端点外）为顶点的，=，=， 则离

3、心率 由正弦定理，有 性质七：以椭圆的两个焦点，及椭圆上任意一点（除长轴上两个端点外）为顶点的，设=，=，=， 则.证明：在中，由余弦定理，有 整理，得 性质八：已知点是椭圆上任一点，且.则.证明： 性质九：以椭圆的两个焦点，及椭圆上任意一点（除长轴上两个端点外）为顶点的，设=，则 .证明：由正弦定理，有 即.因为，所以 .当点P在长轴上的端点时，这时，不存在，因此， 性质十：以椭圆的两个焦点，及椭圆上任意一点（除长轴上两个端点外）为顶点的，=，=， 则 .证明：由正弦定理，有 .双曲线性质一：焦点三角形（PF1F2，P为双曲线上任意一点，F1，F2为双曲线的焦点）面积SPF1F2= ；面积S

4、PF1F2=（为<F1PF2）证明过程：, 易得时，有焦点三角形2（ABF2，AB为过双曲线焦点F1的直线与椭圆的交点，F1，F2为双曲线的焦点） |AF2|+|BF2|AB|=4a面积S=SAF1F2+SBF1F2=+=双曲线焦点三角形的性质性质一推论：在双曲线（0，0）中，左右焦点分别为、，当点P是双曲线左支上任意一点，若，则.特别地，当时，有。当点P是双曲线右支上任意一点，若（双曲线渐近线的倾斜角），则证明：当P为左支上一点时，记（），由双曲线的定义得，在中，由余弦定理得： 代入得求得。得证特别地，当时，当P为右支上一点时，记（），由双曲线的定义得，在中，由余弦定理得： 代入得求得

5、。得证性质二：双曲线焦点三角形的内切圆与F1F2相切于实轴顶点；且当P点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P点在双曲线右支时，切点为右顶点。证明：设双曲线的焦点三角形的内切圆且三边F1F2，PF1，PF2于点A,B,C，双曲线的两个顶点为A1,A2，,性质三：双曲线离心率为e，其焦点三角形PF1F2的旁心为A，线段PA的延长线交F1F2的延长线于点B，则证明：由角平分线性质得性质四：双曲线的焦点三角形PF1F2中，当点P在双曲线右支上时，有当点P在双曲线左支上时，有证明：由正弦定理知由等比定理，上式转化为分子分母同除以，得性质五：以双曲线的两个焦点、及双曲线上任意一点（除实轴上两个端点外）为顶

6、点的，设=，则图5 证明：在中，由余弦定理，有 由得 性质六：设点是双曲线上任一点，且则 证明： 性质七： 以双曲线的两个焦点、及双曲线上任意一点（除实轴上两个端点外）为顶点的，=，=，则离心率 （）.证明：由正弦定理，有 即又 .1. 椭圆焦点三角形的周长【2014广西理】已知椭圆C（ab0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若AF1B的周长为4，则C的方程为（）A BCD【答案】 A【解析】 AF1B的周长为4，4a=4， a=，离心率为， c=1， b=， 椭圆C的方程为【2011新课标理14】在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为。

7、过的直线L交C于两点，且ABF2的周长为16，那么的方程为 。【答案】【解析】 由得a=4.c=,从而b=8,为所求【2008浙江】已知F1、F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|= 【答案】8【解析】椭圆=1的a=5，由题意的定义，可得，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，则三角形ABF2的周长为4a=20，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=2012=8【2006全国2理】已知ABC的顶点B、C在椭圆，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是A.B.6C.D.12【答案】C2

8、. 双曲线焦点三角形的周长【2007湖北】过双曲线左焦点F的直线交双曲线的左支于M、N两点，F2为其右焦点，则|MF2|+|NF2|MN|的值为 【答案】8【解析】根据双曲线定义有|MF2|MF|=2a，|NF2|NF|=2a，两式相加得|MF2|+|NF2|MN|=4a=83.椭圆的面积【2009上海理】已知F1、F2是椭圆C：（ab0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且若PF1F2的面积为9，则b= 【答案】3【解析】F1、F2是椭圆C：（ab0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且|PF1|+|PF2|=2a，=4c2，（|PF1|+|PF2|）2=4c2+2|PF1|PF2|=4a2，36=

9、4（a2c2）=4b2， b=3【2004湖北】已知椭圆的左、右焦点分别是、，点P在椭圆上. 若P、是一个直角三角形的三个顶点，则点P到轴的距离为（ ）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】若或是直角顶点，则点P到轴的距离为半通径的长；若P是直角顶点，设点P到轴的距离为h，则，又， 【例1】若P是椭圆上的一点，、是其焦点，且，求的面积.【答案】【解析】解法一：在椭圆中，而记点P在椭圆上，由椭圆的第一定义得：在中，由余弦定理得：配方，得：从而解法二：在椭圆中，而【例2】已知P是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设，则， 【例

10、3】 椭圆上一点P与椭圆两个焦点、的连线互相垂直，则的面积为（ ） A. 20 B. 22 C. 28 D. 24【答案】D【解析】，. 【例4】 椭圆的左右焦点为、， P是椭圆上一点，当的面积为1时，的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 6 【答案】A【解析】设，【例5】 椭圆的左右焦点为、， P是椭圆上一点，当的面积最大时，的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 【答案】D【解析】，设， ，当的面积最大时，为最大，这时点P为椭圆短轴的端点，.【例6】 已知椭圆（1）的两个焦点为、，P为椭圆上一点，且，则的值为（ ）A1 B C D【答案】C【解析】，又，从而.【例7】

11、 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，、为焦点，点P在椭圆上，直线与倾斜角的差为，的面积是20，离心率为，求椭圆的标准方程.【解析】设，则. ，又，即.解得：.所求椭圆的标准方程为或.【例8】已知椭圆的中心在原点，、为左右焦点，P为椭圆上一点，且， 的面积是，准线方程为，求椭圆的标准方程.【解析】设，.，.又，即.或.当时，这时椭圆的标准方程为；当时，这时椭圆的标准方程为；但是，此时点P为椭圆短轴的端点时，为最大，不合题意.故所求的椭圆的标准方程为【例9】如图：、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，是面积为1的正三角形，求的值 【分析】此题按常规思路是从入手，即，求得所以点的坐标分别为，.由

12、于点在椭圆上，有 解此方程组就可得到的值但这涉及到解二元二次方程组，计算量很大，非常麻烦.若用性质1求解可使运算得以简化【解析】连接则， 有 4.双曲线的面积 【2010全国1理9】已知、为双曲线C:的左、右焦点，点p在C上，P=，则P到x轴的距离为（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】不妨设点P在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得，.由余弦定理得cosP=,即cos,解得,所以，故P到x轴的距离为【2010全国1文8】已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，=，则 （ ）A.2 B.4 C. 6 D. 8【答案】B【解析】.解法一：由余弦定理得cosP=所以4解法二：由焦点三角

13、形面积公式得：4【2007辽宁理11】设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（ ）ABCD【答案】B【2005全国理9】已知双曲线x2-=1的焦点为，点M在双曲线上且=0，则点M到x轴的距离为（ ）A. B.C. D.【答案】C【例】（1） 若P是双曲线左支上的一点，是其焦点，且，求的面积.（2）若P是双曲线右支上的一点，是其焦点，且，求的面积.【解析】（1）解法一：在双曲线中，而记点P在双曲线上，由双曲线定义得：在中，由余弦定理得：解得： 解法二：在双曲线中，而（2）解法一：在双曲线中，而记点P在双曲线上，由双曲线定义得：在中，由余弦定理得：解得： 解法二：在双曲线中，而5

14、. 椭圆性质的应用【2004年福建高考题】已知、是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于、两点，若是正三角形，求这个椭圆的离心率 . 【分析】由是正三角形可知，根据椭圆的第一定义可求得.再由可求得离心率e.若用性质九解题，求解更简便【解析】根据已知条件有（如图3） 【例1】已知椭圆的焦点是F1(1，0)、F2(1，0)，P为椭圆上一点，且F1F2是PF1和PF2的等差中项(1)求椭圆的方程；(2)若点P在第三象限，且PF1F2120°，求tanF1PF2【解析】(1)由题设2F1F2PF1PF22a，又2c2，b椭圆的方程为1(2)设F1PF2，则PF2F160°椭圆的离心率则，整理得：5sin(1cos)故，tanF1PF2tan【例2】点是椭圆上一点，以点以及焦点、为顶点的三角形的面积等于1，求点的坐标 【解析】设点坐标为,则 把代入 得 【例3】如图4，是椭圆上一点，、是焦点，已知求椭圆的离心率 图4 【解析】由性质5有 化简，得 6. 双曲线性质的应用【2005年福建】已知、是双曲线的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，求双曲