模块五 排列、组合与概率

1、 模块五 排列、组合与概率排列 组合和概率排列与组合排列及排列数公式分步计数原理与分类计数原理组合及组合数公式二项式定理及系数性质概率随机事件的概率互斥事件只有一个发生的概率随机事件及其概率相互独立事件同时发生的概率等可能事件的概率相互独立事件及其同时发生的概率独立重复试验【知识网络】 51 分类计数、分步计数原理【考点透视】一、考纲指要掌握分类计数原理与分步计数原理.二、命题落点1分类计数原理与分步计数原理的应用，如例1和例2;2分类计数原理和分步计数原理的区别，如例3.【典例精析】例1：（2005全国2）在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,不能被5整除的数共有 个

2、.解析:由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数共有300能被5整除的数为两种情况：末尾数字是0：60.末尾数字是5：48所以不能被5整除的数共有192 .答案：192例2：书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？解析：（1）从书架上任取1本书，有3类办法：第1类办法是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类办法是从第3层取1本体育书，有2种方法.根据分类计数原理，不同取法的种数

3、是4+3+2=9种，所以，从书架上任取1本书，有9种不同的取法；（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步从第2层取1本艺术书，有3种方法；第3步从第3层取1本体育书，有2种方法.根据分步计数原理，从书架的第1、2、3层各取1本书，不同取法的种数是种，所以，从书架的第1、2、3层各取1本书，有24种不同的取法.例3：用0，1，2，3，4，5这六个数字，（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？（2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？（3）可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？（4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的

4、自然数？（5）可以组成多少个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数？解析：（1）分三步：先选百位数字由于0不能作百位数，因此有5种选法；十位数字有5种选法；个位数字有4种选法由乘法原理知所求不同三位数共有554=100个（2）分三步：(1)百位数字有5种选法；(ii)十位数字有6位选法；(iii)个位数字有6种选法所求三位数共有566=180个（3）分三步：先选个位数字，有3种选法；再选百位数字，有4种选法；选十位数字也是4种选法，所求三位奇数共有344=48个（4）分三类：一位数，共有6个；两位数，共有55=25个；三位数共有554=100个 因此，比1000小的自然数共有6+25+

5、100=131个（5）分4类：千位数字为3，4之一时，共有2543=120个；千位数字为5，百位数字为 0，1，2，3之一时，共有443=48个；千位数字是5，百位数字是4，十位数字为0，1之一 时，共有23=6个；还有5420也是满条件的1个故所求自然数共120+48+6+1=175个【常见误区】1分清要完成的事情是什么；是分类完成还是分步完成,“类”间互相独立，“步”间互相联系；有无特殊条件的限制;2排列时要注意一些特殊位置与特殊元素的优先考虑,如排数字问题是最常见的一种类型，要特别注意首位不能排0【基础演练】1从5个元素的集合到5个元素的集合的不同的一一映射共有（ ）A55个B5!个C5

6、个D1个25个应届高中毕业生报三所重点院校，每人报且仅报一所院校，则不同的报名方法共有（ ）种A35B53CA53DC533某人射击8枪，命中4枪，4枪中恰有3枪连在一起的情形的不同种数有（ ）A720B24C20D194在所有的三位数中，有且只有两个数字相同的三位数的个数共有（ ）A111B660C594D2435由数字1、2、3、4、5可以组成数字允许重复出现的三位数 个.6展开后共有 项.7设，从到共有多少个不同映射？6个人分到3个车间，共有多少种分法？8有四位同学参加三项不同的比赛，（1）每位同学必须参加一项竞赛，有多少种不同的结果？（2）每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同的结果？

7、9求下列集合的元素个数（1）；（2）52 排列组合的基本问题【考点透视】一、考纲指要1理解排列、组合的意义;2.掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质,并能解决一些简单的问题.二、命题落点1解含排列数的方程和不等式，如例1、例2; 2考查排列、组合综合应用题，应熟悉应选后排，以免混淆。考查利用分类讨论思想，分析问题和解决问题的能力，相邻用捆绑法，不相邻用插空法,例3 .【典例精析】例1：求证：（1）；（2）证明：（1），原式成立。（2）右边 原式成立例2：解方程：3 解析：由排列数公式得：， ，即，解得：或，且，原方程的解为例3：（2001天津理）某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分

8、；平一场，得1分；负一场，得0分，一球队打完15场，积33分，若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有（ ）A3种B4种C5种D6种解析：设该队胜x场，平y场，则负（15xy）场，由题意得3x+y=33，y=333x0x11，且x+y15，（x，yN）因此，有以下三种情况：答案：A【常见误区】1排列组合题一般以选择填空题的形式出现，且错误率较高，建议考生多看一些经典的错解，明白何处重复算，何处漏算。掌握常用的捆绑法，插孔法，隔板法和平均分组的计算公式.2要注意排列数中，且这些限制条件，注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围. 公式常用来求值.【基础演练】1(2006全国1) 设集合。选择I

9、的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（ ）A B CD2（2005北京）北京财富全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为 A B C D 3(2005福建) 从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ）A300种B240种C144种D96种4若 ，则S的个位数字是（ ）A8B5 C3D05= .6（2005辽宁）用、组成没有重复数字的八位数，要求与相邻

10、，与相邻，与相邻，而与不相邻，这样的八位数共有_个（用数字作答）7求证:.8. 解不等式：9. 化简：；53 排列组合的综合应用【考点透视】一、考纲指要1掌握无限制条件的排列组合综合应用题;2掌握有限制条件的排列组合综合应用题.二、命题落点1无限制条件的排列组合综合应用题，如例1和例2;2有限制条件的排列组合综合应用题，如例3 .【典例精析】例1：（2005全国1）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（ ）A18对B24对C30对D36对解析:法一：（直接法）与上底面的、成异面直线的有15对；与下底面的、成异面直线的有9对（除去与上底面的）；与侧棱、成异面直线的有6对（除去与上下

11、底面的）；侧面对角线之间成异面直线的有6对；所以异面直线总共有36对法二：（间接法）共一顶点的共面直线有对；侧面互相平行的直线有6对；侧面的对角线有3对共面；所以异面直线总共有对答案:D例2：(2005广东) 设平面内有条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用表示这条直线交点的个数，则=_；当时， （用表示）解析：由图可得，由，可推得n每增加1，则交点增加个，答案：5，例3. 一天要排语文、数学、英语、生物、体育、班会六节课（上午四节，下午二节），要求上午第一节不排体育，数学课排在上午，班会课排在下午，问共有多少种不同的排课方法？解析：法一:（从数学课入手）（第一类）数

12、学排在第一节，班会课排在下午，其余四科任排，得（第二类）数学排在上午另三节中的一节，班会排在下午，体育排在余下（不会第一节）三节中的一节，其余三科任排，得共有排法（种）法二（从体育课入手）（第一类）体育课在上午 （第二类）体育课在下午 共有排法（种）【常见误区】1应用背景及其限制条件下合理分类是解题的关键,.2插空法主要用于两组元素中有一组或两组元素彼此不能相邻的特殊排列或组合问题;3答数较大时，对组合数的计算要求较高.4先选后排方法是处理排列组合应用题的基本方法.【基础演练】1(2005天津) 从集合1,2,3，11中任选两个元素作为椭圆方程中的m和 n,则能组成落在矩形区域B=(x,y)|

13、 |x|11且|y|9内的椭圆个数为（ ）A43 B 72 C 86 D 902(2005湖南) 设直线的方程是，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A、B的值，则所得不同直线的条数是（ ）A20B19C18D163(2005江苏) 四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为、的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（ ）A96B48 C24D04（1997全国理）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）

14、A150种B147种C144种 D141种5四个不同小球放入编号为1、2、3、4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有_种.（用数字作答）6某工程由下列工序组成，则工程总时数为 天.7（2000上海）规定，其中xR，m是正整数，且=1，这是组合数（n、m是正整数，且mn的一种推广）.（1）求的值；（2）设x0，当x为何值时，取最小值？8（1996全国）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）?9（2001全国理）已知i，m，n是正整数，且1imn.（1）证明nim

15、i； （2）证明（1m）n（1n）m.54 二项式定理【考点透视】一、考纲指要1掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们讨论整除、近似计算等相关问题2能利用二项展开式的通项公式求二项式的指定项、求满足条件的项或系数3能利用二项式系数的性质求多项式系数的和与求一些组合数的和4能熟练地逆向运用二项式定理求和5能利用二项式定理求近似值，证明整除问题，证明不等式二、命题落点1二项式定理的展开式的通项公式，如例1; 2考查组合数的性质2：，二项式定理的应用如例2;3考查以二项式为背景的信息题,如例3.【典例精析】例1：（2005全国1）的展开式中，常数项为 （用数字作答）解析:的通项公式为，令得，常

16、数项为答案： 672例2： (2005湖南) 在（1x）（1x）2（1x）6的展开式中，x 2项的系数是.（用数字作答）解析: x2项的系数等于。答案：35例3：（2005北京）已知n次多项式, 如果在一种算法中，计算（k2，3，4，n）的值需要k1次乘法，计算的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算的值共需要 次运算下面给出一种减少运算次数的算法：（k0， 1，2，n1）利用该算法，计算的值共需要6次运算，计算的值共需要 次运算解析: 由题意知道的值需要次运算,即进行次的乘法运算可得到的结果对于这里进行了3次运算,进行了2次运算,进行1次运算,最后之间的加法运算进行了3次这样总共进

17、行了次运算对于总共进行了次乘法运算及次加法运算所总共进行了次由改进算法可知：,运算次数从后往前算和为：次.答案: 【常见误区】1考查二项式知识.对于（其中为常数）展开式的各项系数和只需令即可得到为,有时还会考查展开式的二项式系数和：两者注意区分.利用通项公式求对应项系数的题型为本章重点内容.2二项式定理的考察很两极化，如果不是很基础的运算，就会出现在大题目的论证证明中，往往和不等式结合。考生要引起注意.【基础演练】1(2005全国3)在的展开式中的系数是（ ）A 14 B 14 C 28 D 282(2005山东) 如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（ ）A 7B C21

18、D 3(2005重庆) 若n展开式中含项的系数与含项的系数之比为5，则n等于（ ）A4B6C8D104(2005浙江) 在(1x)5(1x)6(1x)7(1x)8的展开式中，含x3的项的系数是（ ）A74 B121 C74D1215(2005天津) 设,则 .6(2005湖北文) 的展开式中整理后的常数项等于 .7证明能被整除()8已知展开式中最后三项的系数的和是方程的正数解，它的中间项是，求的值9求展开式中系数绝对值最大的项55 随机事件的概率【考点透视】一、考纲指要1了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念；2掌握等可能事件的概率公式，并能熟练地运用排列组合的知识解决等可能事件的概率问题.

19、二、命题落点1考查排列组合的应用,等可能事件的概率等基础知识，如例1和例2;2古典概型问题,旨在考查等可能事件的概率的求法,及运用组合知识求解事件数的能力.若能做到正确分类则不难解决，如例3.【典例精析】例1：袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回抽三次，计算下列事件的概率：（1）三次颜色各不同；（2）三种颜色不全相同；（3）三次取出的球无红色或无黄色解析：基本事件有个，是等可能的，（1）记“三次颜色各不相同”为，；（2）记“三种颜色不全相同”为，；（3）记“三次取出的球无红色或无黄色”为，例2：(2005广东) 先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、

20、5、6），骰子朝上的面的点数分别为X、Y，则的概率为（ ）ABCD解析：满足的X、Y有(1, 2)，(2, 4)，(3, 6)这3种情况，而总的可能数有36种，所以答案:C例3：（2005江西）将1，2，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为（ ）ABCD解析:将1,2，3，9平均分成三组的数目为,又每组的三个数成等差数列,总数为4，答案:B【常见误区】1等可能事件的概率，在求解的过程中，先求出不加条件限制的所有可能性a，然后再根据条件，求出满足题目要求的可能种数b，最后要求的概率就是.2平均分组问题及概率问题要注意分组与分配问题不能混淆.【基础演练】1(2005湖北) 以

21、平行六面体ABCDABCD的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p为（）ABCD2下列事件中，是随机事件的是（ ）A导体通电时，发热； B抛一石块，下落；C掷一枚硬币，出现正面； D在常温下，焊锡融化。3在10张奖券中，有4张有奖，从中任抽两张，能中奖的概率为（ ）ABCD4有个数字，其中一半是奇数，一半是偶数，从中任取两个数，则所取的两个数之和为偶数的概率为（ ）ABCD5（2005上海）某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程.从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是_.（结果用分数表示）6(2003上海,理9文9

22、)某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人,则此两人不属于同一个国家的概率 .(结果用分数表示)7将一枚骰子先后掷两次，求所得的点数之和为6的概率. 8某产品中有7个正品，3个次品，每次取一只测试，取后不放回，直到3只次品全被测出 为止，求经过5次测试，3只次品恰好全被测出的概率.9从男生和女生共36人的班级中任意选出2人去完成某项任务，这里任何人当选的机会都是相同的，如果选出的2人有相同性别的概率是，求这个班级中的男生，女生各有多少人? 56 互斥事件有一个发生的概率【考点透视】一、考纲指要了解互斥事件的意义，会用互斥事件的概率加法公

23、式计算一些事件的概率二、命题落点1考查相互独立事件的概率及随机事件的分布列,如例1和例2;2要求考生能灵活地转化问题，如果该问题从正面直接去考虑很容易出错,那么可以先考虑求它的对立事件发生的概率，如例3. 【典例精析】例1：（2005湖南）某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的. （1）求3个景区都有部门选择的概率； （2）求恰有2个景区有部门选择的概率.解析：某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为34.由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等.（1）3个景区都有部门选择可能出现的结果数为（从4个部门中任

24、选2个作为1组，另外2个部门各作为1组，共3组，共有种分法，每组选择不同的景区，共有3！种选法），记“3个景区都有部门选择”为事件A1，那么事件A1的概率为P（A1）=（2）法一：分别记“恰有2个景区有部门选择”和“4个部门都选择同一个景区”为事件A2和A3，则事件A3的概率为P（A3）=，事件A2的概率为P（A2）=1P（A1）P（A3）=法二：恰有2个景区有部门选择可能的结果为（先从3个景区任意选定2个，共有种选法，再让4个部门来选择这2个景区，分两种情况：第一种情况，从4个部门中任取1个作为1组，另外3个部门作为1组，共2组，每组选择2个不同的景区，共有种不同选法.第二种情况，从4个部门

25、中任选2个部门到1个景区，另外2个部门在另1个景区，共有种不同选法）.所以P（A2）=例2：(2005山东) 袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的.（1）求袋中原有的白球的个数；（2）求取球2次终止的概率；（3）求甲取到白球的概率.解析:（1）设袋中原有个白球,由题意知。(1)=6解得或(舍去)即袋中原有3个白球.（2） 取球2次终止，指的是甲取黑球后，乙取白球。所以取球2次终止的概率为（3）记“甲取白球”的事件为B，“第次取出的球是白

26、球”的事件为甲先取，所以甲只有可能在第1次、第3次和第5次取球两两互斥，=+.例3. 袋中有5个白球，3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率：（1）摸出2个或3个白球；（2）至少摸出1个白球；（3）至少摸出1个黑球.解析：从8个球中任意摸出4个共有种不同的结果.记从8个球中任取4个，其中恰有1个白球为事件A1，恰有2个白球为事件A2，3个白球为事件A3，4个白球为事件A4，恰有i个黑球为事件B，则（1）摸出2个或3个白球的概率：（2）至少摸出1个白球的概率P21（B4）101（3）至少摸出1个黑球的概率31（A4）1答：（1）摸出2个或3个白球的概率是；(2)至少摸出1个白球的概率是

27、1；（3）至少摸出1个黑球的概率是.【常见误区】1互斥事件的分类是一个易错的知识点,其求解过程也常出现错误,解决时应注意其分类标准及应用排列组合数计算事件发生的基本事件个数;2概率应用题越来越贴近生活，越来越注意与函数、不等式、导数、向量等工具结合，是将来高考的方向,此类问题应注意交汇点知识的应用.【基础演练】1如果事件A、B互斥，那么（ ）AA+B是必然事件 B+是必然事件 C与一定互斥 D与一定不互斥2甲袋装有个白球，个黑球，乙袋装有个白球，个黑球，(),现从两袋中各摸一个球，：“两球同色”，：“两球异色”，则与的大小关系为（ ）A B C D视的大小而定3甲袋中装有白球3个，黑球5个，乙

28、袋内装有白球4个，黑球6个，现从甲袋内随机抽取一个球放入乙袋，充分掺混后再从乙袋内随机抽取一球放入甲袋，则甲袋中的白球没有减少的概率为（ ）A B C 4(2005山东) 10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，至少有1人中奖的概率是A B C D5(2005重庆理) 某轻轨列车有4节车厢，现有6位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为 .6(2005重庆文) 若10把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为 .7（05福建）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为.（1）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好

29、命中一次的概率；（2）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率8在某地区有2000个家庭，每个家庭有4个孩子，假定男孩出生率是.（1）求在一个家庭中至少有一个男孩的概率；（2）求在一个家庭中至少有一个男孩且至少有一个女孩的概率9盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：（1）取到的2只都是次品；（2）取到的2只中正品、次品各一只；（3）取到的2只中至少有一只正品.57相互独立事件同时发生的概率【考点透视】一、考纲指要1了解相互独立事件的意义，会求相互独立事件同时发生的概率；2会计算事件在次独立重复试验中恰好发生次的概率二

30、、命题落点1考查相互独立事件（和互斥事件有一个发生的概率）的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力，如例1和例2;2概率知识的考查,计算次独立重复实验有次发生的概率,结合概率的加法公式，同时考查逻辑思维能力, 如例3、例4.【典例精析】例1：（2005全国1）9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种（1）求甲坑不需要补种的概率；（2）求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率；（3）求有坑需要补种的概率解析:（1）因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为，所以甲坑不需要补种的概率为

31、 （2）3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为 （3）法一：因为3个坑都不需要补种的概率为，所以有坑需要补种的概率为 法二：3个坑中恰有1个坑需要补种的概率为恰有2个坑需要补种的概率为 3个坑都需要补种的概率为 所以有坑需要补种的概率为 例2：(2005全国3)设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125（1）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；（2）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.解析:（1）记甲、乙、丙三台机器在一小时内需要照顾分别为事件A、

32、B、C，则A、B、C相互独立，由题意得：P（AB）=P（A）P（B）=0.05P（AC）=P（A）P（C）=0.1 , P（BC）=P（B）P（C）=0.125 解得：P（A）=0.2；P（B）=0.25；P（C）=0.5 所以, 甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5 （2）A、B、C相互独立，相互独立，甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为 ，这个小时内至少有一台需要照顾的概率为例3：（2005北京）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率 （1）甲恰好击中目标2次的概率； （2）乙至少击中目标2次的概率；（3

33、）求乙恰好比甲多击中目标2次的概率解析：（1）甲恰好击中目标2次的概率为（2）乙至少击中目标2次的概率为（3）设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A,乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次为事件,乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次为事件,则所以,乙恰好比甲多击中目标2次的概率为例4：（2005湖北）某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换. （1）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯

34、泡的概率； （2）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率； （3）当p1=0.8，p2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）.解析：（1）在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为需要更换2只灯泡的概率为（2）对该盏灯来说，在第1、2次都更换了灯泡的概率为（1p1）2；在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p1(1p2)，故所求的概率为（3）至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况，换5只的概率为p5（其中p为（II）中所求，下同）换4只的概率为（1p），故至少换4只灯泡的概率为又当时，即满2年至少需

35、要更换4只灯泡的概率为0.34. 【常见误区】1事件A与B(不一定互斥)中至少有一个发生的概率可按下式计算：P(A+B)P(A)+P(B)P(AB),特别地，当事件A与B互斥时，P(AB)0，于是上式变为P(A+B)P(A)+P(B)2事件间的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念：两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响.【基础演练】1(2005天津) 某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为（ ）A B C D2三个互相认识的人乘同一列火车，火车有节车厢，则至少两人上了同一车厢的概率是 （ ）

36、A B C D3口袋里装有大小相同的黑、白两色的手套，黑色手套只，白色手套只，现从中随机地取出两只手套，如果两只是同色手套则甲获胜，两只手套颜色不同则乙获胜，则甲、乙获胜的机会是（ ）A甲多B乙多C一样多D不确定4已知盒中装有只螺口与只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第次才取得卡口灯炮的概率为（ ） ABCD5某射手射击一次，击中目标的概率是，他连续射击次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：他第次击中目标的概率是；他恰好击中目标次的概率是；他至少击中目标次的概率是，其中正确结论的序号 6件产

37、品中有件次品，从中连续取两次，（1）取后不放回，（2）取后放回，则两次都取合格品的概率分别是 、 7(2005重庆) 加工某种零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的合格率分别为、，且各道工序互不影响. （1）求该种零件的合格率； （2）从该种零件中任取3件,求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率.8(2005浙江) 袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是1/3，从B中摸出一个红球的概率为p.（1）从A中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次。求：（i）恰好有3次摸到红球的概率； （ii）第一次、第三次、第五次均摸到红球的概率。（2）若A、B两个袋子中

38、的球数之比为：，将、中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是2/5，求p的值。9(2005江苏) 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和。假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响。（1）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；（2）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；（3）假设某人连续2次未击中目标，则停止射击。问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？本章测试题一、选择题：（本题每小题5分，共60分）1有4名高中毕业生报考大学，有三所大学可供选择，每人只能填报一所大学，则报名的方案数为 （ ）A B C D 2

39、将一枚均匀硬币抛掷8次，有4次正面向上，则正面向上而4次中恰好三次连在一起的情况的不同种数为 （ ）A480 B240 C20 D103两个同学同时做一道题，他们做对的概率分别为P（A）=0.8,P(B)=0.9,则该题至少被一个同学做对的概率为 （ ）A 1.7 B1 C 0.72 D 0.984某程序设置的密码为依先后顺序按下a、e、h、w4个键，键盘上共有104个按键，则被译密码的概率为（ ）ABCD5在(x1)(x+1)8的展开式中x5的系数是 （ ）A14 B14 C28 D286现从男女若干名学生干部中选出2男1女分别参加“资源”、“生态”、“奥数”三个夏令营活动，已知共有90种不

40、同的参加方案，则男女同学的人数依次为（ ）A 2，6B 3，5 C 5，3 D 6，27若正整数x,y满足，则可组成不同的有序数对（x,y）是 （ ）A15B16C17D188某机械零件加工由2道工序组成，第1道工序的废品率为，第2道工序的废品率为，假定这2道工序出废品的工序是彼此无关的，那么产品的合格率是 （ ）A B C D 9从不同号码的五双靴中任取4只，其中恰好有一双的取法种数为（ ）A120B240 C360 D72010国庆期间，甲、乙、丙去旅游，甲去某地的概率为，乙、丙去此地概率分别为，,假定三人的行程相互之间没有影响，那么这一段时间内至少有人去此地的概率为（ ）ABCD11把同

41、一排6 张座位编号为1、2、3、4、5、6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（ ）A168B96 C72 D14412从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中，任取三条的不同取法共有n种在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m，则等于（）A B CD二、填空题：（本题每小题分，共分）13计算：= （精确到1）14从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有 个15在三角形的每条边上各取三个分点（如图），以这9个分点为顶点可画出若干个

42、三角形，若从中任意抽取一个三角形，则其三个顶点分别落在原三角形的三条不同边上的概率为 （用数字作答）16关于二项式(x1)2005有下列命题：该二项展开式中非常数项的系数和是1；该二项展开式中第六项为x1999；该二项展开式中系数最大的项是第1002项；当x=2006时，(x1)2005除以2006的余数是2005其中正确命题的序号是 （注：把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题：（本题共分）17（本小题满分分）已知的展开式中，末三项的二项式系数的和为22，二项式系数最大的项为20000，求的值18（本小题满分分）某学习小组有8个同学，从男生中选2人，女生中选1人参加数学、物理、化学三种竞赛

43、，要求每科均有1人参加，共有180种不同的选法，那么该小组中男、女同学各有多少人？ 19（本小题满分分）如下表，它满足：第行的首尾两数均为；表中的递推关系类似杨辉三角；则第行的第二个数是多少？ 1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 6 16 25 25 16 6 7 22 41 50 41 22 720（本小题满分分）袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为P。从A中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次，求：（1）恰好有3次摸到红球的概率；第一次、第三次、第五次均摸到红球的概率； （2）若A、B两个袋子中的球数之比

44、为1：2，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求P的值21（本小题满分分）某工厂产生甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级，对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品 （1）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如下表所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等的概率P甲、P乙；工序效率产品第一工序第二工序甲0.80.85乙0.750.8 （2）已知一件产品的利润如表二所示，用、分别表示一件甲、乙产品的利润，在的条件下，求的分布列及等级利润产品一等二等甲5(万元)2.5(万元)乙2

45、.5(万元)1.5(万元) （3）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示，该工厂有工人40人，可用资金60万元，设、分别表示生产甲、乙产品的数量，在（2）的条件下，、为何值时，最大？最大值是多少？（解答时须给出图示）项目用量产品工人(名)资金(万元)甲85乙21022（本小题满分分）为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率（记为P）和所需费用如表：预防措施甲乙丙丁P0.90.80.70.6费用/万元90603010预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过120万元的前提下，请

46、确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大参考答案51 分类计数、分步计数原理1. B 2. A 3. C 4. D 5. 125 6. .7. (1)分6步：先选的象，有3种可能，再选的象也是3种可能，选象也有3种可能， 由乘法原理知，共有种不同映射；(2)把6个人构成的集合，看成上面(1)中之，3个车间构成的集合，看成上面的，因此，所求问题转化为映射问题，如上题所述，共有种方案8.（1）每位学生有三种选择，四位学生共有参赛方法：种； （2）每项竞赛被选择的方法有四种，三项竞赛共有参赛方法：种.9. (1)分7类：，有7种取法；，有6种取法； ，有5种取法； ，有4种取法； ，有3种取

47、法； ，有2种取法；，只有1种取法.因此共有个元素.(2)分两步：先选，有4种可能；再选有5种可能由乘法原理，共有个元素.52 排列组合的基本问题1. B 2. A 3. B 4. C 5. 1 6. 5767. 法一:右边=左边法二:右边左边8. 原不等式即，也就是，化简得：，解得或，又，且，所以，原不等式的解集为9. 原式 ，故， 原式.53 排列组合的综合应用1. B 2. C 3. B 4. D 5. 144 6. 117. （1）.（2）.x0，x+2.当且仅当x=时，等号成立.当x=时，取得最小值.8. 设耕地平均每年至多只能减少x公顷，又设该地区现在人口为P人，粮食单产为M吨公顷

48、.依题意得不等式（110）化简得x103 , x4（公顷）.答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷.9. （1）法一：，对于mn，k1，2，i1，有，即mini法二：ni=m（m1）（m2）（mi+1）=mn（mnn）（mn2n）mnn（i1）同理mi=mn（mnm）（mn2m）mnm（i1）1imn，mnnmnm，mn2nmn2m，mnn（i1）mnm（i1）联系、可得nimiAin.（2）由二项式定理：，又 而mini , . 又 .（1m）n（1n）m54 二项式定理1. B 2. C 3. B 4. D 5. 6. 387. 是整数，能被64整除8. 由得，（舍去）或，由题意知

49、，由已知条件知，其展开式的中间项为第4项，即，或，或经检验知，它们都符合题意.9. 展开式的通项为，设第项系数绝对值最大，即，所以，且，或，故系数绝对值最大项为或55 随机事件的概率1. A 2. C 3. C 4. C 5. 6. .7. 掷两次骰子共有36种基本事件，且等可能，其中点数之和为6的有共5种，所以“所得点数和为6”的概率为.8. “5次测试”相当于从10只产品中有序的取出5只产品，共有种等可能的基本事件，“3只次品恰好全被测出”指5件中恰有3件次品，且第5件是次品，共有种，所以所求的概率为9. 设此班有男生n人(nN,n36)，则有女生(36n)人，从36人中选出有相同性别的2人，只有两种可能，即2人全