第五章 矩阵的特征值与特征向量

1、第五章第五章 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量一、矩阵的特征值和特征向量；一、矩阵的特征值和特征向量； 主要内容主要内容二、相似矩阵和矩阵可对角化条件；二、相似矩阵和矩阵可对角化条件；三、实对称矩阵的对角化。三、实对称矩阵的对角化。第一节第一节 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量定义定义5.15.1.1 基本概念基本概念设设 是数域是数域 上的上的 阶矩阵阶矩阵, 如果对于数如果对于数域域 中的一个数中的一个数 , 存在非零存在非零 维列向量维列向量 , 使得使得AFnF0n0,(5.1)A 则称则称 为为 的一个的一个特征值特征值, 称为称为 的属于特征的属于特征值值

2、的的特征向量特征向量. 由此可见由此可见, 特征向量与特征值的概念相关联特征向量与特征值的概念相关联,且特征向量一定且特征向量一定0AA0是非零列向量是非零列向量. 根据矩阵的运算根据矩阵的运算, 容易得出特征值与特征向容易得出特征值与特征向量的下列一些基本性质量的下列一些基本性质.性质性质1 设设 是矩阵是矩阵 的属于的属于 的特征向量的特征向量, 对任意对任意 的非零常数的非零常数 , 则则 也是矩阵也是矩阵 的属于的属于 的特征的特征向量向量.A0kkA0证明证明: 因为由因为由可得可得0,A 00()()()(),A kk Akk 所以所以, 也是矩阵也是矩阵 的属于的属于 的特征向量

3、的特征向量.kA0性质性质2 设设 都是矩阵都是矩阵 的属于的属于 的特征向量的特征向量,12, A0则当则当 时时, 也是也是 的属于的属于 的特的特12o征向量征向量.12A0证明证明: 因为因为101,A 202,A 所以所以12120102012()().AAA 综合上述两性质可知，矩阵综合上述两性质可知，矩阵 A的属于同一特征值的属于同一特征值 0的有限个特征向量的有限个特征向量 12,l 的任意一个非零线性组合的任意一个非零线性组合 1122llkkk 也是矩阵也是矩阵 A 的属于特征值的属于特征值 0的特征的特征向量。向量。12也是也是 的属于的属于 的特的特A0征向量征向量.即

4、即注注: 在讨论在讨论 的特征值问题时的特征值问题时, 必须是方阵必须是方阵, 其特征值可能是实数其特征值可能是实数, 也可能是复数也可能是复数.AA例例.设设23,14A05,1,1 因为因为2315,1415A 0155,15 所以所以0,A 故故 有一个特征值为有一个特征值为 , 是是 的的属于特征值属于特征值 的特征向量的特征向量.A5(1,1)TA55.1.2 特征值与特征向量的计算方法特征值与特征向量的计算方法设设 是数域是数域 上的上的 阶矩阵阶矩阵, 如果如果 是是 的特的特征值征值, 是是 的属于的属于 的特征向量的特征向量, 则则AFnA0A00.A 即即00().AoEA

5、o 因为因为, o所以所以 是齐次线性方程组是齐次线性方程组0()(5.2)EA Xo非零解非零解. 而齐次线性方程组而齐次线性方程组(5.2)有非零解的充分有非零解的充分必要条件是其系数矩阵必要条件是其系数矩阵 的行列式等于零的行列式等于零.0EA即即00.EA定义定义5.2 设设 为一个方阵为一个方阵, EAA其行列式其行列式 称为称为 的的特征多项式特征多项式, EA 称为称为 的的特征方程特征方程, 0EA的特征值的特征值.AAAA定理定理5.1 设设 是是 阶矩阵阶矩阵, 则则 是是 的特征值的特征值, 是是 的属于的属于 的特征向量的充分必要条件是的特征向量的充分必要条件是 是是特

6、征方程特征方程 的根的根, 是齐次线性方程是齐次线性方程组组 的非零解的非零解.An0AA000EA0()EA Xo则称矩阵则称矩阵 为为的的特征矩阵特征矩阵,其根为其根为若特征方程在数域若特征方程在数域 上没有根上没有根, 则则 没有特没有特征值征值. 若特征方程在数域若特征方程在数域 上有根上有根, 则则 有特征有特征 值值; 特征方程的全部根就是特征方程的全部根就是 的全部特征值的全部特征值.FAFAA求求 的属于特征值的属于特征值 的全部特征向量的全部特征向量, 就是就是求齐次线性方程组求齐次线性方程组0()EA Xo的全部非零解的全部非零解.A0根据定理根据定理5.1, 求求 的特征

7、值就是求特征方程的特征值就是求特征方程0EA的根的根.A对于每一个特征值对于每一个特征值 i，求出齐次线性方程组求出齐次线性方程组 的一个基础解系的一个基础解系 , 那么那么 就是就是 A的属于的属于 的全部特征向量，其中的全部特征向量，其中 为不全为不全为零的任意数为零的任意数 iEA Xo2,1,s 1siiiXki12,sk kk综上所述综上所述, ,求求 n阶矩阵阶矩阵 A的特征值与特征向量的步的特征值与特征向量的步骤骤: 第一步求第一步求 A的全部特征值，即求特征方程的全部特征值，即求特征方程 | 0EA的全部根；的全部根； 第二步求第二步求 A的特征向量的特征向量 例例1.求求 1

8、11242335A的特征值及特征向量的特征值及特征向量. 解解: 因为因为 2111242(2) (6),335EA 所以所以 A的全部特征值为的全部特征值为 126,2(二重二重). 对于对于 16,解齐次线性方程组解齐次线性方程组 6,EA Xo由由 132135111022201,331000EA 可知可知 1EA的秩为的秩为 2,r 有有 321nr个自由未知量个自由未知量 取为取为 3.x由由 132310,320,3xxxx求得它的一个基础解系为求得它的一个基础解系为 1(1, 2,3) .T所以所以 A的属于特征值的属于特征值 6的全部特征向量为的全部特征向量为 (1, 2,3)

9、 ,Tkk为任意非零数为任意非零数. 对于对于 22,解齐次线性方程组解齐次线性方程组 2,EA Xo由由 2111111222000,333000EA 可知可知 2EA的秩为的秩为 1,r 有有 3 12nr 个自由未知量个自由未知量, 取为取为 23,.x x由由 1230,xxx求得它的一个基础解系为求得它的一个基础解系为 23( 1,1,0) ,(1,0,1) .TT 所以所以 A的属于特征值的属于特征值 2的全部特征向量为的全部特征向量为 12( 1,1,0)(1,0,1) ,TTkk其中其中 12,k k为不全为零的任意数为不全为零的任意数. (容易证明容易证明 123, 是线性无

10、关的是线性无关的.) 注注: 此例中有一个二重特征值此例中有一个二重特征值, 相应的特征向量的基础相应的特征向量的基础 解系中包含两个线性无关的向量解系中包含两个线性无关的向量. 例例2.求矩阵求矩阵 122212221A的特征值和特征向量的特征值和特征向量. 解解: 因为因为 A的特征多项式为的特征多项式为 122212(1)(1)(3),221EA 所以所以 A的全部特征值为的全部特征值为 1231,1,3. 利用解齐次线性方程组利用解齐次线性方程组, 可以求得可以求得: A的属于特征值的属于特征值 1的全部特征向量为的全部特征向量为 1(1, 1,0) ,Tk其中其中 1k为任意非零数为

11、任意非零数. A的属于特征值的属于特征值 1的全部特征向量为的全部特征向量为 其中其中 2k为任意非零数为任意非零数. 2(1, 1,1) ,TkA的属于特征值的属于特征值 3的全部特征向量为的全部特征向量为 其中其中 3k为任意非零数为任意非零数. 3(0,1, 1) ,Tk容易证明容易证明 (1, 1,0) ,(1, 1,1) ,(0,1, 1)TTT线性无关线性无关. 注注: 该例中有三个不同的特征值该例中有三个不同的特征值, 相应的特征向量线相应的特征向量线 性无关性无关. 例例3. 求矩阵求矩阵 0,00aAaa的特征值和特征向量的特征值和特征向量. 解解: 因为因为 A的特征多项式

12、为的特征多项式为 22,aEAaa所以所以, 若在实数域内讨论若在实数域内讨论, 则则 A无特征值无特征值; 若在复数域内若在复数域内讨论讨论,则则 A有特征值有特征值 12,(1).aiai i 对于对于 1,ai解齐次线性方程组解齐次线性方程组 ,aiEA Xo由由 11,00aiaiEAaai可知方程组的一般解为可知方程组的一般解为 12,xix 于是它有一个基础于是它有一个基础解系为解系为 1(1, ) .TiA的属于特征值的属于特征值 ai的全部特征向量的全部特征向量为为1(1, ) ,Tki其中其中 1k为任意非零复数为任意非零复数. 对于对于 2,ai 解齐次线性方程组解齐次线性

13、方程组 ,aiEA Xo由由 21,00aiaiEAaai可知方程组的一般解为可知方程组的一般解为 12,xix于是它有一个基础于是它有一个基础解系为解系为 2(1,) .TiA的属于特征值的属于特征值 ai的全部特征向量的全部特征向量为为2(1,) ,Tki 其中其中 2k为任意非零复数为任意非零复数. 例例4. 如果矩阵如果矩阵 A满足满足 2,AA则称则称 A为为幂等矩阵幂等矩阵. 试证幂等矩阵的特征值只能是试证幂等矩阵的特征值只能是 0或或 1.证明证明: 设设 为为 A的任意一个特征值的任意一个特征值, A的属于的属于 的一个的一个 特征向量为特征向量为 .于是有于是有 ,A等式两边

14、左乘等式两边左乘 A得得: 2,AA 即即 ,A所以所以 2, 由此可得由此可得 2(), o 又因为又因为 , o所以有所以有 20,由此得由此得 0或或 1.再由再由 的任意性可知的任意性可知: 幂等矩阵的特征值只能是幂等矩阵的特征值只能是 0或或 1.矩阵的特征值与其特征多项式的系数之间的关系矩阵的特征值与其特征多项式的系数之间的关系:1. 设设 A为二阶矩阵的简单情形为二阶矩阵的简单情形, 即即 11122122,aaAaa则则 11122122aaEAaa11221221aaa a2112211221221.aaa aa a由此可知由此可知, 二阶矩阵二阶矩阵 A相应的特征多项式为相

15、应的特征多项式为 的二次的二次多项式多项式, 记为记为 ( ),f即即 ( ).fEA其特点为其特点为: 首项系数为首项系数为 1,一次项系数为一次项系数为 A中主对角线中主对角线元素之和的相反数元素之和的相反数;常数项为常数项为 A的行列式之值的行列式之值. 2. 设设 A为一般的为一般的 n阶矩阵阶矩阵, 即即 ,ijn nAa其特征多项式为其特征多项式为 111212122212( )nnnnnnaaaaaafEAaaa1122.nnaaa因为上式为因为上式为 n阶行列式阶行列式, 其展开式共有其展开式共有 !n项项, 只写出主只写出主对角线上元素连乘积一项对角线上元素连乘积一项, 其余

16、其余! 1n 项用省略号代替项用省略号代替. 通过计算可知通过计算可知:11122( )(5.3)nnnnfaaa由此可知多项式由此可知多项式 ( )f具有下述特点具有下述特点: (1). ( )f是首项系数为是首项系数为 1的的 的的 n次多项式次多项式; (2). ( )f的的 1n项的系数是项的系数是 1122,nnaaa括号内是括号内是 的主对角线元素之和的主对角线元素之和; A(3). ( )f的常数项为的常数项为 (0)0( 1);nfEAAA (4). 根据多项式理论根据多项式理论, ( )f在复数域上恰好有在复数域上恰好有 n个根个根, 设为设为 12,.n 根据根与系数的关系

17、根据根与系数的关系, 有有 121122;nnnaaa12.nA5.1.3 矩阵的迹矩阵的迹 定义定义5.3 设设 ijAa为为 n阶矩阵阶矩阵, A的主对角线元素之和的主对角线元素之和称为称为 A的的迹迹, 记为记为 ;trA即即 1122( ).nntr Aaaa矩阵的迹的性质矩阵的迹的性质: 1. ()( )( ).tr ABtr Atr B2. ()( ).tr kAktr A3. ()( ).Ttr Atr A4. ()().tr ABtr BA5. ()()().tr ABCtr BCAtr CAB6. 设设 A有有 n个特征值个特征值 12,n 则则 12( ).ntr A例例8

18、. 设设 ,A B均为均为 n阶矩阵阶矩阵, 且且 1BUAU( U为为 n阶可逆阶可逆矩阵矩阵), 则则( )( ).tr Atr B证明证明: 利用性质利用性质5, 得得 11( )()()( ).tr Btr UAUtr AUUtr A第二节第二节 相似矩阵与可对角化条件相似矩阵与可对角化条件5.2.1 相似矩阵相似矩阵 定义定义5.4 设设 A与与 B都是都是 n阶矩阵阶矩阵, 如果存在一个可逆矩阵如果存在一个可逆矩阵 ,U使得使得 1,BUAU则称则称 A与与 B是是相似相似的的, 或或 A与与 B是是相似相似矩阵矩阵, 记为记为.AB注注: 需要证明需要证明 AB时时, 就是要找到

19、满足条件的就是要找到满足条件的 U即可即可. 例例1. ,.EEkEkE证明证明: 因为对任一可逆矩阵因为对任一可逆矩阵 ,U都有都有 1,EUEU1,kEU kEU所以所以 ,.EEkEkE例例2. 设设 211111,100112ABU因为因为 11112111121012UAU 211011,111101B所以所以 .AB相似相似是矩阵之间的一种是矩阵之间的一种关系关系, 作为关系它具有下述性质作为关系它具有下述性质: 1. 反身性反身性: 对任意方阵对任意方阵 ,A都有都有 1. ()AAAE AE2. 对称性对称性: 若若 ,AB则则 .BA1111,.BUAUAUB U3. 传递性

20、传递性: 若若 ,ABBC则则 .AC证明证明: 因为因为 ,ABBC所以存在可逆矩阵所以存在可逆矩阵 12,U U使得使得 111122,BUAUCU BU因此有因此有 11112221121212,CU BUUUAU UUUA UU所以所以 .AC相似矩阵的性质相似矩阵的性质: 1. 相似矩阵有相同的行列式相似矩阵有相同的行列式; 2. 相似矩阵或者都可逆或者都不可逆相似矩阵或者都可逆或者都不可逆. 当它们可逆时当它们可逆时, 它们的逆矩阵也相似它们的逆矩阵也相似. 证明证明: 设设 ,AB由性质由性质1有有 ,AB所以所以 A与与 B同时不为零或为零同时不为零或为零, 因此因此 A与与

21、B同时可逆或不可逆同时可逆或不可逆. 若若 A与与 B均可逆均可逆, 因为因为 ,AB所以存在可逆矩阵所以存在可逆矩阵 ,U使得使得 1,BUAU则有则有 1111111,BUAUUA U即即 11.AB3. 相似矩阵的幂仍相似相似矩阵的幂仍相似. 即即 若若 ,AB则有则有 .kkAB为任意非负整数为任意非负整数. 其中其中k证明证明: 当当 0k 时时, 00.AB当当 0k 时时, 如果如果 1,BUAU则则 11111kkBUAUUAUUAUUAUUAU111111() ()(),kUA UUA UUUUA UUAUUA U即即 .kkAB4. 相似矩阵有相同的特征多项式相似矩阵有相同

22、的特征多项式. 证明证明: 111EBEUAUUEUUAU11()UEA UUEA U5. 相似矩阵有相同的特征值相似矩阵有相同的特征值. 6. 相似矩阵有相同的迹相似矩阵有相同的迹. 7. 相似矩阵有相同的秩相似矩阵有相同的秩. .EA5.2.2 A与对角矩阵相似的条件与对角矩阵相似的条件 问题问题1. 对对 n阶矩阵阶矩阵 ,A任意给定一个可逆矩阵任意给定一个可逆矩阵 U就有就有 1UAU与与 A相似相似, 所以与所以与 A相似的矩阵很多相似的矩阵很多, 而相似而相似矩阵有许多共同的性质矩阵有许多共同的性质, 因此在因此在A的众多的相似的众多的相似矩阵中任何寻找一个最简单的矩阵可以作为这一

23、矩阵中任何寻找一个最简单的矩阵可以作为这一相似类的代表相似类的代表?问题问题2. 如何求可逆矩阵如何求可逆矩阵 ,U使使 1UAU就是这个最简单的就是这个最简单的矩阵矩阵? 为了解决以上两个问题为了解决以上两个问题, 先看一看什么矩阵最简单先看一看什么矩阵最简单, 最简单的矩阵是最简单的矩阵是,E kE而它们的相似矩阵只有它本身而它们的相似矩阵只有它本身, 因此因此 A不能与不能与 E或或 kE相似相似. 仅次于仅次于 E或或 kE的最简单矩阵的最简单矩阵是对角矩阵是对角矩阵, 则上面的两个问题转化为则上面的两个问题转化为:A能否相似于一个对角矩阵能否相似于一个对角矩阵? 定理定理5.2 数域

24、数域 F上的上的 n阶矩阵阶矩阵 A相似于对角矩阵的充分相似于对角矩阵的充分必要条件是必要条件是:A有有 n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量. 证明证明: 必要性必要性 设设 ,A其中矩阵其中矩阵 120000.00n 从而存在可逆矩阵从而存在可逆矩阵 ,U使得使得 1,UAU 即即 .AUU记记 U的列向量组为的列向量组为 12,.n 由上式得由上式得: ,(1,2, );iiiAin从而从而1212120000(,)(,),00nnnA 即即 121122(,)(,),nnnAAA 于是有于是有 (1,2, )iin是是 A的属于特征值的属于特征值 i的特征向量的特征向量. 由于由

25、于 U是可逆矩阵是可逆矩阵, 所以所以 12,n 线性无关线性无关. 充分性充分性 设设 A有有 n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量 12,n 对应的特征值依次为对应的特征值依次为 12,n 即即 ,(1,2, );iiiAin则以则以 12,n 为列向量组组成的矩阵记为为列向量组组成的矩阵记为 ,U即即 12(,).nU 由于由于 12,n 线性无关线性无关, 所以所以 U可逆可逆. 再由再由 111222,nnnAAA 可得可得 1212120000(,)(,),00nnnA 即即 .AUU于是于是 1.UAU 即即 .A注注: 矩阵矩阵 A是否与对角矩阵相似是否与对角矩阵相似 A

26、是否有是否有 n个线性个线性无关的特征向量无关的特征向量. 如果能求出如果能求出 A的的 n个线性无关的特个线性无关的特征向量征向量12,n 令令 12(,)nU 就能使就能使 1UAU 为对角矩阵为对角矩阵, 且对角矩阵的主对角线上的且对角矩阵的主对角线上的元素依次为元素依次为12,.n 12,n 所属的特征值所属的特征值 定理定理5.3 设设 12,m 为数域为数域 F上的上的 ()nm阶矩阵阶矩阵 A的的不同特征值不同特征值.12,m 分别是属于分别是属于 12,m 的的特征向量特征向量, 则则12,m 线性无关线性无关. 证明证明: 对特征值的个数对特征值的个数 m作数学归纳法作数学归

27、纳法. 当当 1m 时时, 因为因为 1是特征向量是特征向量, 1, o所以所以 1线性线性无关无关.假设假设 1ms时结论成立时结论成立, 即即 121,s 线性无关线性无关. 需证需证 ms时结论成立时结论成立, 如果如果112211,(5.4)sssskkkko将将(5.4)式左乘式左乘 A得得 112211,ssssk Ak AkAk Ao 即即 1 11222111,(5.5)sssssskkkko 再将再将(5.4)式两边乘式两边乘 s得得 112211,(5.6)sssssssskkkko(5.5)式减去式减去(5.6)式式, 得得 111222()()sskk 111(),ss

28、sssskko 根据归纳假设根据归纳假设: 121,s 线性无关线性无关. 于是于是 112211()0,()0,()0.ssssskkk由于由于 12,s 互不相同互不相同, 所以所以 1210,0,0.skkk代入代入(5.4)式得式得 ,ssko又因为又因为 s为特征向量为特征向量, ,so所以所以 0.sk 于是于是(5.4)式中的系数都等于零式中的系数都等于零, 即即 120,0,0.skkk所以所以 12,s 线性无关线性无关. 由归纳法原理知由归纳法原理知, m为任一正整数时为任一正整数时, 结论都成立结论都成立. 定理定理5.4 设设 是矩阵是矩阵 A的特征多项式的重根的特征多

29、项式的重根, 则则 A的属于的属于特征值特征值 的线性无关的特征向量个数最多有的线性无关的特征向量个数最多有 k个个. 注注: 一重特征值只有一个特征向量一重特征值只有一个特征向量; 属于属于 k重特征值的重特征值的线性无关的特征向量的个数不超过线性无关的特征向量的个数不超过k个个. 定理定理5.5 设设 12,m 为数域为数域 F上的上的 ()nm阶矩阵阶矩阵 A的的不同特征值不同特征值.12,iiiis 是属于是属于 i的特征向量的特征向量, 则向量则向量线性无关线性无关. 12111212122212,;,;,mssmmms注注: 属于不同特征值的特征向量是线性无关的属于不同特征值的特征

30、向量是线性无关的. 定理定理5.6 如果数域如果数域 F上的上的 n阶矩阵阶矩阵 ,A有有 n个不同的特征值个不同的特征值, 则则 A与对角矩阵相似与对角矩阵相似. 推论推论: 复数域复数域C上的上的 n阶矩阵阶矩阵 A的特征多项式如果没有重的特征多项式如果没有重根根, 则则 A与对角矩阵相似与对角矩阵相似. 证明证明: 因为复数域因为复数域C上的任一上的任一 n次多项式都有次多项式都有 n个根个根, 又因为没有重根又因为没有重根, 所以所以A有有 n个不同的特征值个不同的特征值. 根据定理根据定理5.6知知, A与对角矩阵相似与对角矩阵相似. 如果如果 阶矩阵阶矩阵 An相似于对角矩阵相似于

31、对角矩阵, 则称则称 A可对角化可对角化. 根据上面的讨论根据上面的讨论, 如果如果 A没有重特征值没有重特征值, 则则 A必可对角化必可对角化; 如果如果 A有重特征值有重特征值, 不妨设为不妨设为 12,m 属于它们的线属于它们的线性无关的特征向量如下性无关的特征向量如下:1211112122122212:,;:,;:,.mssmmmms根据定理根据定理5.5, 这是这是 A的全部线性无关的特征向量的全部线性无关的特征向量, 共有共有 s个个, 即即 12.mssss若若 ,sn则则 A可对角化可对角化; 若若 ,sn则则 A不可对角化不可对角化. 若若 A可对角化可对角化; 则把则把 A

32、化为对角矩阵的一般步骤化为对角矩阵的一般步骤: 1. 求出求出 A的全部特征值和全部线性无关的特征向量的全部特征值和全部线性无关的特征向量. 2. 用已求出的全部线性无关的特征向量作为矩阵用已求出的全部线性无关的特征向量作为矩阵 U的列的列. 3. 写出写出 1,UAU 其中其中 是对角矩阵是对角矩阵, 其主对角线元其主对角线元素为素为A的全部特征值的全部特征值. 例例3. 已知已知 122212 ,221A求矩阵求矩阵 ,U使得使得 1UAU为对角矩阵为对角矩阵. 解解: 因为在因为在5.1的例的例5 中已求出中已求出 A的全部特征值的全部特征值: 1231,1,3. 对应的特征向量分别为对

33、应的特征向量分别为 123(1, 1,0) ,(1, 1,1) ,(0,1, 1) .TTT显然三个特征值不相同显然三个特征值不相同, 所以所以 A可对角化可对角化. 令令 110111,011U 则则 1100010 .003UAU例例4. 已知已知 111242 ,335A求矩阵求矩阵 ,U使得使得 1UAU为对角矩阵为对角矩阵. 解解: 由由5.1的例的例3 知，知， A的特征值为的特征值为 126,2 (二重根二重根); 对应对应 1的特征向量为的特征向量为 1(1, 2,3) ;T对应对应 2的线性无关的线性无关的特征向量为的特征向量为23(1, 1,0) ,(1,0,1) .TT因

34、为因为 A的全部线性无关特征向量的个数为的全部线性无关特征向量的个数为3, 所以所以 A可可对角化对角化. 令令 111210 ,301U 则则 1600020 .002UAU例例5. 已知已知 421201 ,110A 是否存在矩阵是否存在矩阵 ,U使得使得 1UAU为对角矩阵为对角矩阵. 解解: 由上一节的例由上一节的例4 知知, A有特征值有特征值 120,2(二重根二重根); 对应对应 1的特征向量为的特征向量为 1(1, 1, 2) ;T 对应对应 2的线性无关的线性无关的特征向量为的特征向量为2(1, 1,0) .T从而从而 A的全部线性无关的的全部线性无关的特征向量个数为特征向量

35、个数为23,所以所以 A不可对角化不可对角化. 故不存在矩阵故不存在矩阵 ,U使得使得 1UAU为对角矩阵为对角矩阵. 注注: 尽管尽管 A不可对角化不可对角化, 但存在一个可逆矩阵但存在一个可逆矩阵 :U1515151111,20U 11144213114425522,0U使得使得 1000021 .002UAU它称为它称为 A的的约当约当(Jordan)标准性标准性. 5.2.3 约当形矩阵简介约当形矩阵简介 一般的约当标准性矩阵是由一般的约当标准性矩阵是由约当块约当块构成的构成的. 约当块的约当块的一般形式为下面的一般形式为下面的 s阶矩阵阶矩阵: 100010,001000s sJ 其

36、中其中 为复数为复数. 特别地特别地, 任意一个一阶矩阵都是一阶约当块任意一个一阶矩阵都是一阶约当块. 约当形矩阵就是由一些约当块组成的准对角矩阵约当形矩阵就是由一些约当块组成的准对角矩阵: 12,sJOOOJOOOJ其中其中 12,sJ JJ为约当块为约当块. 特别地特别地, 对角矩阵是约当形矩阵的特例对角矩阵是约当形矩阵的特例. 定理定理: 复数域上的任一复数域上的任一 n阶矩阵阶矩阵 A都相似于一个约当形都相似于一个约当形矩阵矩阵. J J的主对角线上的元素就是的主对角线上的元素就是 A的所有特征的所有特征值值, 并且在并且在J的主对角线上的任一特征值出现的的主对角线上的任一特征值出现的

37、次数等于它的重数次数等于它的重数. 5.3 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化5.3.1 阶实对称矩阵的特征值和特征向量的性质阶实对称矩阵的特征值和特征向量的性质定理定理5.7 实对称矩阵的特征值都是实数实对称矩阵的特征值都是实数. 证明证明: 设设 nA为实对称矩阵为实对称矩阵, 为为 A的任一特征值的任一特征值. 设设 ,(1),abi iA的属于的属于 的复特征向量为的复特征向量为 ,i则则 ()()()(),Aiiabii 即即 (),AiAabi ba比较实部和虚部比较实部和虚部, 得得 ;.AabAba用用 T左乘第一式左乘第一式, 用用 T左乘第二式左乘第二式, 得得;.TTT

38、TTTAabAba 因为因为 A为实对称矩阵为实对称矩阵, TA为一纯量为一纯量(数数), 所以所以 ,TTTTAAA又因为又因为 ,TT 上面两式相减得上面两式相减得: 0,TTb 又因为特征向量是非零向量又因为特征向量是非零向量, 所以所以 0,0,TT 故故 0.b 即即 为实数为实数. 定理定理5.8 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的正交的.证明证明: 设设 A为实对称矩阵为实对称矩阵, 12, 分别是分别是 A的属于特征值的属于特征值 12, 的特征向量的特征向量, 且且 12.于是于是 111222,AA 且且 12,oo所以有所以

39、有 2112112212,.TTTTAA 因为因为 A为实对称矩阵为实对称矩阵, 21TA为一纯量为一纯量(数数), 故故 2112,TTTAA因此因此 121212.TT 又因为又因为 2112,TT 所以所以 1221()0.T 而而 12,所以所以 210.T 即即 1与与 2正交正交. 注注: 可以证明可以证明: 如果实对称矩阵的特征值如果实对称矩阵的特征值 的重数是的重数是 k(即即 是是 k重根重根), 则则 A恰好有恰好有 k个属于特征值个属于特征值 的线性无关的线性无关的特征向量的特征向量. 利用施密特正交化方法可把这利用施密特正交化方法可把这k个向量个向量正交化正交化. 它们

40、仍然是它们仍然是A的属于特征值的属于特征值 的特征向量的特征向量. 故故 n阶实对称矩阵阶实对称矩阵 A一定有一定有 n个正交的特征向量个正交的特征向量. 定理定理5.9 设设 A为为 n阶实对称矩阵阶实对称矩阵, 则存在一个正交矩阵则存在一个正交矩阵 ,Q使得使得 1Q AQ为对角矩阵为对角矩阵 .在已知实对称矩阵在已知实对称矩阵 A的条件下的条件下, 求正交矩阵求正交矩阵 Q的方法的方法: 因为因为 A有有 n个正交的特征向量个正交的特征向量, 将其单位化将其单位化, 记为记为 12,n 它们是一个单位正交向量组它们是一个单位正交向量组, 即即 ( ,1,2, ).Tijiji jn 令矩

41、阵令矩阵 12(,),nQ 由定理由定理4.4知知 Q为正交矩阵为正交矩阵. 设设 12,n 分别为分别为 A的属于的属于 12,n 的特征向量的特征向量, 即即 1,2, .iiiAin所以所以 1111(,)(,) ,nnA 其中其中 1.00n 上式即为上式即为 .AQQ由于由于 Q可逆可逆, 则则 1.Q AQ 5.3.2 实对称矩阵对角化实对称矩阵对角化实对称矩阵对角化的步骤实对称矩阵对角化的步骤:1. 求求 0EA的全部不同的根的全部不同的根 12,m 它们是它们是 A的全部不同的特征值的全部不同的特征值. 2. 对每个特征值对每个特征值 i(设重数为设重数为 12,imk kkk

42、n), 求求解齐次线性方程组解齐次线性方程组(),iEA XO它的一个基础解它的一个基础解系为系为 12,.iiiik 采用施密特正交化方法将其正交采用施密特正交化方法将其正交化得化得 12,.iiiik再将其单位化得再将其单位化得 12,iiiik 它们是单位正交向量组它们是单位正交向量组. 3. 把属于不同特征值的特征向量组合为一个向量组把属于不同特征值的特征向量组合为一个向量组: 1212111212122212,;,;,;mmkkmmmk 共有共有 12mkkkn个向量个向量. 以其为列向量组的矩阵以其为列向量组的矩阵 Q就是所求的正交矩阵就是所求的正交矩阵. 4. 1,Q AQ 其主对角线元素依次为其主对角线元素依次为 121122,.mkkkmm 例例1. 求正交矩阵求正交矩阵 ,Q使使 1Q AQ为对角形为对角形, 其中