大白本解答(10年9月版,第九章曲线积分和曲面积分)

1、精品文档第九章、曲线积分与曲面积分曲线积分部分一、(1)直接计算：f(yXdy=j°f(ydy+jf(yV?dy=2(f(y)/Vdy10nlec1(f(yXdy=Lf(xXdx=J2xf(xdx=4(xf(xdx,故选项B是对的。(2)直接由Green公式，应选D。(3)设Li：x2+4y2=a2,a>0适当小，使Li在L所围区域内，Li取顺时针方向，再设D为L,Li包含的平面区域，则由Green公式:所以,xdy - ydx 4-2 , . 2 Lt x +4y:y一 y22<x +4ydxdy = JJOdxdy = 0/Dr-q xdy - ydx -i xdy

2、- ydxm4z=一-1 ®x) Dia"y)dxdy =n,应选 D3 )精品文档(4)选C1.直接计算：Jf(x,yds=1f&t卢(t理代t)”七)dtL0x2dx 二-22 .直接计算：应3,计算：L：y”x从2到。II：x2。2xydx-!y2。2xydy=L3 .应填-2,计算：由Green公式J(x+ydx-2ydy=JJ(0-1dxdy=-2LD4 .应填：12a,由“对称”性易知：q2xyds=0D222、二2xy+3x2+4y2ds=112+ds=(2112ds=12aH'1143J15 .应填：Qb,由Green公式计算得：jixydx

3、2x-ydyu12-1dxdy=二abLD其中D为L所围区域。6 .应填：工，直接计算得:3532 c 2x 2x - x 3xdxccc1-iiy-zdx2yzdy-xdz=0x-x2x10-11(3x-2x)dx二一。035三、1.解:ydx 2xydy 二L x 12x x22x dx= 21x-12xdx+；4x4dxl+ln20102.解:本题中电=.=12xy3y2,补从B(1,2)到A(0,1)的直线段y二xL1:y=x+1,x从0至M。则由Green公式得：2322.2322166xy-ydxr6xy-3xydy=-6xy-ydx6xy-3xydyLL11 1.二.2一3.2.

4、一一21._3_2一一=J6x(x+1)-(x+1)+(6x(x+1)-3x(x+1)dx=J(8x+9x-1)dx=40J-03 .证：因为x>0时,上yrl=T=所在xa0内fgdx-dy与路径无关22.22H-u22J23Fdx =-x2cy<xJxex<xJxxy1.21 x/dxdy=-dy.x122一人:PQ4 .解：令=-得：-axsiny_2ysinx=_bysinx_2xsiny,*,a=b=2.y二x11I=2xcos0-0sinxdxi(2ycos1-sinydy=1cos1cos1-1=2cos1005 .解：令m=以得：ex+f(x)=-f'

5、(x由f(0)=,得：f(x)=-1ex+e,所以,二yex22Iex f x ： lydx -f x dy =%2-e'x fdy1=0dx06 .解：补Li：线段B至IO：丫=1一*?从0至11,则由Green公式得:2.222.ysinxyiidxx-cosxyiidy11 _x2=2 x -y dxdy = dx 2 x -y01 _x)dy = |2x(公F .2.2.x -1 x)1 - x 厂1 - xdx=0(其中D为L,Li所围区域)，所以,原式-y2 sin2 x y dx x2 -cos2 x y dyL11=-j (1 - xj + s2 n-1 2 以 0 .

6、-17.解:补线段Li :从0(0,0)到B(2,0);线段L2 :从 B(2,0)到 A(2,2),则有2(xey y)dx (x e y -y)dy 二 xdxL1 L22 o/0 (4e y - y)dy = 2e - 2设D为L、L1、L2所围区域。由Green公式口(xe2y y)dx (x2e2y -y)dy = 1dxdy 二二L (-L1) ( -L2)D所以，(xe2y y)dx (x2e2y - y)dy -二 (xeLL1 ,L2/ y)dx (x2e2y -y)dy =二 2e4 -28.解:当(x,y) #(0,0)时,-:P _ y2 -x2 2xy _ ；:Q口

7、22 .2X2 一心。.y(x y ) 二x补线段L1:从B(1,T)到A(-1,-1);逆时针的小圆周L2:x2+y2=a2,aa0适当小,使L2在L、Li所围区域内。则由Green公式:(x -y)dx (x y)dy(x - y)dx (x y)dyI二(x-y)dx弋y)dy一Lx2yL1二1121 (x 1dx 二_ (x -y)dx (x y)dy _ _一 L2一一L2a.1一当1-(J)dxdy=2x2 -y2 .:a2 a所以,I -I1 I29.解:P(x,y)y2 xf -,Q(x, y) = y - xf,问题化为确定f ,使:y.:Q日口，即:xf要?两足:l&quo

8、t;i)=1z= f (u)得:Id z 2 z 门二2解此一阶线性方程得：z = 3u2-2u。即：z(11_ .2f (u) = 3u-2u,利用初始条件f(1)=1,解得:f (u) = u3-u2+1,所以，fI+1。Wwxx)曲面积分部分、1.因工是平行于yoz坐标面的一个柱面，故直接计算曲面积分口f(x,y,z)ds时，可将£分为从z轴来看的上、下两部分，然后再往xoy面上投影。注意到在上半部分,z是非负的，在下半部分，z是负的。故选Co2 .易知在心上的点(x,y,z)处的单位向量n=-S,T,-1。故由两类曲面积分的关系:211Pdydz Qdxdz Rdxdy =,

9、2口(Q+R)ds,所以选项A是正确的。B的错误在于，工1是上侧，故右边是正号;精品文档C的错误在于，在工上，关系式x=，z-y2是不成立的;D的错误在于，在£1上，y二Jz-x2是不成立的。3 .因在前、后球面上，xcosx是反对称的，故选项A的积分为零；同理选项B及C的积分都是零。故选项D是对的，原因是口xds和口yds这两个积分都是0,显然x2-y2：i)z21x2-y2z21jj(x2+y2)ds0。x2y2z244 .易知，在Z的柱面部分£1上：(x2+y2+z2)dxdy=0,而在两个顶面Z2：z=1及工：z=-1上，JJ(x2+y2+z2)dxdy=-1(x2

10、+y2+z2)dxdy，故选项A的积分为0;对于B,在£上，z=0,故xdydz二"ydxdz=0,jfzdxdy=H0dxdy=0,故积分为0;将££££1.工按x轴方向分为前、后各'个球面£1P2,则£1为前侧，工2为后侧。有：11x二收 y2z24dydz=2JJxdydz0,故选项C的积分不为0;若将工x2y2z2按x轴方向分为前、后两个对称的半椭球面£1工2,则£1是前侧的，而工2是后侧的，冉由于x2是x的偶函数。故(ffx2dydz=0,同理，9Jy2dxdz=0,知z2dx

11、dy=0。ZZZ5 .注意到旬Pdxdy+Qdydz+Rdzdx能用Gauss公式的两个前提条件：Z是外侧(或内侧曲面)，P、Q、R在Z所围的G内一阶偏导数连续，容易知道选项D是对的。A不对：£的球面部分和平面部分的定向不能保证工同时是外侧(或内侧)的B,C不对：P、Q、R不可偏导的点(0,0,0)在。内6 .注意到在£上：x2+y2+z2=1。直接计算得：精品文档精品文档x书-2dydz=阴xdydz=dv(gauss公式)<xyz、x2.y"4=-n,故选项C是正确的。3选项A、B、D的错误的共性在于，计算第二类曲面积分，错误地用了“对称性”<这是

12、要注意的。7.将四个选项的函数乘以方程的左边直接判断可知，选项B是对的。1(ydx-xdy)=dxdy.-=0,-=-1，故王丰不是ydxxd卢0的积分因yy2y；xy；yjxy子。二、1.解：设£表示上半球面z=Ja2-x2-y2。则由对称性，22原式二2口x2ds=2口x2J1+22L+-_y22dxdy工x2y2西2a-X-ya-x-y2a21.- r3.解： gradu = 22(x i y j zk).x y - z2-22-12-二211xdxdy=2da:cos:a：d：2220-02x2y2w、a-x-y1-:=a4cos2XdP2001一：21 1 1sin f c

13、os- _22一 231Ri)24,2一44=a('2)=-a33'(xy2)Myez)“xln(1z2)2z2xz2.用车：div(u)=ye二x二y二z1zfddiv(u)(1,1,0)=2,x、三，y、：z、div(gradu)=(-222)(-222)(-222)=二xxyz二yxyz二zxyz4.解：注意到在£上，x2+y2+z2=a2。2 , axdydz (z a) dxdy,222 . 12(x y z )二-(axdydz(za)2dxdy)ra精品文档补£1为xoy平面上的圆x2+y2<a2,取下侧。则由Gauss公式:ii (xd

14、ydz (a)-2 二 a3a -x -y2z _312222dz = -2二a(a -x -y )dxdy其中222(za)32-dxdy)=-(10-)dv:-2a-zdva不a-2a33二333-：a-a=一：a22。为£工1所围立体，D:x2+y2<a2为平面区域。23_3(za)I二一一a11(xdydzdxdy)2a33-a2,33311adxdy=-一二a二a工12二3一a25.解：设C:!(x-1)2+(y-1)2=1i：z=0x=cos二1C的参数式_2=A=(xy)ds=(32sin-2cos-)C0.sin2-cos2丁d二-6二6.解：补Z1为x+z=2

15、被x2+y2=4所截部分的上侧。则-ri-ydxdz-(z1)dxdy=(071)dv=0.二Wf1I-ydxdz(z1)dxdy=011(2-x)dxdy、1x2-y2-42二.2=°d;I'cos-:d'112dxdy=-8x2:;y2%7.解:设£i、£2、工分别表示工的上、下及侧面部分曲面。易知,22.耳甯泻匕小罩yL所以22.Bxdydzzdxdyxdydzzdxdy222=222":!、xyzxyz0R*2-y2dydzR2z2=2DR2-y2dydz二2；十_R-Rydy112.上R2z1z*RarctanRL其中,8.解:D=(x,y)-R<x<R,-R<y<R令£1为圆："22xz一的右侧。则由Gauss公式：J=311(8y1)xdydz2(1-y2)dxdz-4yzdxdy,凄1!(8y1-4y-4y)dvhj：dv-V(1J)-2I=(8y1)xdydz2(1-yR)dxdz-4yzdx