直线参数方程教案

1、精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号 ：学员编号： 年 级：高三 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 课 题 直线的参数方程授课日期及时段 教学目的1：了解直线参数方程的条件及参数的意义 2：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义3：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。教学内容知识点检测；1、直线与圆相切，那么直线的倾斜角为（）A或 B或 C或 D或2、设直线的参数方程为（t为参数），直线的方程为y=3x+4则与的距离为_ 【考点定位】本小题考查参数方程化为普通方程、两条平行线间的距离，基础题。3、(2009广东理)（坐标系与参数方程选做题）若直线与直

2、线（为参数）垂直，则 二：知识点整理- 2 - / 12 （1）过定点倾斜角为的直线的参数方程 （为参数）【辨析直线的参数方程】：设M(x,y)为直线上的任意一点，参数t的几何意义是指从点P到点M的位移，可以用有向线段数量来表示。带符号.（2）、经过两个定点Q，P(其中)的直线的参数方程为YLPM NQ A B O X。其中点M(X,Y)为直线上的任意一点。这里参数的几何意义与参数方程（1）中的t显然不同，它所反映的是动点M分有向线段的数量比。当时，M为内分点；当且时，M为外分点；当时，点M与Q重合。三：经典例题：一、求直线上点的坐标例1一个小虫从P（1，2）出发，已知它在 x轴方向的分速度是

3、3，在y轴方向的分速度是4，问小虫3s后的位置Q。分析：考虑t的实际意义，可用直线的参数方程(t是参数)。解：由题意知则直线PQ的方程是，其中时间t 是参数，将t=3s代入得Q（8，12）。例2求点A（1，2）关于直线l：2x 3y +1 =0的对称点A' 的坐标。解：由条件，设直线AA' 的参数方程为 (t是参数)，A到直线l的距离d = ， t = AA' = ，代入直线的参数方程得A' ( ，)。点评：求点关于直线的对称点的基本方法是先作垂线，求出交点，再用中点公式，而此处则是充分利用了参数 t 的几何意义。二、求解中点问题例3已知双曲线 ，过点P（2，1

4、）的直线交双曲线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程。分析：中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有t1 +t2=0。解：设M(x0，y0)为轨迹上任一点，则直线P1P2的方程是(t是参数)，代入双曲线方程得：(2cos2 sin2) t2 +2(2x0cos y0sin)t + (2x02 y02 2) = 0，由题意t1 +t2=0，即2x0cos y0sin =0，得。又直线P1P2的斜率 ，点P（2，1）在直线P1P2上，即2x2 y2 4x +y = 0为所求的轨迹的方程。三、求定点到动点的距离例4直线l过点P(1，2)，其参数方程为(t是参数)，直线l与直线 2

5、x +y 2 =0 交于点Q，求PQ。解：将直线l的方程化为标准形式，代入 2x +y 2 =0得 t' = ， PQ = | t'| = 。点评：题目给出的直线的参数并不是位移，直接求解容易出错，一般要将方程改成以位移为参数的标准形式。例5经过点P(1，2)，倾斜角为 的直线 l与圆 x2 +y2 = 9相交于A，B两点，求PA +PB和PA · PB的值。解：直线l的方程可写成，代入圆的方程整理得：t2 +t4=0，设点A，B对应的参数分别是t1 ，t2，则t1 +t2 = ，t1 ·t2 = 4，由t1 与t2的符号相反知PA +PB = |t1| +

6、|t2| = | t1 t2| = = 3，PA · PB =| t1 · t2 | = 4。点评：解决本题的关键一是正确写出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的异同。四、求直线与曲线相交弦的长例6已知抛物线y2 = 2px，过焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，求证：。分析：弦长AB = |t1 t2|。解：由条件可设AB的方程为(t是参数)，代入抛物线方程，得 t2 sin2 2pt cos p2 = 0，由韦达定理：， AB = |t1 t2| = = = 。例7已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F且倾斜角为60°的直线交椭圆于

7、A，B两点，若FA =2FB，求则椭圆的离心率。分析：FA =2FB转化成直线参数方程中的 t1= 2t2或|t1| =2|t2|。解：设椭圆方程为 ，左焦点F1（c，0），直线AB的方程为，代入椭圆整理可得：(b2 +a2)t2 b2ct b4 = 0，由于t1= 2t2，则，2×2+得：，将b2 =a2 c2代入，8 c2 = 3 a2 + a2 c2，得 ，故e = 。在研究线段的长度或线段与线段之间的关系时，往往要正确写出直线的参数方程，利用 t 的几何意义，结合一些定理和公式来解决问题，这是直线参数的主要用途；通过直线参数方程将直线上动点坐标用同一参变量 t 来表示，可以将

8、二元问题转化为一元问题来求解，体现了等价转化和数形结合的数学思想。小结：（1）直线参数方程求法；（2）直线参数方程的特点；（3）根据已知条件和图形的几何性质，注意参数的意义。（四）、巩固训练1. 已知过曲线上一点P原点O的直线PO的倾斜角为，则P点坐标是A. （3，4）              B. C.（3，4）       D. 2. 若圆的方程为（为参数），直线的方程为（t为参数），则直线与圆的位置关系是（ 

9、   ）A. 相交过圆心        B. 相交而不过圆心      C. 相切     D. 相离3：化直线的普通方程0为参数方程，并说明参数的几何意 义,说明t的几何意义. 点拨：求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数的几何意义.4，求直线与圆的交点坐标。5：化直线的参数方程（t为参数）为普通方程，并求倾斜角， 说明t的几何意义.点拨：注意在1、2中，参数t的几何意义是不同的，直线的参数方程为即是直线

10、方程的标准形式，(-)2+()2=1, t的几何意义是有向线段的数量.直线的参数方程为是非标准的形式，12()2=41，此时t的几何意义是有向线段的数量的一半.（五）、课后作业1. 直线的参数方程是（   ）A. （t为参数）            B. （t为参数）   C.  （t为参数）              

11、;       D. （为参数）2. 方程（t为参数）表示的曲线是（     ）A. 一条直线      B. 两条射线      C. 一条线段      D. 抛物线的一部分3. 参数方程（为参数）化为普通方程是（    ）A.                           B.       C.         D.  4.在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之